Математика 10 класс

уравнения, содержащие знак абсолютной величины

Уравнения, содержащие переменную под знаком абсолютной величины, рассматриваются только над множеством действительных чисел R.

Теоретической основой решения таких уравнений является определение и свойства понятия абсолютной величины действительного числа.

Определение. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется неотрицательное число , определяемое следующим образом:

.

Свойства абсолютной величины действительного числа:

· 

· 

· 

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применяются чаще всего следующие методы: 1) раскрытие модуля по определению; 2) возведение обеих частей уравнения в квадрат; 3) метод разбиения на промежутки.

Пример 1. Решить уравнение (1)

Решение (1-й способ). Уравнение (1) равносильно совокупности двух смешанных систем: , . Из первой системы этой совокупности находим а из второй –

Ответ: 6.

Решение (2-й способ). Так как обе части уравнения неотрицательны, то исходное уравнение равносильно следующему: Но , поэтому уравнение (1) равносильно уравнению, откуда получим: и .

Пример 2. Решить уравнение (2)

Так как по определению абсолютная величина является неотрицательным действительным числом, то уравнение (2) решений не имеет.

Для решения простейших уравнений применима теорема №1.

Теорема №1. Уравнение равносильно совокупности уравнений: ; если ,то ; если , то уравнение решений не имеет.

Решая уравнения вида: где и – функции действительной переменной, можно пользоваться и первым, и вторым способом. Однако, если функция имеет более простой вид, чем , то целесообразно применять теорему №2.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Теорема №2. Уравнение вида равносильно совокупности двух смешанных систем: , .

Пример 3. Решить уравнение (3)

Решение. Уравнение (3) согласно теореме №2 равносильно совокупности двух смешанных систем: .

Ответ: 0; 3.

Пример 4. Решить уравнение (4)

Решение. Так как выражение отрицательно при любых действительных значениях , то уравнение (4) решений не имеет.

Решать уравнения вида возможно возведением обеих частей уравнения в квадрат (второй способ), но иногда предпочтительнее применить теорему №3.

Теорема №3. Уравнение вида равносильно совокупности двух уравнений: .

Пример 5. Найти целый корень уравнения: (5)

Решение. Согласно теореме №3 уравнение (5) равносильно совокупности двух уравнений . Первое уравнение системы имеет корни второе – соответственно . Целочисленный корень

Ответ:

При решении уравнений вида следует применять теорему №4.

Теорема №4. Уравнение вида равносильно системе двух уравнений: .

Пример 6. Решить уравнение (6)

Решение. Согласно теореме №4 уравнение равносильно следующей системе уравнений . Решая первое уравнение системы , находим его единственный действительный корень , который является так же корнем второго уравнения.

Ответ:

При решении уравнений, в которых под знаком модуля находится выражение, содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся внешние модули.

Пример 7. Решить уравнение (7)

Решение. Уравнение (7) равносильно совокупности двух систем: , т. е. совокупности систем.

Вторая система совокупности решений не имеет. Первая система совокупности равносильна совокупности двух следующих систем:

, т. е. совокупности систем .

Единственным решением последней совокупности, а следовательно, и исходного уравнения является

Ответ: 0.

Для уравнений, содержащих знак абсолютной величины, может возникнуть качественно новая ситуация, когда решения целиком заполняют некоторый промежуток.

Пусть дано уравнение вида

где – некоторые функции. Если это уравнение решать последовательным раскрытием знаков абсолютной величины, то после раскрытия одного знака получится совокупность двух систем, после раскрытия второго знака модуля – совокупность четырёх систем и т. д. Этот метод очень громоздкий. Такие уравнения проще решать методом промежутков, суть которого в следующем.

Сначала находят все точки, в которых хотя бы одна из функций меняет знак. Эти точки делят область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых все функции сохраняют знак. Затем, используя определение абсолютной величины, переходят от исходного уравнения к совокупности смешанных систем, не содержащих знаков модуля.

Пример 8. Решить уравнение .

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению . (8)

Найдём значения x, при которых выражения, стоящие под знаком модуля равны нулю. Найденные значения разбивают числовую ось на четыре промежутка: Решим уравнение (8) на каждом из этих промежутков, т. е. решим равносильную уравнению (8) совокупность четырёх смешанных систем: , ,

, .

Или : , , , .

Первая и вторая система совокупности решения не имеет, является решением третьей системы, – решение четвёртой системы.

Ответ: 0; 10.

Пример 9. Решить уравнение . (9)

Решение. Уравнение (9) очень похоже на уравнение, решённое в предыдущем примере, т. е. на первый взгляд может показаться, что его целесообразней решать методом разбиения на промежутки. Легко заметить, что в данном уравнении , т. е. , а тогда и . Таким образом, уравнение (9) равносильно смешанной системе , которая равносильна системе , не имеющей решений. Итак, уравнение (9) корней не имеет.

Заметим, что иногда особенности решаемого уравнения могут подсказать более короткий способ решения.

Пример 10. Решить уравнение . (10)

Решение. Так как и , то уравнение (10) равносильно неравенству , решая которое, получаем : .

Ответ: .

Пример 11. Решить уравнение (11)

Решение. Уравнение (11) равносильно системе которая в свою очередь равносильно совокупности двух систем:

. Вторая система этой совокупности равносильна совокупности двух систем . Таким образом получаем совокупность трёх систем:

. Так как вторая система решений не имеет, получаем совокупность двух систем .

В случае , получаем , что невозможно, учитывая область допустимых значений уравнения (11).

Ответ: Если то уравнение имеет два решения ;

если решение уравнения единственное:

если , то уравнение решений не имеет.

Задания для самостоятельного решения:

Решить уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Решить уравнения с параметрами:

1)

2)

3)

4)