Применение метода разделения переменных, основанного на вариационной постановке для решения задачи диффузии с нелинейным источником

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ, ОСНОВАННОГО НА ВАРИАЦИОННОЙ ПОСТАНОВКЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФФУЗИИ С НЕЛИНЕЙНЫМ ИСТОЧНИКОМ[1]

,

Екатеринбург, Россия

В работах [1, 2] предложен метод решения нестационарных задач математической физики, основанный на совместном применении вариационных принципов и метода разделения переменных. Суть метода состоит в следующем. Для задачи определения напряженно-деформированного состояния или задачи теплопроводности формулируются вариационные принципы, соответствующие фиксированному моменту времени . Искомые функции (скорости, напряжения, температура) представляются в виде отрезков рядов по известным координатным функциям, коэффициенты при которых - неизвестные функции времени. В каждый момент времени эти коэффициенты считаются варьируемыми параметрами. Подставляя отрезки рядов в вариационные принципы и записывая необходимые условия экстремума относительно варьируемых параметров, мы получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций времени. Решение системы дает решение задачи для любого момента в рамках исходной постановки. В работах [3 - 5] предложенным методом успешно решен ряд задач деформирования с учетом разрушения и фрагментации. В работе [6] представлены алгоритмы применения метода для решения нестационарных задач теплопроводности, а также связных термомеханических задач.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Постановка задачи

Рассмотрим нестационарную задачу теплопроводности, состоящую в определении в некоторой области для произвольного момента времени функции , удовлетворяющей уравнению:

, (1)

и краевым условиям

на поверхности : ,

на поверхности : , (2)

. (3)

Здесь - искомая функция (концентрация), - поток, - коэффициент диффузии, - оператор Лапласа, слагаемое в правой части характеризует нелинейный источник, и - заданные функции, - начальное распределение концентрации.

Вариационный подход к решению

Вариационный принцип, эквивалентный задачев фиксированный момент времени выглядит следующим образом:

. (4)

Штрихом отмечена варьируемая функция, - ее неварьируемая производная по времени. В одномерном случае, когда область есть отрезок , функционал имеет вид

, (4)

где - граничная точка отрезка , где задан поток, если такое условие имеет место. Функционал (4) отличается от подобного функционала для задачи теплопроводности, приведенного в работе [6], слагаемым в подынтегральном выражении, обусловленном источником.

В соответствии с методом разделения переменных искомая функция представляется в виде отрезка степенного ряда:

, (5)

где - функции времени, в фиксированный момент времени являющиеся варьируемыми параметрами. Функционал с учетом представления температуры (5) является в фиксированный момент времени функцией параметров . Пусть два параметра – и исключаются подстановкой функции (5) в граничные условия в точках и . Подставляя в необходимые условия экстремума , , , значение , получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций , решение которой дает распределение функции в произвольный момент времени . В качестве начальных условий принимаются значения коэффициентов , соответствующих начальным условиям (3).

Был также рассмотрен другой способ представления виртуального состояния в произвольный момент времени. В качестве варьируемых параметров были приняты значения искомой функции в равномерно распределенных по отрезку узловых точках . Пространственная производная искомой функции представлялась в разностном виде, а входящий в функционал интеграл вычислялся по составной формуле трапеций. В результате варьирования функционала в произвольный момент времени получается система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций с начальными условиями, соответствующими (3).

Пример

Предложенный алгоритм решения был применен для решения задачи для отрезка при граничных условиях:

, (6)

и следующих значениях параметров: , .

На рис. 1 показано изменение с течением времени фронта диффузии, рассчитанное для варьируемых значений искомой функции при и начальных условиях: , остальные .

Рис. 1.

На рис. 2 представлены расчеты при тех же варьируемых параметрах для начальных условий

. (7)

Рис. 2.

На рис. 3 приведены результаты решения для начальных условий (7) для представления искомой функции в виде отрезка степенного ряда четвертой степени. Отличия графиков на рисунках 2 и 3 обусловлены заданной степенью отрезка ряда. Более точное решение требует увеличения степени аппроксимации. Отметим, что в расчетах, результаты которых отражены на рис. 2, использовался 21 варьируемый параметр, в то время как отрезок ряда четвертой степени характеризуется пятью параметрами.

Рис. 3.

Литература

1. Метод расчета НДС в общей краевой задаче развитого течения // Вестник ПГТУ. Механика. 1995, N 2, с. 87–98.

2. V. L.Kolmogorov, V. P.Fedotov, L. F.Spevak. A mathematical model for the formation and development of defects in metals // Studies in Applied Mechanics. Advanced Methods in Materials Processing Defects. Elsevier. 1997, №45, p. 51–60.

3. V. L.Kolmogorov, L. F.Spevak, A. V.Gorshkov. A method for calculating the stress-strain state in the general boundary value problem of metal forming – part 2 // Int. J. of Solids and Structures. 1999, №36, p. 1263–1275.

4. , Спевак динамических задач пластичности основанным на вариационной постановке методом разделения переменных // Математическое моделирование. 2000, т. 12, №7, с. 36–40.

5. V. L. Kolmogorov, L. F. Spevak, R. V. Churbayev. On the technique used to determine plasticity margin in high-speed deformation under high pressure // International Journal of Mechanical Sciences. 2008, vol. 50/4, pp, 676-682.

6. В.Л. Колмогоров, В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак, Н.А. Бабайлов, В.Б. Трухин. Решение нестационарных температурных и термомеханических задач методом разделения переменных в вариационной постановке // Вестник Сам. ГТУ, сер. Физико-математические науки. 2006, вып. 42, с. 72-75.

[1] Работа выполнена при поддержке Программы президиума РАН № 19, проект -1-1032.