Глава 4. Функции нескольких переменных

ГЛАВА  4.  ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

4.1. Основные понятия

Реальные явления и процессы, как правило, зависят от нескольких переменных. Поэтому необходимо расширить известное понятие функциональной зависимости на случаи двух и большего числа переменных путём обобщения соответствующих определений и понятий для функции одной переменной.

О п р е д е л е н и е 1. Пусть даны три переменные величины x, y, z. Если каждой упорядоченной паре (x, y) Î D по определённому правилу или закону f ставится в соответствие единственное значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция f и пишут z = f (x, y). При этом x и y называются независимыми переменными (аргументами), z – зависимой переменной или значением функции f в точке (x, y); D называется областью определения функции.

Ставя в соответствие каждой точке M (x, y) Î D аппликату z = f (x, y), мы получим множество точек (x, y, z = f (M)) трёхмерного пространства, изображаемое некоторой поверхностью. Поэтому равенство z = f (x, y) называют также уравнением поверхности, которая и является графиком функции двух переменных.

Областью определения D функции двух переменных может быть вся плоскость Oxy или её часть. В последнем случае линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая только из своих внутренних точек, называется открытой или незамкнутой, а с присоединённой к ней границей называется замкнутой. Область D называется ограниченной, если существует круг конечного радиуса, внутри которого она расположена. В противном случае область D содержит бесконечно удалённую точку и называется неограниченной.

О п р е д е л е н и е 2. Окрестностью точки M0 (x0, y0) радиуса δ называется множество точек M (x, y), для которых расстояние ρ (M0, M) до точки M0 (x0, y0) меньше δ:

ρ (M0, M) = . (4.1)

Геометрически окрестность точки изображается внутренностью круга радиуса δ с центром в точке M0.

О п р е д е л е н и е 3. Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности точки M0 (x0, y0), кроме, быть может, самой точки. Говорят, что число l есть предел функции при стремлении точки M (x, y) к точке M0 (x0, y0) по любому пути и пишут

или , (4.2)

если "ε > 0 $δ = δ(ε) > 0 такое, что из неравенства ρ (M0, M) < δ следует неравенство | f (x, y) – l | < ε.

О п р е д е л е н и е 4. Функция z = f (x, y) называется бесконечно малой при M (x, y)M0 (x0, y0), если lim f (M) = 0, и называется бесконечно большой, если lim f (M) = ∞.

О п р е д е л е н и е 5. Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности точки M0 (x0, y0) и в самой точке, и пусть M (x, y) – произвольная точка этой окрестности. Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке M0 (x0, y0), если бесконечно малым приращениям аргументов Δx = x – x0 и Δy = y – y0 соответствует бесконечно малое приращение Δz = f (M) – f (M0) функции:

. (4.3)

Если равенство (4.3) выполняется в каждой точке области D, то говорят, что функция непрерывна в области D. С помощью основных понятий предела в точке и непрерывности функции в точке и области доказываются основные теоремы о пределах функций двух переменных и формулируются свойства неперерывных в области D функций, аналогичные указанным в п.2.8 и п.2.11.

Понятие функции трёх переменных, а также определения предела и непрерывности для неё вводятся аналогичным образом. В более общем случае упорядоченный набор n переменных величин (x1, x2, …, xn) называется точкой в n-мерном пространстве. Если при этом каждому набору (x1, x2, …, xn) из некоторого множества X по определённому правилу или закону f ставится в соответствие единственное значение переменной величины z, то говорят, что на множестве X задана функция n переменных и пишут z = f (x1, x2, …, xn).

В случае числа переменных n > 3 основные понятия вводятся формально и аналогично случаю двух переменных. В дальнейшем основные факты теории будем излагать для функции двух переменных и, при необходимости, формулировать их для функций n переменных.

4.2. Частные производные и полный дифференциал

функции двух переменных

Пусть в области D задана непрерывная функция z = f (x, y). Так как x и y являются независимыми переменными, то одну из них можно изменять, сохраняя постоянное значение другой. Пусть сначала y сохраняет постоянное значение, а переменная x получает приращение Δx.

В этом случае функция z = f (x, y) получит приращение

Δx z = f (x + Δx, y) – f (x, y) , (4.4)

которое называется частным приращением по переменной x и является, по существу, функцией одной переменной Δx.

О п р е д е л е н и е 1. Если существует конечный предел

, (4.5)

то он называется частной производной функции z = f (x, y) по переменной x и обозначается одним из символов .

Аналогично при постоянном значении x определяется частное приращение по переменной y:

Δy z = f (x, y + Δy) – f (x, y

О п р е д е л е н и е 2. Если существует конечный предел

, (4.7)

то он называется частной производной по переменной y и обозначается одним из символов .

Производную функции одной переменной после введения частных производных принято называть обыкновенной производной. Частные производные находят по тем же формулам и правилам, по которым находятся обыкновенные производные, так как при нахождении частной производной величина y считается постоянной, а при вычислении частной производной постоянной считается величина x.

Если величины x и y одновременно получают независимые приращения Δx и Δy, то функция z = f (x, y) получает полное приращение по обеим переменным, которое при наличии непрерывных частных производных выражается следующей формулой полного приращения:

, (4.8)

где , – бесконечно малые функции, для которых lim ε1 = lim ε2 = 0 при Δx0, Δy0.

В формуле (4.8) сумма двух первых слагаемых является линейной, т. е. 1-й степени, функцией относительно Δx и Δy. При |Δx| < 1 и |Δy| < 1 она представляет собой главную часть полного приращения по сравнению с нелинейной частью .

О п р е д е л е н и е 3. Главная линейная часть полного приращения функции z = f (x, y) называется её полным дифференциалом и обозначается символом dz:

, (4.9)

где приняты обозначения dx = Δx, dy = Δy.

При малых значениях |Δx| < 1 и |Δy| < 1 неизвестное полное приращение Δz функции z = f (x, y) обычно приближённо заменяют её полным дифференциалом, т. е. пользуются приближённым равенством

. (4.10)

Частные приращения, частные производные, полное приращение и полный дифференциал функции трёх и более переменных определяют и обозначают аналогичным образом.

4.3. Производная по направлению и градиент

Понятие частных производных по x и по y можно обобщить на случай любого направления изменения функции. Пусть функция z = f (x, y) определена в точке M (x, y) и в некоторой её окрестности. Проведём из точки M (x, y) вектор , на котором возьмём вторую точку M1 (x + Δx, y + Δy) (рис. 54). При переходе из точки M (x, y) в точку M1 (x + Δx, y + Δy) вдоль вектора функция получит полное приращение

. (4.11)

О п р е д е л е н и е. Предел вида

(4.12)

при стремлении M1M вдоль вектора называется производной по направлению и обозначается символом .

Производная по направлению имеет физический смысл скорости изменения функции z = f (x, y) в направлении вектора , в то время как частные производные и имеют физический смысл скорости изменения функции в направлениях координатных осей Ox и Oy соответственно.

Обозначим углы вектора с осями координат Ox и Oy соответственно α и β. Тогда, после перехода в равенстве (4.12) к пределу с помощью формулы (4.8) полного приращения функции z = f (x, y), получим формулу производной по направлению в точке M (x, y) вида

. (4.13)

Правую часть формулы (4.13) можно записать иначе в виде скалярного произведения двух векторов. Для этого введём: единичный вектор

(4.14)

и второй вектор

, (4.15)

который называется градиентом функции z = f (x, y).

Используя определение скалярного произведения двух векторов, данное формулой (1.61), и определение единичного вектора, формулу (4.13) можно записать теперь в следующей форме:

, (4.16)

где φ – угол между векторами и grad z (рис. 55). Если угол φ = 0, т. е. направление векторов и grad z совпадает, то cos φ = cos 0 = 1. Производная по направлению в этом случае принимает наибольшее значение,

Рис. 55 равное модулю (длине) вектора grad z:

. (4.17)

Из формул (4.16) и (4.17) теперь следует, что градиент функции есть вектор, в направлении которого скорость изменения функции z = f (x, y) в точке M (x, y) имеет наибольшее значение.

4.4. Частные производные высших порядков

Пусть функция z = f (x, y) имеет непрерывные частные производные и . Будем называть их частными производными первого порядка и рассматривать как новые функции независимых переменных x и y. Тогда каждая из них будет иметь две частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются следующими равенствами:

, ,

, .

Среди этих четырёх частных производных второго порядка две и называются смешанными частными производными второго порядка. Для них доказана следующая теорема.

Т е о р е м а. Если смешанные частные производные второго порядка и непрерывны в точке M (x, y), то они равны между собой:

. (4.18)

Рассматривая частные производные второго порядка как новые функции независимых переменных x и y, найдём аналогично частные производные третьего порядка. С помощью указанной теоремы доказывается, что смешанные частные производные третьего порядка, т. е. найденные по обеим переменным в различной последовательности, вновь равны между собой. В результате из восьми частных производных третьего порядка различными оказываются следующие четыре:

, ,

, .

Частные производные любого n-го порядка находятся аналогично и обозначаются символами

, где α + β = n. (4.19)

Частные производные при называются частными производными высших порядков. Аналогично можно определить также частные прозводные функций трёх и более независимых переменных.

П р и м е р. Дано: Доказать, что

Р е ш е н и е. По определению частной производной находим , считая y фиксированной постоянной величиной, тогда

Аналогично находим частную производную , считая x фиксированной постоянной величиной:

Находим смешанную частную производную 2-го порядка, используя правило дифференцирования произведения двух функций:

Находим согласно условию функцию F:

что и требовалось доказать.

4.5. Экстремум функции двух переменных

Пусть функция z = f (x, y) определена и непрерывна в точке M0 (x0, y0) Î D и в некоторой её окрестности.

О п р е д е л е н и е. Точка M0 (x0, y0) называется точкой максимума функции z = f (x, y), если для каждой точки M (x, y), отличной от точки M0 (x0, y0), в указанной окрестности выполняется неравенство f (x, y) < f (x0, y0). Если же выполняется неравенство f (x, y) > f (x0, y0), то M0 (x0, y0) называется точкой минимума.

Значение функции z0 = f (x0, y0) в точке максимума (или минимума) называется максимумом (минимумом) функции z = f (x, y). Максимум и минимум функции называют её экстремумом. В силу определения точка экстремума лежит всегда внутри области определения функции D. Максимум и минимум носят локальный (местный) характер, так как значение f (x0, y0) сравнивается со значениями f (x, y) лишь в некоторой сколь угодно малой окрестности точки M0 (x0, y0). В области определения D функция может иметь несколько экстремумов или может не иметь ни одного.

Выясним необходимые условия существования экстремума функции. Предположим для этого, что в точке M0 (x0, y0) экстремум есть. Тогда он будет достигаться и по каждой переменной x и y в отдельности. Будем считать, что функция z = f (x, y) непрерывна и имеет в точке M0 (x0, y0) и в её окрестности непрерывные частные производные. Тогда, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной, в точке M0 (x0, y0) должны быть равными нулю обе частные производные:

, , (4.20)

образующие систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y.

Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума (4.20), называются стационарными. Из равенства нулю частных производных в стационарной точке вытекает, что в ней равен нулю градиент функции, а также производная по любому направлению. Геометрически это означает, что в стационарной точке касательная плоскость к поверхности z = f (x, y) параллельна плоскости Oxy и имеет уравнение z = f (x0, y0).

Для выяснения характера экстремума в стационарной точке, или его отсутствия, необходимо использовать достаточные условия.

Т е о р е м а. (Достаточные условия экстремума). Пусть в стационарной точке M0 (x0, y0) и в некоторой её окрестности функция z = f (x, y) имеет непрерывные частные производные 2-го порядка. Вычислим в точке M0 (x0, y0) следующие значения:

,,, Δ = AC – B2. (4.21)

Тогда:

1) Если Δ > 0, то в точке M0 (x0, y0) экстремум есть. При этом, если A > 0, то в точке M0 находится минимум; если A < 0, то в точке M0 находится максимум.

2) Если Δ < 0, то в точке M0 (x0, y0) экстремума нет.

3) Если Δ = 0, то этот случай называется сомнительным и необходимы дополнительные исследования.

Исследование функции двух переменных на экстремум следует проводить по следующей схеме:

1. Найти частные производные , .

2. Используя необходимые условия экстремума, решить систему уравнений (4.20) и указать стационарные точки.

3. Найти частные производные 2-го порядка, вычислить их значения в каждой стационарной точке и с помощью теоремы о достаточных условиях сделать вывод о наличии экстремума в каждой из них.

4. Найти все экстремумы функции.

З а м е ч а н и е. Основная трудность при исследовании на экстремум состоит в решении системы (4.20). По этой причине многие практические задачи указанным методом решить не удаётся.

4.6. Наибольшее и наименьшее значения функции

двух переменных

Пусть замкнутая ограниченная область D задаётся на плоскости Oxy системой неравенств:

D: {}, (4.22)

где y = y1 (x) – уравнение нижней границы, а y = y2 (x) – уравнение верхней границы области D (рис. 56). Для нахождения наибольшего и наименьшего значений, которые достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D, или в точках, лежащих на границе области, надо:

1. Из условий (4.20) найти все стационарные точки функции z = f (x, y) , принадлежащие

открытой области D, и вычислить в них значе-

Рис. 56 ния функции.

2. Используя уравнения границ области D, ввести две функции одной переменной x:

z = f1 (x, y1 (x)) и z = f2 (x, y2 (x)), . (4.23)

Из условий и найти стационарные точки, принадлежащие интервалу (a, b), в которых затем вычислить соответствующие значения функций z = f1 (x) и z = f2 (x).

3. Найти два значения z = f (A) и z = f (B) в точках A и B, разделяющих границу области D на нижнюю и верхнюю части (рис. 56).

4. Из вычисленных значений функции z = f (x, y) во внутренних и граничных точках области D выбрать наибольшее M и наименьшее m.

4.7. Условный экстремум функции двух переменных.

Метод множителей Лагранжа

Пусть требуется найти экстремум функции z = f (x, y) лишь в точках линии g (x, y) = 0, расположенной в D (рис. 57). Уравнение g (x, y) = 0 называется уравнением связи переменных x и y, а экстремум функции z = f (x, y) в точках линии называется условным экстремумом. Точка M0 (x0, y0) линии называется точкой условного экстремума, если для всех точек из её окрестности, удовлет-

воряющих уравнению связи g (x, y) = 0, вы-

Рис. 57 полняется одно из неравенств

f (x, y) < f (x0, y0) или f (x, y) > f (x0, y

В тех случаях, когда уравнение связи g (x, y) = 0 удаётся разрешить относительно одной из переменных, например, выразить из него y через x в форме y = φ(x), тогда, подставив полученное выражение в функцию двух переменных, получим функцию одной переменной:

z = f (x, y) = f (x, φ(x

Её экстремум и будет условным экстремумом функции z = f (x, y).

В более сложных случаях сделать это не удаётся. Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа. Для этого вводится функция трёх переменных

L (x, y, λ) = f (x, y) + λ g (x, y), (4.26)

называемая функцией Лагранжа, где число λ называется множителем Лагранжа. Далее используется следующая теорема.

Т е о р е м а. Если точка M0 (x0, y0) есть точка условного экстремума функции z = f (x, y) при дополнительном условии g (x, y) = 0, то существует такое значение λ0, что точка (x0, y0, λ0) является точкой экстремума функции L (x, y, λ).

Из теоремы следует, что в точке (x0, y0, λ0) должны выполняться необходимые условия экстремума вида:

(4.27)

Последнее уравнение системы (4.27) совпадает с уравнением связи, а два первых уравнения можно записать в виде одного векторного уравнения

, (4.28)

т. е. в точке условного экстремума M0 (x0, y0) градиенты функций f (x, y) и g (x, y) коллинеарны с коэффициентом пропорциональности λ и противоположно направлены (рис. 57).

Достаточные условия условного экстремума имеют более сложную формулировку. Однако во многих экономических задачах стационарная точка функции Лагранжа оказывается единственной и соответствует наибольшему или наименьшему значению функции z = f (x, y) в точках линии, заданной уравнением связи g (x, y) = 0.

Если рассматривается функция нескольких переменных z = f (x1, x2, …, xn), n > 2, то может быть и несколько уравнений связи gi (x1, x2, …, xn) = 0, i = 1, 2, …, k. Соответственно в этом случае будет и несколько множителей Лагранжа λi, i = 1, 2, …, k.