Определение суммы и произведения двух матриц. Свойства этих операций

Определение суммы и произведения двух матриц. Свойства этих операций

Определение суммы и произведения двух матриц. Свойства этих операций.

1.  Сложение матриц . Суммой двух матриц A и B (одинаковый размер: ) есть матрица такая, что для

Запись С = A + B.

Свойства:

1)  A + B = B + A (коммутативность).

Док-во: Идея: поэлементное сравнение.

Равенство матриц их элементы совпадают, т. е.

C = A + B, то . , то .

2) (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность).

3)

2. Умножение матрицы на число. Пусть . .

Определение: - называется произведением (записывают ), если (все элементы A умножены на ).

Вопрос:

Свойства сложения и умножения на число:

1) (дистрибутивность).

2)

3) (ассоциативность).

4)

5) .

3. Умножение двух матриц. Матрицу можно умножить на матрицу если , т. е. число столбцов в первом множителе равно числу строк во втором.

Определение: Матрица C называется произведением матрицы на матрицу , если .

Запись: (порядок множителей важен!). .

(9.1). Соответствующий элемент й строки матрицы A умножается на соответствующий элемент го столбца матрицы B, а затем произведения складываются.

Свойства умножения двух матриц:

1) (вообще говоря).

2) . (ассоциативность).

3) . (связь умножения и транспонирования).

4) (связь умножения и сложения).

5) (определитель произведения).

Теорема об ассоциативности произведения двух матриц.

.

Док-во:

- левая часть, - правая часть.

Поэлементно:

. Подставляем (2) в (1): .

Итак,

Примеры некоммутативности произведения двух матриц.

Если A и B – квадратные, то определена операция умножения. Для есть примеры некоммутирующих матриц:

Теорема об определителе произведения квадратных матриц.

Пусть A и B - квадратные матрицы порядка n, тогда . (Определитель произведения равен произведению определителей.)

Док-во:

1 – й шаг:

Рассмотрим вспомогательный определитель порядка 2n:

.

Применим теорему Лапласа к вычислению . Зафиксируем первые n строк, на этих строках строится единственный, не равный 0, минор, если выбрать первые n столбцов .

2 – й шаг:

Преобразование . Цель преобразования: получить в блоке, где стояла B, нулевую матрицу.

Работаем со столбцами: . Рассмотрим й столбец. Преобразование: .

. Если , то после указанного преобразования го столбца, получаем столбец вида: . Описанные преобразования не меняли значения . Вычисляем по теореме Лапласа, фиксируя последние n строк. На этих строках существует единственный минор, отличный от нуля, соответствующий

Тогда .

3 – й шаг:

По 1 – му шагу:

По 2 – му шагу: . ЧТД.

Связь транспонирования и умножения матриц.

.

Док-во: , тогда .

Поэлементно: Найдём элемент с номером в правой части равенства .

, т. е. любой элемент правой части равен соответствующему элементу . ЧТД.

Алгебра квадратных матриц.

. Квадратные матрицы можно складывать, умножать в одном порядке, умножать на любую константу, в результате получаем вновь квадратные матрицы того же порядка. Говорят, что алгебра квадратных матриц.

Единичная матрица и её свойства.

«Единица в ». .

называется единичной матрицей. Элементы матрицы обозначаются: , ( символ Кронекера).

Свойства E:

1. .

2. .

3. Матрица E, обладающая свойством 2 – единственная.

Док-во:

1.  (определитель диагональной матрицы): .

2.  тогда [единственное ненулевое слагаемое получаем, если ] , т. е. (Обратно по аналогии).

3.  Пусть некоторая другая матрица, обладающая свойством 2. ЧТД.

Левая и правая обратные матрицы, их совпадение.

«Обратный элемент»

Определение: Матрица называется левой обратной к если . правая обратная, если .

Утверждение: Если то A не имеет ни левую, ни правую обратные матрицы.

Док-во:

1.  Пусть . От противного: пусть т. е. .

Определитель от обеих частей: противоречие, т. е. нет левой обратной.

2.  Пусть . Показать по аналогии, что A не имеет . ЧТД.

Определение: Если , то A – называется вырожденной, если , то A – невырожденная.

Критерий равенства 0 определителя (критерий вырожденности матрицы): , когда его строка (столбец) – есть ЛК других строк (столбцов).

Док-во:

1. - достаточность – свойство 6 определителя.

2. Если , то , т. к. единственный минор n – ного порядка равен нулю, следовательно все n строк (столбцов) матрицы A ЛЗ, значит ЛЗ систем. Одна из строк (один из столбцов) выражается линейно через остальные, т. е. является их ЛК. ЧТД.

Вывод: вырождена

Утверждение: Если имеет , то эти матрицы совпадают.

Док-во:

. ЧТД.

Если A имеет правую и левую обратные, то они совпадают и называются обратная матрица к матрице A, обозначение: , т. е. .

Связь обращения матрицы с умножением и транспонированием.

Утверждение: Пусть .

1)

2) .

(A, B – невырожденные матрицы.)

Док-во:

1. A, B – невырожденные матрицы, невырожденная, и эта матрица единственная.

(по определению обратной).

2.  A – невырожденная невырожденная матрица. .

по определению обратной. ЧТД.

Критерий существования обратной матрицы.

Матрица A имеет обратную A – невырожденная.

Док-во:

1.  Пусть , тогда A имеет и правую и левую обратные матрицы по утверждению (см. выше) она не может быть вырожденной .

2.  - достаточность.

Пусть d = . . Составим матрицу: . Рассмотрим

[Сумма произведений элементов й строки A на алгебраическое дополнение й строки] .

. Рассмотреть и по аналогии доказать, что произведение равно .

Матрица обладает свойством обратной матрицы, т. е. . - присоед-ая матрица. . ЧТД.

Ранг произведения матриц.

Утверждение: Пусть C = AB.

. Ранг произведения матриц не превосходит минимума рангов множителей.

Док-во: C = AB.

1. - система столбцов A, тогда .

Столбцы матрицы C.

выражение столбцов матрицы C через столбцы матрицы A.

C, как система столбцов выражается через A как система столбцов

2. ранги матрицы и её транспонированной матрицы совпадают, значит по первому пункту доказательства: , т. е. выступает в качестве первого множителя, т. е. матрицы A в 1 – м пункте.

Т. к. , то .

Итак, . ЧТД.

Решение матричных уравнений.

СЛУ, используя правила произведения матриц, можно записать в виде:

, где A – основная матрица системы, столбец переменных, столбец свободных членов.

. Рассмотрим случай, когда A – квадратная невырожденная матрица, т. е. (rkA = n).

. Умножим обе части уравнения на слева.

Система определённая. Матричная запись формулы Крамера.