УДК 624.042;627/627

ИССЛЕДОВАНИЕ ТРАНСФОРМАЦИЙ ПАВОДКОВЫХ ВОЛН ПОДЪЕМА УРОВНЕЙ ВОДНЫХ МАСС С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИЙ haar WAVELETS

Андриан Прикоп, Николае Маркое, Аурел Урсакий

Технический университет «Gh. Asachi» Ясы, Румыния

Предисловие

Исследование паводковых волн, уменьшенных за счет накопления воды, представляет большой интерес не только при проектировании, но и при эксплуатации водохранилищ. Исходя из дифференциальной формы высшего ранга уравнений состояния, через интегрирование функций Haar Wavelets доходим до алгебраической системы уравнений. Преимущество такого действия состоит в том, что оно позволяет осуществить некоторое авансирование трансформации паводковой волны, например определение уменьшения гидрографа, определение реверсного гидрографа, контроль уровня воды в водохранилище, оптимальное эксплуатирование объекта водного хозяйства и т. п.

Упругое состояние аппликации водных сооружений

Объем воды в водохранилище есть разность объемов притока и оттока, его можно представить в виде следующей формулы

, (1)

где, обращаясь к текущему моменту , , , представляет рамки промежутка времени, учтенного для анализа; - объем воды в водохранилище; - расход притока; - расход оттока. Вместимость водохранилища представляет собой функцию свободного уровня h воды, , откуда , так как и уравнение (1) можно написать в следующем виде

, (2)

с условием . Выяснив уровень связи с h, получаем (h), где S представляет поверхность, связанную с уровнем h, . Уровень воды в водохранилище, изменившийся во времени, или и уравнение (1) можно писать в следующем виде

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

, (3)

при условии Функции , и , данные в общем, – конечное число точек, так как нужно использовать числовую технику для их аппроксимации, например кубические функции. Для интегрирования уравнений в формулах (2) или (3) могут быть использованы классические числовые техники, например методы Runge – Kutta. Все таки, под этими формулами, уравнение состояния не позволяет легко осуществить авансированных анализов, например реверсивный гидрограф, контроль уровня воды в водоеме и др. Поэтому, предлагаем ее интегрирование, используя фунции Haar waveets, доведя ее до формы алгебрической системы уравнения.

Интегрирование уравнения с помощью функций Haar wavelets

Интегрирование уравнений (1) в отношении с временем t, , получаем

. (4)

Если , si , откуда получаем , , , , . Если целое число , то число равных промежутков, на которое делится промежуток времени . Объем каждого промежутка равен . Если , ; равно действует .

Если , или , . Если

, , (5) гдеи ; где , - векторы линий, имея 1x элементов и является матрицей функций Haar wavelets, определенной по масштабу вpeмени, с линии и колонны, в предлагаемой форме Chen C. F. и Hsiao C. H. /1997/. Интегрируя уравнения (5) в отношение к времени, имеем:

(6)

где - операционная интегрированная матрица функций Haar wavelets, а также линии и колонны в предлагаемой форме Chen C. F.и Hsiao C. H. /1997/. Интегриров снова (6), следует:

(7)

где константа , . Заменяя (7) в (1), имеем

+. (8)

Обрабатывая одинаково аргумент h, , где , представляет возможные экстренные уровни воды в данном промежутке времени, имеем и ; отсюда следует, что , . Если целое число, то есть и есть равные промежутки, каждая величина , по промежутке .

Если , ; получаем , , , .

Если , и

, (9)

где . Интегрируя (9) в отношение к h, имеем

, (10)

где и является матрицей функций wavelets, а также операционной матрицей для интегрирования функций wavelets на оси h. Интегрируя снова (10), получим

. (11)

Имея в виду (8) и (11), уравнение (1) превращается в систему уравнений

=+

, (12)

независимые аргументы и , объем воды из водохранилища W, и векторы, , зависимые от нее. Остальные члены постоянные, известные данные рассматриваемого водоема. Система (12) может быть решена в целях предлагаемого анализа: определение уменьшенного гидрографа, определение реверсного гидрографа, контроль уровня воды в водоеме и. т.д.

Определение уменьшенного гидрографа (прямой гидрограф)

В этом случае для каждого срока , будем считать

, (13)

где

. (14)

Переставляя (13) в (12), имеем

=

+, (15)

где известные выражения , , , уравнения решаются в соответствии с .

Если - найденное решение, то можно решать далее

, (16)

Решение уравнения (15) можно выполнить с точностью при простой идентификации минимальных величин и абсолютной величины функции уравнении.

Определение реверсного гидрографа

В этом случае считается известным вектор , и из исходит и , соответственно. Считая , определяем вектор , и параметры . Из уравнения (12) получаем

=+

+[-], (17)

и через преобразование .

Пример расчета

Дано: соответствующая кривая (рис. 1), расход притока - (рис. 2), ;, , , , если и 0 то ;

, .

 

Фиг. 1. Фиг. 2.

Рис. 1 Рис. 2

Для , =64, с. то , ; находим ; если , находим =128, m. Находим из уравнений (5)...(7) и получаем результаты из графика рис. 3,a b, c. Из уравнений (9)…(11) получаем результаты из графика рис. 4, a, b, c. Решая уравнение (15), получаем графические результаты рис. 5 (модуль в скале), сравнивая с предыдущими результатами, получеными через интегрирование уравнения (3) с помощю метода Runge – Kutta на уровень 4/5. Разница между значениями определенных с помощью предыдущих двух методов составляют менее 1 cм.

Вышеприведенные результаты расчетов были получены с помощью программы, разработанной и тестированной в работе Matlab. Время расчета: 0.09 с для интегрирования уравнения (3), используя Runge – Kuttaм им 0.07 с для решении уравнения (5).

Подпись:

a) b) c)

Рис. 3

 

а) b) c)

Рис. 4

 

a) b) c)

Рис. 5

Вывод

Исходя из уравнений состояния, принятых в случае наводнений с функцией уменьшения волн, подъема уровня под дифференциальной формой, применяем технику интегрирования уравнений с помощью ортогональных функций Haar wavelets и получаем нелинейную алгебраическую систему уравнений. В такой форме уравнения позволяют выполнять многочисленные анализы трансформации волн подъема уровня наводнения, как, например, уменьшенного гидрографа, определение реверсного гидрографа, контроль уровня воды в водоеме.

Для упрощения расчетов была составлена программа, разработанная в программе Matlab.

Представлен пример выполненного расчета, используемый в полученной систему уравнений. Приводится сравнение полученных результатов с данными, полученными с использованием других методов интегрирования уравнений состояния.

Библиографический список

1.  Fenton J. D. – Reservoir Routing, J. Hydrological Sci. 37(3), 1992.

2.  Pricop A., Leu D., Grosu M. – Анализ переоплощение волн подъема уровня водяных накоплений с помощью уменьшенной уравнений, под диференциальной формой, Revista Hidrotehnica nr, 1995.

1.  3.. Chen C. F., Hsiao C. H. – Haar wavelet method for solving lumped and distributed -

2.  parameter systems, IEE Proc.-Control Theory Appl., Vol. 144, No. 1, January, 1997.

3.  Zoppou C. – Reverse Routing of Flood Hydrographs Using Level Pool Routing, Journal of Hydrologic Engineering, April, 1999.

4.  Pricop A., Marcoie N. – Интеграция уравнений уменьшенных волн подъема уровня водяных накоплений с помощью функций Haar wavelets и сравнительный анализ результатов, International Conf. Disaster and Pollution Monitoring (IC. DPM. 1), Iasi, 18-20 nov., 2004.