Простые, сложные и эффективные ставки процентов (стр. 1 )

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОСТЫЕ, СЛОЖНЫЕ И ЭФФЕКТИВНЫЕ

СТАВКИ ПРОЦЕНТОВ

Методические указания к лабораторной работе

по дисциплине «Математика»

РПК «Политехник»

Волгоград

2008

УДК

П 82

Простые, сложные и эффективные ставки процентов: Методические указания к лабораторной работе по дисциплине «Математика» / Сост. ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2008. – 15 с.

Излагаются основные определения и формулы, а также рассматриваются простейшие задачи на формулы простых, сложных и эффективных процентов.

Предлагаются тринадцать вариантов индивидуальных заданий к самостоятельной работе.

Предназначены в помощь студентам экономических направлений.

Библиогр.: 2 назв.

Рецензент:

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

© Волгоградский

государственный

технический

университет, 2008

1. Простые проценты

В коммерческих, кредитных и иных финансовых сделках широко используются процентные вычисления. При этом, заключая финансовый или кредитный договор, стороны предусматривают размер процентной ставки – относительной величины дохода за тот или иной временной период (период вычисления): день, месяц, квартал, полугодие, год. Ставка дохода измеряется в процентах. Проценты согласно договоренности могут выплачиваться по мере начисления или присоединяться к основной сумме долга, т. е. происходит капитализация процентов, и этот процесс увеличения суммы денег за счет присоединения процентов называют наращиванием суммы (ее ростом).

В зависимости от условий контрактов проценты могут начисляться на основе постоянной базы или последовательно изменяющейся (проценты начисляются на проценты). При постоянной базе начисляются простые проценты, при изменяющейся – сложные.

Основная формула наращивания простых процентов имеет следующий вид:

S = P + L = Р × (1 + n × i)

где L – проценты за весь срок ссуды;

Р – первоначальная сумма долга;

S – наращенная сумма или сумма в конце срока или дисконтируемая сумма;

i – ставка наращения, ;

n – срок ссуды.

Рассмотрим несколько основных примеров.

Задача 1

Ссуда в размерерублей выдана на полгода по простой ставке процентов 90% годовых. Определить наращенную сумму..

Дано:

Р =руб.; i = 90% годовых; n = 0,5; S = ?

Решение:

S = P × (1 + n × i) =+ 0,5 × 0,9) =руб.

Задача 2

Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размереруб. вырастет доруб., если используется простая ставка процентов 80% годовых.

Дано:

Р =руб.; S =руб.; i = 80% годовых; n = ?

Решение:

S = P (1 + n × i) Þ .

года

n = ¾ года или 9 месяцев.

Задача 3

Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размереруб. достигнетруб. через полгода.

Дано:

Р =руб.; S =руб.; n = 0,5 года; i = ?

Решение:

S = P× (1 + n × i) Þ ,

,

n = 50%.

Задача 4

Кредит выдается под простую ставку 80% годовых на год. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратитьруб.

Дано:

i = 80% годовых; S =руб.; Р= ? L = ?

Решение:

S = P× (1 + i) Þ ,

руб.,

L = S – P =–=руб.

2. Сложные проценты

В финансовой и кредитной практике часто возникают ситуации, когда проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга (капитализация процентов). В этом случае применяются сложные проценты, база для начисления которых не остается неизменной (в отличие от простых процентов), а увеличивается по мере начисления процентов.

Для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются один раз в году, применяется следующая формула:

S = P × (1 + i)n.

где i – ставка наращения по сложным процентам.

Проценты за этот период равны:

I = S - P = P×((1 + i)n – 1).

Задача 5

Требуется определить, какой величины достигнет долг, равныйруб., через три года при росте по сложной ставке 10% годовых.

Дано:

n = 3; i = 10% годовых; Р =руб.; S = ?

Решение:

S = 20 000 × (1 + 0,10)3 =руб.

Задача 6

Рассчитать сумму первоначального вклада, если инвестор, делая вклад, желает иметь на счете в банке через три года 100 млн. руб., при использовании ставки сложных процентов 64% годовых.

Дано:

i = 64% годовых; n = 3 года; S =  000 руб.; Р = ?

Решение:

руб.

Однако практика показывает, что проценты начисляются обычно не один раз в году, а несколько (по полугодиям, поквартально и т. д.).

Предположим, что проценты начисляются m раз в году, а годовая ставка равна j. Таким образом, проценты начисляются каждый раз по ставке . Ставку j называют номинальной:

.

Формула наращения в этом случае будет выглядеть следующим образом:

.

где j – номинальная годовая ставка (десятичная дробь);

N – общее количество периодов начисления процентов:

N = m ×n.

Задача 7

Допустим, что в задаче № 5 проценты начисляются поквартально. В этом случае m = 4, a N = (4 × 3) =12, а наращенная сумма долга составит

руб.

Задача 8

Банк начисляет ежеквартально проценты на вклады по номинальной ставке 100% годовых. Определите сумму процентов, начисленных за два года на сумму руб.

Дано:

; Р =руб.; n = 2; m = 4; I = ?

Решение:

Количество периодов начисления в данном случае равно:

N = 4 × 2 = 8.

руб.

3. Эффективные годовые ставки процентов

Для привлечения вкладов населения часто указывается, что проценты начисляются ежеквартально или ежемесячно, это в итоге дает годовую эффективность вклада. Под годовой эффективностью вклада, в данном случае понимается значение годовой ставки процентов, при использовании которой для начисления процентов один раз в году будет получена та же самая сумма процентных денег. Значение такой эффективной годовой ставки процентов можно определить, приравняв выражения:

.

Отсюда:

.

Задача 9

Банк начисляет проценты на вклады по номинальной ставке сложных процентов 120% годовых. Определите доходность вкладов по эффективной годовой ставке процентов при их начислении: а) по полугодиям; б) ежеквартально; в) ежемесячно.

Дано:

j = 120 %; а) m = 2; б )m = 4; в) m = 12; i% = ?

Решение:

По формуле получаем:

а) .

б) .

а) .

4. Индивидуальные задания

1) Задача № 1.

№ варианта	Р (руб.)	n (года)	i (%)
1; 16	60000	0,6 года	80
2; 17	52000	3 года	90
3; 18	45000	0,7 года	82
4; 19	68000	0,8 года	81
5; 20	82000	2,2 года	84
6; 21	35000	1,2 года	83
7; 22	40000	1,5 года	72
8; 23	44000	2,5 года	75
9; 24	70000	0,5 года	75
10; 25	38000	0,75 года	80
11; 26	76000	0,6 года	85
12; 27	56000	2 года	82
13; 28	24000	1,5 года	75
14; 29	39000	0,5 года	78
15; 30	45000	1,5 года	80

2) Задача № 2. (Варианты 16-30).

Задача № 3. (Варианты 1-15).

№ варианта	Р (руб.)	S (руб.)	i (%)	n (года)
1; 16	32000	40000	80	0,7 года
№ варианта	Р (руб.)	S (руб.)	i (%)	n (года)
2; 17	52000	78000	65	1,2 года
3; 18	14000	26000	72	1,5 года
4; 19	18000	32000	67	0,8 года
5; 20	21000	40000	74	0,75 года
6; 21	19000	28000	81	2 года
7; 22	27000	39000	65	0,9 года
8; 23	22000	35000	84	1,3 года
9; 24	36000	44000	79	0,5 года
10; 25	31000	41000	63	0,75 года
11; 26	50000	72000	82	1,25 года
12; 27	48000	68000	65	1,25 года
13; 28	41000	77000	75	0,75 года
14; 29	23000	52000	77	0,8 года
15; 30	27000	49000	69	1,4 года

3) Задача № 4.