Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения”

УДК 539.3

,

Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного университета, г. Новокузнецк

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ОБОЛОЧКАХ ВРАЩЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ МЕРИДИАНА

В данной работе описывается алгоритм расчета волновых процессов в оболочках с произвольной геометрией меридиана при заданном давлении в каждой точке меридиана и погонной силе на передней кромке, гармонически изменяющейся по времени.

Задача дискретизируется методом конечных элементов, как описано в работе [1]. После дискретизации получаем уравнение движения:

(1)

где – матрица масс,

– матрица демпфирования (),

– матрица жесткости,

- нагрузки, приведенные к эквивалентным узловым силам.

В уравнении движения (1), производя замену на , получаем систему дифференциальных уравнений:

(2)

в которой, как и в предыдущем способе решения, используется диагональная матрица масс.

Далее полученную систему уравнений аппроксимируем двухточечной разностной схемой. Получаем:

(3)

Полученное численное решение аппроксимирует решение краевой задачи (1), но схема не является консервативной: полная механическая энергия модели в начале и в конце шага интегрирования отличаются на величину, не равную сумме работ внешних сил и сил вязкости. Вследствие этого, решение в отсутствие внешних сил либо приходит к стационарному (схемная вязкость), либо, наоборот, расходится с увеличением числа шагов. Поэтому решение (3) можно рассматривать как некоторое приближение, в которое необходимо ввести поправку, восстанавливающую баланс энергии.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Для определения размера поправки рассмотрим решение системы с точки зрения изменения полной энергии. На рисунке 1 - решение задачи на предыдущем шаге (для первого шага z – начальные условия), полная энергия которого находится на линии уровня энергии 2. Найдя значения из системы (3), получим  - предварительное решение системы, которое будет находиться на линии уровня 4.

Рисунок 1- Линии уровня полной энергии

Полная энергия рассчитывается следующим образом:

. (4)

В выражении (4) перейдем к z, то есть выражение (4) примет вид:

, (5)

где .

Для переноса решения системы на линию уровня 2 добавим к малую добавку:

,

где .

Таким образом, решение уравнения движения (1) примет следующий вид:

, (6)

Для определения полной энергии системы учтем, что влияние внешних сил дает добавление энергии, рассчитываемое как: , где . Таким образом, влияние правой части переносит решение системы на линию уровня 1.

Изменение энергии происходит и под влиянием демпфирования. Для того, чтобы определить влияние демпфирования на полную энергию, домножим уравнение (1) справа и слева на и проинтегрируем по на отрезке , то есть определим приращение энергии в правой и левой части:

Рассмотрим сначала интеграл в правой части. Он представляет собой приращение энергии вследствие воздействия внешних сил:

Далее рассмотрим левую часть. Разобьем интеграл в левой части на сумму трех интегралов и рассмотрим каждый из них. Первый интеграл представляет собой приращение кинетической энергии:

третий – приращение потенциальной энергии на отрезке :

Так как взять второй интеграл аналитически не представляется возможным, найдем его значение через среднее интегральное:

(7)

где . Выражением (7) определяется влияние демпфирования на полную энергию, которое переносит решение на линию уровня 3.

Для нахождения подставим найденные значения в уравнение баланса . Получим квадратное уравнение относительно . В случае положительного дискриминанта оно имеет два решения, тогда в качестве коэффициента в системе (10) выбираем то , которое меньше по модулю. В случае, когда дискриминант равен нулю - единственное.

Подставив найденное в (6), найдем на новом шаге.

Алгоритм программно реализован и протестирован. Выяснено, что алгоритм расчета волновых процессов с учетом баланса энергии на каждом шаге в оболочках вращения с произвольной геометрией меридиана позволяет решать поставленную задачу при любых входных параметрах.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № -А).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Каледин -деформированное состояние подкрепленных и составных ортотропных оболочек вращения / , // Вопросы оборонной техники. Серия 15. Композиционные неметаллические материалы в машиностроении. – М.: НТЦ «Информтехника». – 2002. – Вып. 1(129). – С. 5-14.