Расчёт статически неопределимого прямого стержня ступенчато-переменного сечения
,
Расчёт статически неопределимого
прямого стержня
ступенчато-переменного сечения
Методическое пособие для выполнения расчётно-графической работы
«Расчёт статически неопределимого прямого стержня ступенчато-переменного сечения
на действие осевой нагрузки
с учётом неточности изготовления и температурного фактора»
Ставрополь -2006
Методическое пособие предназначено для студентов инженерных специальностей и используется при выполнении расчётно-графической работы «Расчёт статически неопределимого прямого стержня ступенчато переменного сечения на действие осевой нагрузки, с учётом неточности изготовления и температурного фактора». Здесь в краткой форме приведены необходимые теоретические сведения по существу выполняемой работы. Представлен численный пример – образец выполнения этой работы, сопровождаемый соответствующими комментариями. Методическое пособие завершаются заданием, исходными данными для выполнения расчётно-графической работы и требованиями к её оформлению.
Рецензенты:
Лауреат Государственной премии СССР,
д. т.н., проф.
д. ф.-м. н., проф.
1. Краткая характеристика работы
Расчётно-графическая работа (РГР) состоит из двух неравных по объёму частей. В первой части осуществляется статический расчёт жёстко закреплённого по торцам статически неопределимого прямого стержня ступенчато переменного сечения, находящегося под действием осевой нагрузки; определяется его напряжённо-деформированное состояние и осуществляется подбор сечения этого стержня. Во второй части работы оценивается влияние на прочность запроектированного стержня двух факторов – технологического (неточность изготовления) и температурного (разность температур изготовления и эксплуатации).
2. Сведения из теории
Прежде чем приступить к выполнению расчётно-графической работы необходимо вспомнить некоторые сведения из курса сопротивления материалов, относящиеся к основам теории осевого растяжения-сжатия прямого стержня.
2.1 Объект, который рассматривается в настоящей работе, суть прямой стержень или, что тоже самое, прямой брус, выполненный из стали.
Стержнем обычно называют материальный объект, у которого один размер много больше, двух других.
Геометрическое место точек, являющихся центрами тяжести поперечных сечений стержня, называется геометрической осью стержня или просто осью стержня
В РГР рассматривается стержень с прямолинейной осью (прямой стержень) и переменным поперечным сечением, именно, – прямой стержень, со ступенчатым изменением поперечного сечения.
2.2. Расчётная схема прямого стержня, заменяющая физический стержень, как правило, изображается прямой линией, совпадающей с геометрической осью стержня, на которой варьированием толщины линии выделяются участки со ступенчатым изменением поперечного сечения. В РГР ступенчатый стержень изображается в масштабе как боковая проекция некоторого физического стержня.
2.3. Опорным закреплениям торцов стержня, рассматриваемого в РГР, является жёсткая заделка (жёсткое защемление) - закрепление, исключающее какие - либо перемещения каждого из двух торцов стержня
2.4. Внешними силовыми факторами для стержня, рассматриваемого в РГР, являются сосредоточенные силы. поэтому необходимо помнить, что сосредоточенная сила определяется как результат взаимодействия двух тел по малой площадке контакта между ними.
2.5. При осевом растяжении – сжатии одного стержня, сосредоточенные силы Fi приложены к оси стержня и действуют вдоль этой оси. Поэтому в теории осевого растяжения (сжатия) возможно только одно уравнение равновесия. Именно, равенство нулю суммы всех сил, действующих вдоль оси стержня. Если ось 0Х является осью стержня, то в векторной записи уравнение равновесия, как равенство нулю суммы проекций всех сил на эту ось, выглядит так:
. (2.1)
Различают силы внешние и силы внутренние.
2.5.1. К категории внешних сил относятся заданные осевые силы, обозначаемые символом F и опорные реакции, обозначаемые символом R.
2.5.2. К категории внутренних сил относят силы взаимодействия между частями тела. В случае осевого растяжения-сжатия это силы, приложенные к оси стержня, действующие вдоль оси и называемые, по этой причине, продольными силами. Продольные силы обозначаются символом N и считаются положительными при растяжении стержня и отрицательными его при сжатии. Внутренние продольные силы N определяют методом сечений.
2.5.3. Силы измеряются в системе единиц СИ в Ньютонах, Н. 1 Н - сила, сообщающая массе 1 кг ускорение 1 м/с2 (1кН =103 Н, 1 МН = 103 кН = 106 Н).
2.5.4.Основой метода сечений является справедливость следующего утверждения: если некоторая механическая система под действием приложенных к ней сил находится в состоянии равновесия, то любая её часть тоже находится в состоянии равновесии. Итак, если мысленно рассечь стержень, находящийся в равновесии под действием внешних сил на части, минимум на две части, то каждая из этих частей тоже будет находиться в равновесии. При этом для каждой отсечённой части вводится сила, приложенная к сечению. Одна из сил приложена к правой отсечённой части стержня, а другая – к левой. Это – силы взаимодействия между рассечёнными частями стержня (внутренние силы N), они равны между собой по величине и противоположны по направлению. В каждой из двух частей стержня эти силы уравновешивают соответствующие внешние силы, поэтому и определяются из уравнения равновесия (2.1), составленного для любой из двух отсечённых частей стержня.
2.6. При осевом растяжении – сжатии, под действием сосредоточенных сил Fi , плоские поперечные сечения стержня перемещаются поступательно относительно своего первоначального положения вдоль оси стержня как абсолютно жёсткие элементы без каких-либо искривлений (депланаций). Именно в этом и состоит смысл гипотезы плоских сечений для центрально сжатого – растянутого стержня.
В соответствии с гипотезой плоских сечений можно представить механическую модель стержня в виде набора абсолютно жёстких, плоских дисков (поперечных сечений), размещённых между собой параллельно и соединённых друг с другом множеством пружин.
2.7. Под действием осевых сил, приложенных к стержню происходит деформация стержня и изменяется его длина . Характеристиками деформации прямого стержня длиною l при осевых нагрузках являются его абсолютное удлинение (укорочение) Δl и относительное удлинение (укорочение) ε.
2.7.1. Абсолютным удлинением прямого стержня Δl называют разность между длиной деформированного стержня l1 и его первоначальной длиной l:
Δl=l1–l. (2.2)
Знак плюс отвечает растяжению стержня, знак минус – его сжатию. Абсолютное удлинение стержня является интегральной характеристикой. Действительно, абсолютное удлинение всего стержня складывается из абсолютных удлинений его частей, величина которых зависит от исходной длины, действующих сил, размеров поперечного сечения и упругих свойств материала. В системе СИ длина стержня и его абсолютное удлинение измеряются в метрах (м).
2.7.2. Относительным удлинением прямого стержня ε называют отношение абсолютного удлинения стержня Δl к его первоначальной длине l.:
ε = Δl/ l. (2.3)
Знак относительного удлинения совпадает со знаком абсолютного удлинения. Это либо знак плюс при растяжении стержня, либо знак минус при его сжатии. Относительное удлинение является дифференциальной характеристикой стержня, определяется для точки оси стержня и не связано с предыдущими значениями ε.
2.8. При осевом растяжении – сжатии прямого стержня возникают, как уже упоминалось в п. 2.4.2, внутренние сосредоточенные силы – продольные силы N. Продольная сила суть равнодействующая множества сил, приходящихся на элементарные площадки, из которых складывается площадь поперечного сечения стержня. Воспользовавшись моделью, отражающей гипотезу плоских сечений (п. 2.5) в виде набора абсолютно жестких элементов и соединяющих их между собой пружин, нетрудно понять, что при действии осевой силы все пружины между двумя плоскими элементами будут либо одинаково сжаты, либо одинаково растянуты. Следовательно, внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения стержня, будет направлена перпендикулярно к поперечному сечению и составит величину N/A, где символом А, м2 обозначена площадь поперечного сечения. Эта силовая характеристика носит название нормального напряжения (действует по нормали, по перпендикуляру, к сечению) и обозначается символом σ:
σ = N/A. (2.4)
Знак нормальных напряжений σ отвечает знаку продольной силы N, положительный знак при растяжении и отрицательный – при сжатии.
Напряжения в системе СИ измеряются в Паскалях (Па): 1 Па = 1 Н/м (1кПа =103 Па, 1 МПа = 103 кПа = 106 Па).
2.9. Прочность стержня при осевых нагрузках определяется выражением:
, (2.5)
где │σmax│ – наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение (растяжения или сжатия), возникающее в рассматриваемом стержне; [σ] – допускаемое нормальное напряжение, выше которого прочность стержня не обеспечивается. Величина допускаемого напряжения может быть различной при растяжении и при сжатии. Именно это и предполагается учесть в РГР, где, используя выражение (2.5), площадь поперечного сечения определяется из условия прочности стержня на растяжение (индекс р):
и условия прочности стержня на сжатие (индекс с):
.
Выбирается наибольшее значение площади поперечного сечения А из этих двух величин:
(2.6)
Вообще говоря, выражение (2.5), кроме проверки прочности стержня и подбора площади поперечного сечения, решает ещё и задачу определения допускаемой нагрузки, которую выдерживает стержень:
2.10. Между напряжениями и деформациями физического тела существует взаимосвязь, зависящая от вида материала. Характер этой взаимосвязи устанавливается экспериментально.
2.10.1. Для стержня из стали при небольших деформациях связь между напряжениями и деформациями имеет линейный характер и выражается законом Гука:
σ = Е · ε, (2.7)
где σ – нормальное напряжение, Е – модуль упругости, измеряемый в Паскалях (Па), ε – относительное удлинение.
2.10.2. Подставляя в выражение (2.7) соотношения (2.3) и (2.4) закон Гука может быть представлен в таком виде:
, (2.8)
где Δl – абсолютное удлинение, l – первоначальная длина стержня, Е – модуль упругости, А – площадь поперечного сечения.
2.10.3. Для отрезка элементарной длины l = dx при непрерывно меняющихся силовых и геометрических характеристиках, выражение (2.8) трансформируется в следующее:
,
откуда для отрезка стержня длиной l1, с очевидностью, получим выражение:
. (2.9)
Если параметры подынтегрального выражения изменяются ступенчато, как это имеет место в РГР, то интеграл (2.9) заменяется суммой перемещений, которая для трёхэлементного стержня имеет вид:
. (2.10)
2.11. Вследствие малости перемещений, и линейной закономерности между напряжениями и деформациями для рассматриваемой в РГР задачи оказывается справедливым принцип суперпозиции. Смысл принципа суперпозиции состоит в том, что эффект от действия нескольких факторов равен сумме эффектов от каждого фактора в отдельности. Принцип суперпозиции в оценке напряжённого состояния стержня от действия внешних сил, неточности изготовления и изменения температуры применяется в РГР. В случае внешней нагрузки принцип суперпозиции называется принципом независимости действия сил.
2.12. Если для какой-либо стержневой системы опорные реакции или усилия в стержнях отыскиваются только из уравнений равновесия вида (2.1), то такая система называется статически определимой. В противном случае система является статически неопределимой и для раскрытия статической неопределимости составляется необходимое число дополнительных уравнений кинематического характера. Способ составления этих дополнительных уравнений зависит от сущности задачи. Наиболее простым способом получения дополнительных уравнений является преобразование статически неопределимой системы в статически определимую путём отбрасывания части связей (закреплений) и составление кинематических уравнений об отсутствии перемещений по направлению этих отброшенных связей.
2.13. Для статически определимого стержня неточность его изготовления не вызывает дополнительных напряжений при установке стержня на место. Наоборот, для статически неопределимого стержня неточность изготовления может вызывать дополнительные (монтажные) напряжения. Такие напряжения возникают, если эта неточность сопрягается с дополнительными закреплениями. В неточно изготовленном стержне, жестко закреплённом по обоим торцам, монтажные напряжения возникают вследствие необходимости предварительного растяжения или сжатия такого стержня для установки на место при сборке. Эти дополнительные напряжения учитываются в расчётах на прочность.
Знак (+) при некоторой величине отклонения δ будет означать, что деталь выполнена больше номинального размера, знак (-), – что меньше.
Идеология расчёта стержня на прочность в случае неточности изготовления близка к изложенному в предыдущем пункте 2.11. Именно, для определения внутренних сил кроме уравнения равновесия (для один раз статически неопределимого стержня) составляется дополнительное уравнение деформаций, смысл которого состоит в равенстве перемещения, вызванного продольными силами, величине отклонения δ , взятой с обратным знаком.
2.14. При изменении температуры стержня от t1 до t2 (интервал температур Δt = t1 - t2) и равномерном распределении температуры по сечению возникают (температурные) перемещения. При положительном интервале температур (+Δt 0С) происходит удлинение стержня, при отрицательном (-Δt 0С) – его укорочение. Величина перемещений Δlt определяется выражением:
Δlt = l· Δt 0С·α, (2.11)
где l – первоначальная длина стержня, α – коэффициент линейного температурного расширения.
Эти перемещения, если они осуществляются свободно, не вызывают дополнительных напряжений. В противном случае, когда свобода перемещений ограничена или отсутствует вовсе, как это имеет место в статически неопределимых системах, возникают дополнительные, так называемые, температурные напряжения.
Определение внутренних сил в статически неопределимом стержне при температурных воздействиях сводится к действиям, изложенным в пункте (2.13). В этом легко убедиться, если представить себе следующий порядок событий: вначале стержень изменяет свою длину от действия температуры (выполнен с отклонением от требуемых размеров, определяемым по формуле (2.11)), а затем уже устанавливается на место.
2.15. Для обозрения общей картины напряжённо-деформированного состояния стержня и удобства расчётов строятся эпюры. Это – эпюры внутренних сил, напряжений, перемещений и другие.
Эпюра некоторой величины Z представляет собой графическое изображение изменения этой величины вдоль оси стержня. Ось эпюры параллельна оси стержня (абсцисса) или совпадает с ней. Перпендикулярно оси эпюры в выбранном масштабе откладываются значения величины Z (ординаты) и указывается знак ординат (плюс или минус). Эпюра Z идентифицируется и указывается её размерность, например, эпюра продольных сил и её размерность определяется как «Эп.N, кН».
Размещение конкретной ординаты на оси эпюры, её абсцисса, отвечает сечению с той же абсциссой на оси стержня. Величина этой ординаты равна значению характеристики (в масштабе) для которой построена эпюра.
3. Пример выполнения РГР
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Федеральное государственное образовательное учреждение
Ставропольский государственный аграрный университет
Факультет механизации сельского хозяйства
Кафедра технологий и сопротивления материалов
Расчётно – графическая работа №1
Расчёт статически неопределимого прямого стержня
ступенчато-переменного сечения на действие осевой нагрузки
с учётом неточности изготовления
и температурного фактора
(шифр 60814)
Выполнил:
студент 2-го курса ….-й группы
факультета……………………….
……………………………………
Проверил:
………………………..
Ставрополь, 20.. г.
Задание
Стальной стержень ступенчато переменного сечения жёстко закреплён в опорах. По оси бруса в точках В и С приложены соответственно силы FB и FC.
Требуется:
1. Определить опорные реакции RВ и RЕ.
2. Построить эпюры
- продольных сил N;
- нормальных напряжений σ;
- продольных перемещений Δl;
- относительных удлинений ε;
3. Подобрать необходимую площадь поперечного сечения стержня – А из условия прочности на растяжение или на сжатие, если допускаемое напряжение на растяжение составляет [σр] = 160 МПа, а на сжатие – [σсж] = 100 МПа.
4. Определить, как изменятся нормальные напряжения в стержне, если
- стержень изготовлен с отклонением от номинального размера на величину δ = β·а;
- температура эксплуатации стержня отличается от температуры его изготовления на величину Δt 0C, при коэффициенте линейного температурного расширения для стали α = 0,12·10-4 0C-1,
- одновременно влияют оба фактора (неточность изготовления и температура).
Исходные данные
Схема | Силы | а, м | Отклонение от номинальных размеров | Отклонение от температуры изготовления | |||||
FC, кН | k= FD/ FC | направление | |||||||
FC | FD | β104 | знак | Δt, 0C | знак | ||||
| 12 | 2 | → | ← | 1,3 | 5 | + | 40 | - |
6 | 8 | 0 | 1 | 4 | 6 | 8 | 0 | 1 | 4 |
Примечание: в последней строке исходных данных в соответствующих столбцах размещается цифры шифра студента. (В представленном примере исполнения РГР цифры шифра и исходные данные могут не соответствовать друг другу)
1. Определение опорных реакций
Совместим координатную ось Х с осью симметрии стержня и идентифицируем три составляющих части постоянного сечения этого бруса номерами 1, 2 и 3, так, как это показано на рисунке 1. Далее соответствующие индексы при общепринятых обозначениях будут означать их отношение к соответствующим частям. Например, l1 – длина первой части (l1=3а), или А3 – площадь третьей части (А3 =А) и тому подобное. Направим опорные реакции RB и RE в положительную сторону оси Х и запишем уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на ось Х: , или
.
Рис.1
Так как FC=12 кН, а FD=12 кН·k= 12кH·2=24кН, то это уравнение равновесия примет вид:
. (1)
Рассмотрена статическая часть задачи и получено одно уравнение равновесия (1). Ясно, что из одного уравнения статики (1) невозможно найти обе опорные реакции RB и RE, то есть задача является один раз статически неопределимой и для её решения необходимо получить ещё одно уравнение, уже кинематического характера.
Второе уравнение для нахождения опорных реакций может быть получено в результате следующих простых рассуждений.
Рис.2
Освободим рассматриваемый брус от правого опорного закрепления, заменив его действительной реактивной силой RE (рис.2). От такого представления кинематические условия исходной задачи не изменятся, то есть точка Е при совместном действии на брус всех внешних сил, включая силу RE, не перемещается (точка Е на оси стержня остаётся неподвижной). Далее используем принцип суперпозиции (принцип независимости действия сил, в данном случае) для формульной записи этого обстоятельства. Под действием заданных сил FC=12 кН и FD=24 кН концевое сечение бруса вместе с точкой Е получает некоторое перемещение Δl(FC,,FD), равное сумме удлинений каждого из трёх стержней – элементов исходного бруса. Точно такое же перемещение, но противоположного знака, должен получить этот, уже статически определимый, брус от действия искомой опорной реакции RE. . Обозначив перемещение концевого сечения бруса от действия реактивной силы RE символом Δl(RE), запишем условие деформаций в виде следующего равенства:
Δl(FC,,FD) + Δl(RE) = 0, (2)
означающего, что перемещение концевого сечения бруса от совместного действия сил FC, FD и RE равно нулю, так как в действительности правый торец стержня жёстко закреплён.
Для дальнейшего преобразования выражения (2) воспользуемся законом Гука в форме Δl = (N·l)/(E·A), где Δl – абсолютное удлинение стержня, N – продольная сила, l – длина стержня, Е – модуль упругости, А – площадь поперечного сечения стержня. В рассматриваемой задаче стержень имеет ступенчато переменное сечение и состоит из трёх элементов, идентифицированных ранее номерами 1,2 и 3. Эти же номера будем присваивать всем соответствующим параметрам в выражении закона Гука для рассматриваемой задачи, который имеет такой вид:
. (3)
Для вычисления выражения (3) необходимо иметь значения продольных сил Ni для каждого из стержней, составляющих исходный брус, поэтому переходим к построению эпюр продольных сил N для заданного бруса, освобождённого от правой опоры, то есть статически определимого. Построение эпюр осуществляем методом сечений.
1.1 Эпюра N(FC,,FD)
Для построения эпюры продольных сил только от сил FC,,и FD определяем участки, в пределах которых продольная сила изменяется непрерывно (грузовые участки), а в данном случае сохраняет постоянное значение (рис.3). Таких участков всего три (между точками приложения сил), в каждом из которых проводится сечение и рассматривается равновесие отсечённой части.
Рис.3
Сечение 1–1 по элементу стержня 1. Отбрасывается левая часть стержня от сечения 1–1, её действие заменяется внутренней силой N1 (рис.4). Рассматривается равновесие правой части.
0 ≤ x1 ≤ 2,6 м,
Рис.4
Из уравнения равновесия отсечённой части 
получим выражение:
12 кН – 24 кН – N1 = 0.
Отсюда следует: N1 = -12 кН.
Сечение 2 – 2 по элементу стержня 2. Отбрасывается левая часть стержня от сечения 2–2, её действие заменяется внутренней силой N2 (рис.5). Рассматривается равновесие правой части.
2,6 м ≤ x1 ≤ 3,9 м,
Рис. 5
Из уравнения равновесия отсечённой части получим:
– 24 кН – N2 = 0.
Отсюда следует: N2 = -24 кН.
Сечение 3 – 3 по элементу стержня 3. Отбрасывается левая часть стержня от сечения 3–3, её действие заменяется внутренней силой N3 (рис.6). Рассматривается равновесие правой части.
3,9 м ≤ x1 ≤ 5,2 м,
Рис. 6
Из уравнения равновесия отсечённой части,
ввиду отсутствия сил, получим: N3 = 0.
Полученные результаты для всех трёх участков представляем в графической форме (рис.7) как эпюру продольных сил N(FC,,FD):
Рис.7
1.2 Эпюра N(RE).
Для построения эпюры продольных сил N от реактивной силы RE замечаем, что в этом случае будет лишь один грузовой участок, так как имеет место приложение одной силы в концевом сечении бруса. Поэтому здесь можно обойтись только одним сечением (Рис. 8).
Рис. 8
Правая отсечённая часть представлена на рис.9. Действие отброшенной части заменено внутренней силой N(RE).
0 ≤ x ≤ 5,2 м,
Рис. 9
Уравнение равновесия отсечённой части выглядит таким образом::
– N(RE)+ RE = 0.
Отсюда следует: N(RE)= RE – постоянная величина.
На рис.10 изображена эпюра продольных сил N(RE) с размерностью RE..
Рис. 10
1.3. Имея эпюры продольных сил для каждого из вариантов нагрузки (Рис. 8 и 10), определим слагаемые уравнения (2). Именно,
перемещение концевого сечения бруса от сил FC и FD :
;
перемещение концевого сечения бруса от силы RE:
. (4)
Подставляя полученные значения в уравнение (2), приходим к выражению:
,
Отсюда определяется опорная реакция RЕ:
RЕ = 9, 231 кН.
Подставляя найденное значение RЕ в уравнение (1), представим его в виде:
,
и определим вторую опорную реакцию RВ
RВ = 2, 769 кН.
Таким образом, обе опорные реакции RЕ и RВ определены, что и требовалось выполнить в п.1 задания.
Примечание.. Значение опорной реакции RЕ в рассматриваемом случае оказалось со знаком плюс, что сохранило знак эпюры N(RE) и первоначально принятое направление опорной реакции. Иначе (при знаке минус) изменяется как направление опорной реакции RE так и знак эпюры N(RE,что необходимо учесть в дальнейших построениях.
2. Построение эпюр
2.1. Эпюра продольных сил N (рис.11). Строится сложением (принцип суперпозиции) уже построенных эпюр (рис.8 и рис.10), причём эпюра (рис.10) с учётом найденного значения опорной реакции изменяет свой масштаб в 9,231 раз (RЕ = 9,231 кН). Таким образом получим
Эп. N = Эп N(FC,,FD) + Эп N(RE).
Для участка 1:
N1 = -12 кН + 1·9,231 кН = -2,769 кН ,
для участка 2:
N2 = -24 кН + 1·9,231 кН = -14,769 кН ,
для участка 3:
N3 = 0 кН + 1·9,231 кН = 9,231 кН ,
0 ≤ x1 ≤ 2,6 м,
Рис.11
2.2. Эпюра нормальных напряжений σ (рис.12). Строится делением значений продольных сил Ni по участкам 1, 2 и 3 (рис.11) на соответствующие площади поперечных сечений Ai: 
.Таким образом, значения σ
на участке 1:
;
участке 2:
;
участке 3:
.
Рис. 12
Эпюра нормальных напряжений σ представлена в размерности (кН/A).
2.3. Эпюра продольных перемещений Δl (рис.13). Строится на основании закона Гука как результат суммирования перемещений каждого из участков бруса.
Для первого участка при 0 ≤ x1 ≤ 2а перемещения определяются выражением 
.
В заделке, при х1= 0 получим нулевое значение перемещения Δх1=0; при х1= 2а получим значение
Δ(2а=l1) =
= - 1,846
.
Для второго участка при 2а ≤ x2 ≤ 3а перемещения определяются выражением
-
При х2= 3а приходим к выражению
Δ(3а=l1+l2)= - 1,846+ 
=- 9,231,
Для третьего участка при 3а ≤ x3 ≤ 4а нас будет интересовать величина перемещения при x3 = 4а то есть правого торца стержня Если перемещение этого сечения в стержне окажется равным нулю, то есть подтверждается первоначальное условие (2), то все выкладки предыдущих пунктов признаются правильными. В противном случае следует искать ошибку. Перемещение третьего элемента стержня составит величину
.
и общее удлинение стержня оказалось равным нулю. Действительно, длина исходного стержня не изменилась (Рис. 13):
Δ(4а=l1+l2+ l3)= - 9,231+9,231=0,
Рис. 13
Размерность эпюры Δl на рисунке представлена в величинах .
Примечание. Обращается внимание на отсутствие знака у этой эпюры. Знак зависит от принятого начала в определении перемещений. Если начинать определение перемещений с элемента 1, как это сделано выше, то есть первоначально учитывать сжатие, то знак у эпюры абсолютных удлинений будет отрицательным. Наоборот, начало в определении перемещений с элемента 3 – растянутого, определит на эпюре знак плюс - растяжение. Поэтому, по умолчанию, знак этой эпюры не присваивается.
2.4. Эпюра относительных удлинений ε (рис.14). Выражение относительного удлинения при постоянных параметрах силы и площади сечения имеет вид
εi = Δli/li = (Ni)/(E·Ai) = σi/E.
Поэтому её формирование можно осуществить исходя из данных эпюры нормальных напряжений (рис.12), вводя в размерность этой эпюры (в знаменатель) модуль упругости Е. Эпюра относительных удлинений представлена на рис. 14.
Для первого участка, при 0 ≤ x1 ≤ 2а,
ε1 = - 0,923
;
для второго участка, при 2а ≤ x2 ≤ 3а,
ε2 = - 7,385
и для третьего, при 3а ≤ x3 ≤ 4а,
ε2=9,231.
Рис.14
Таким образом, все требования п. 2 по построению эпюр выполнены.
3. Определение необходимой площади поперечного сечения А из условий прочности на растяжение или сжатие
Площадь поперечного сечения стержня определяется исходя из наибольших значений величин нормальных напряжений и растяжения и сжатия. Как видно из эпюры нормальных напряжений (рис.12) наибольшая по модулю величина нормального напряжения сжатия будет на втором участке:
,
а наибольшая величина нормального напряжения растяжения на третьем –.
Представим соответствующие заданию условия прочности:
,
.
Из первого и второго выражений следует соответственно площади поперечных сечений при сжатии и при растяжении:
,
.
Видно, что 
. Принимаем наибольшее из этих двух значений:
А = 0,738 см2,
которое и будет использоваться в последующих расчётах.
4. Изменение напряжений в стержне в связи с неточностью изготовления и изменением температуры
4.1 Влияние неточности изготовления. Согласно заданию стержень изготовлен с отклонением продольного размера на величину +δ = β·а = 5·10-4·1,3 м = 0,650 мм от своего номинального значения. То есть длина бруса оказалась больше расстояния между опорами и размещение его на месте сопряжено с предварительным осевым сжатием. При этом возникают, так называемые, монтажные напряжения (сжатия) и взаимно уравновешенные опорные реакции в точках В и Е – Rδ (равные по величине и противоположно направленные, такие, как показано на рис.8). Уравнение равновесия при этом тождественно удовлетворяется, однако величина (и знак) самих реакций Rδ остаётся неопределённой. Таким образом, эта задача также является статически неопределимой и здесь, как и в предыдущем случае, необходимо составление уравнения деформаций. Поступаем точно так же, как и ранее. Именно, освобождаем стержень от правой опоры, заменяя её реактивной силой, направленной в положительную сторону оси Х (рис. 8). Смысл уравнения деформаций состоит в том, что сумма, состоящая из удлинения бруса от действия реактивной силы Δl(Rδ) и величины отклонения δ от номинала должна равняться нулю:
Δl(Rδ) + δ =
Очевидно, что с точностью до обозначений реактивных сил имеем равенство перемещений стержня от действия реактивной силы Rδ = RЕв:
Δl(Rδ)= Δl(RЕ).
Согласно формуле (4) п. 1.3, представим выражение перемещения бруса от действия этой опорной реакции
.
Подставляя последнее выражение в уравнение (5) и решая его, получим значение реактивной силы, возникшей в результате неточности изготовления стержня:
.
Эпюра продольных сил для этого случая подобна эпюре, представленной на рис. 10. Поэтому нормальные напряжения здесь определяются делением значения реактивной силы Rδ на площади поперечных сечений
Определим значения нормальных напряжений сжатия 
на участках 1, 2 и 3 в обозначениях п. 2,2 и представим эпюру этих напряжений (рис.15).
Участок 1:
;
участок 2: 
;
участок 3: 
.
Рис. 15
Сопоставим эпюры нормальных напряжений, изображённых на рисунках 12 и 15. Видно, что напряжение растяжения на участке 3 уменьшится, а напряжение сжатия на расчётном участке 2, по которому определялась площадь поперечного сечения, возрастёт. Рост напряжений составит в процентах величину:
(1,754/7,385)·100% = 23,750 %
и запроектированный стержень не будет отвечать требованию прочности. Здесь надо либо увеличить площадь поперечного сечения бруса, либо применить сталь более высокой прочности, либо изготовить новый стержень
4.2.Влияние температуры. Согласно заданию температура эксплуатации бруса отличается от температуры его изготовления на величину Δt = - 40 0С. Так как коэффициент линейного температурного расширения стали составляет величину α = 0,12·10-4 0C-1, то общая линейная температурная деформация Δl(t)бруса составит величину:
Δl(t)= α ·Δt · l = 0,12·10-4 0C-1·(- 40 0С)· 5,2м = - 0,250мм.
Знак (-) говорит об уменьшении первоначальной длины стержня. В этом случае в статически неопределимом брусе возникают уравновешенные опорные реакции Rt и соответствующие температурные напряжения (растяжения). Этот случай сводится к предыдущему с отличиями в знаке напряжений и величине перемещений. Уравнения деформаций здесь имеют вид:
Δl(Rδ) + Δl(t)=0. (6)
Подобие уравнение деформаций позволяет определить коэффициент перехода К между температурными и монтажными напряжениями как отношение самих исходных перемещений: К = -0,250мм/0,650мм = -0,385 и определить первые. Именно,
участок 1:
;
участок 2: 
;
участок 3: 
.
Эпюра температурных напряжений представлена на рис.16
Рис. 16
Наложение нормальных напряжений от воздействия температуры (рис.16) на напряжения от действия сил (рис. 12) уменьшает нормальные напряжения на участках 1, 2 и приводят к негативному результату на третьем участке, где происходит сложение напряжений растяжения:
.
Определённая по полученному результату площадь поперечного сечения стержня
,
оказалась меньше найденной ранее расчётом в п. 3, А = 0,738 см2. Отсюда следует вывод: температурный фактор не окажет влияния на прочность стержня при его эксплуатации в условиях заданной величины понижения температуры.
4.3. Одновременное влияние неточности изготовления и температурных воздействий. Очевидно следующее:
1. нормальные напряжения для обоих случаев имеют разные знаки;
2. нормальные напряжения от неточности изготовления больше по модулю нормальных напряжений от действия температуры.
Поэтому при совместном действии этих факторов монтажные напряжения станут меньше и определяющим, поэтому, будет результат п.4.1, где рассматривается одновременное сочетание действия сил и неточности изготовления детали.
Примечание к п.4. Выводы здесь для каждого варианта задания носят индивидуальный характер и могут существенно отличаться от представленных в настоящем примере.
4. Задание для выполнения РГР
4.1. Стальной брус ступенчато-переменного сечения жёстко закреплён в опорах. По оси бруса в точках В и С приложены соответственно силы FB и FC.
Требуется:
1. Определить опорные реакции RA и RD.
2. Построить эпюры
- продольных сил N;
- нормальных напряжений σ;
- продольных перемещений Δl;
- относительных удлинений ε;
3. Подобрать необходимую площадь поперечного сечения А из условия прочности на растяжение или на сжатие..
4. Определить, как изменятся нормальные напряжения в брусе, если
- брус изготовлен с отклонением δ = β·а от начального размера;
- температура эксплуатации бруса отличается от температуры его изготовления на величину Δt 0C;
- одновременно влияют оба фактора – неточность изготовления и температура.
4.2. Допускаемые напряжения стали на растяжение и на сжатие составляют соответственно величины
[σр] = 160 МПа,
[σс] = 100МПа
Модуль упругости стали имеет значение:
Е=2,06·105 МПа.
Коэффициент линейного температурного расширения стали равен
α = 0,12·10-4 0C.
На схемах бруса символом n·А с каким-либо из заданных коэффициентов n = 1, 2, 3 или 4 обозначена площадь соответствующего поперечного сечения бруса.
4.3. Каждому студенту присваивается пятизначный шифр. Каждая цифра шифра размещается по порядку под соответствующим столбцом задания. Шифр записывается подряд два раза и охватывает все десять столбцов задания. Каждому номеру шифра столбца отвечает такой же номер строки, на их пересечении размещается элемент исходной информации задания. Например, шифр составляет значение 45076, тогда под столбцами будем иметь такую череду цифр . Состав индивидуального задания определяется таким образом: геометрическая схема определяется строкой с цифрой 4 и первым столбцом, сила F1 – строкой с цифрой 5 и вторым столбцом (F1 =9), коэффициент k – строкой с цифрой 0 и третьим столбцом (k=2) и так далее.
4.4. Расчётно-графическая работа выполняется на листах белой бумаги формата А4 с полями (2,0см – левое, 1,5см – правое, 1,5см верхнее и нижнее), пронумеровывается, начиная со второго листа (первый лист – титульный не нумеруется), и сшивается в брошюру. Текст и формулы пишутся рукой, титульный лист может быть выполнен на компьютере (см. п.4).Схемы и эпюры чертятся карандашом, в изображениях эпюр соблюдается масштаб. Необходимый комментарий представляется в соответствии с приведённым «Примером выполнения РГР». В результатах вычислений (с округлениями по Гауссу) приводятся три значащих цифры после запятой, например: вычислено значение 4, приводится в тексте 4,456; вычислено 0,0345500 приводится 0,0346 и так далее.
Литература
1. , , Державин материалов, - М.: Высшая школа, 19с.
2. Беляев материалов, – М.: Наука, 1965.856с.
3. , Петров материалов, Простые виды нагружения и элементарные задачи. – Новочеркасск: изд-во ЮРГТУ, 20с.
4. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов, – М.: Высшая школа. 19с.
5. , , Лобейко материалов, краткий именной и терминологический словарь, - Ставрополь: Агрус, 20с.
6. и др. Сопротивление материалов, – Киев: Вища школа. 19с.
7. Стёпин материалов.- М.: Высшая школа, 19с.
Содержание
1. Краткая характеристика работы …………………….
2. Сведения из теории …………………………………
3. Пример выполнения РГР ………………………….
4. Задание для выполнения РГР ………………………………….
Компьютерная графика
