Задача дирихле для фрактального уравнения лапласа в прямоугольной области

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ФРАКТАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

Учреждение Российской академии наук Научно – исследовательский институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Нальчик

1.  Введение. Рассмотрим уравнение

, (1)

где - производная Капуто порядка , [1, c.11].

Оператор совпадает с оператором Лапласа при и обобщает его на нецелые значения порядка производной по переменной .

Необходимость исследования краевых задач для уравнения (1) определяется использованием фрактального уравнения Лапласа для описания производственных процессов при математическом моделировании социально-экономических систем [2].

В работе [3] методами теории потенциалов исследованы основные граничные задачи для трехмерного уравнения Лапласа дробного порядка. В работе [4] доказана корректность по Адамару аналога задачи Дирихле для уравнения

в прямоугольной области, где оператор дробного дифференцирования Римана-Лиувилля [1, c. 9].

В данной работе методом Фурье строится решение задачи Дирихле для уравнения (1) в прямоугольной области и предложенным в работе [5] методом доказывается единственность решения.

2.  Постановка задачи. Регулярным решением уравнения (1) в области назовем функцию такую, что и удовлетворяющую уравнению (1) во всех точках .

Задача Дирихле. Найти регулярное решение уравнения (1) удовлетворяющее краевым условиям

, (2)

, (3)

где - заданные функции.

Теорема 1. Если ,кусочно-непрерывны и кусочно-монотонны в промежутке , , , то функция

(4)

есть решение задачи (1)-(3), где функция типа Миттаг – Леффлера.

Теорема 2. Задача (1) – (3) имеет не более одного решения .

Список литературы.

1.  Нахушев исчисление и его применение. М.: Физматлит, 20,с.

2.  О математических и информационных технологиях моделирования и управления региональным развитием //Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. Т 9, №1. С. 128-137

3.  Лопушанська i граничнi задачi для одного piвняння в дробних похiдних // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51, № 1. С. 48-59.

4.  Еремин задачи для дифференциального уравнения, содержащего оператор дробного дифференцирования // Международный Российско-Казахский симпозиум ''Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" и Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Материалы, Нальчик-Эльбрус. 2004. С. 73-75.

5.  Нахушев единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференц. уравнения. 1970. Т 6. №1.

6.  Владимиров математической физики. М., 1971, 512 с.