“Решение задач с помощью квадратных уравнений”

Предмет: математика

Тема урока: “Решение задач с помощью квадратных уравнений”.

Класс: 8 класс

Тип урока: изучение нового учебного материала

Оборудование: мультимедийная установка, плакаты.

Аннотация: Урок изучения нового материала с непосредственным закреплением и первичной проверкой усвоения. Урок рассчитан на 2 часа.

Цели урока:

1.  Ввести понятие «математическая модель», выделить этапы решения задач алгебраическим методом; формировать умение составлять квадратное уравнение по условию задачи и решать его.

Развитие познавательного интереса посредством связи математики с другими предметами через решение практических задач, совершенствовать навыки решения квадратных уравнений; Обобщить знания основного программного материала.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа. (Презентация)

III. Объяснение нового материала.

Можно с учениками выделить этапы решения задачи алгебраическим методом:

1. Анализ условия задачи и его схематическая запись.

2. Перевод естественной ситуации на математический язык (построение математической модели текстовой задачи).

3. Решение уравнения, полученного при построении математической модели.

4. Выбор ответа по условию задачи.

Четвёртый этап решения задачи алгебраическим методом является принципиально новым для учащихся, поэтому на нём следует заострить внимание. Можно попросить учащихся привести примеры ситуаций, когда полученный корень уравнения может противоречить условию задачи.

В процессе обсуждения этого вопроса можно выделить несколько самых распространённых ситуаций:

1) Корень уравнения является отрицательным числом, когда за неизвестное принята какая-то мера, которая может выражаться только положительным числом (например: длина, площадь, объём и т. п.).

2) Корень уравнения является числом из более широкого множества, чем то, которое описывается в задаче (например: получено дробное число, когда в условии задачи речь идет о целых числах или отрицательное число, когда речь о натуральных числах).

3) Несоответствие полученных положительных размеров с реальными (например: скорость пешехода равна 100 км/ч и т. п.).

При решении задач учащиеся могут в процессе интерпретации полученных решений соотносить ситуации с тремя выделенными.

IV. Формирование умений и навыков.

1.  № 000. Найти катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см2

Решение

Пусть х см – длина одного катета прямоугольного треугольника, тогда (23 – х) см – длина второго катета. Зная, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и составляет 60 см2, составим уравнение:

· х · (23 – х) = 60;

х (23 – х) = 120;

23х – х2 – 120 = 0;

х2 – 23х + 120 = 0;

D = (–23)2 – 4 · 1 · 120 = 529 – 480 = 49; D > 0; 2 корня.

x1 = = 15;

x2 = = 8.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 8; 15.

2.  № 000 (самостоятельное решение).

В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нем имеется 884 места?

Решение

Пусть х – число рядов в кинотеатре, тогда (х + 8) – число мест в ряду. Количество мест в кинотеатре равно х · (х + 8). Зная, что всего в кинотеатре 884 места, составим уравнение:

х · (х + 8) = 884;

х2 + 8х – 884 = 0;

D1 = 42 – 1 · (–884) = 16 + 884 = 900; D1 > 0; 2 корня.

x1 = –4 + = –4 + 30 = 26;

x2 = –4 – = –4 – 30 = –34 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 26 рядов.

3.  № 000. (вместе)

Число диагоналей p выпуклого многоугольника вычисляется по формуле , где n – число сторон. В каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон?

Решение

Пусть х – количество сторон в выпуклом многоугольнике, тогда
(х + 25) – количество диагоналей в нём. Зная, что количество диагоналей (р) связано с количеством сторон (п) по формуле составим уравнение:

х + 25 = ;

2х + 50 = х (х – 3);

2х + 50 = х2 – 3х;

2х + 50 – х2 + 3х = 0;

5х + 50 – х2 = 0;

х2 – 5х – 50 = 0;

D = (–5)2 – 4 · 1 (–50) = 25 + 100 = 125; D > 0; 2 корня.

x1 = = 10;

x2 = = –5.

Так как х выражает число сторон многоугольника, то это не может быть отрицательное число, значит, х2 = –5 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: в десятиугольнике.

4. № 000. В шахматном турнире было сыграно 45 партий. Определите число участников турнира, если известно, что каждый участник сыграл с каждым по одной партии.

При решении этой задачи используются элементы комбинаторики, поэтому следует разобрать её с учителем.

Решение

– Пусть х – количество участников турнира, тогда каждый участник играл с (х – 1) участником. Количество комбинаций равно х (х – 1). Но так как в комбинации участвует два человека, а партия одна, то число партий равно . Зная, что всего было сыграно 45 партий, составим уравнение:

= 45;

х · (х – 1) = 90;

х2 – х – 90 = 0;

D = (–1)2 – 4 · 1 · (–90) = 1 + 360 = 361; D > 0; 2 корня.

x1 = = 10;

x2 = = –9.

Так как х выражает количество участников турнира, то это не может быть отрицательное число, значит, х2 = –9 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 10 участников.

5. Сигнальная ракета выпущена под углом 45 к горизонту с начальной скоростью 30 м/с В этом случае высота, на которой находится ракета в определенный момент времени, может быть приближенно вычислена по формуле h = 2 + 21t – 5t2. Через сколько секунд ракета окажется на высоте 10 м?

Решение:

10 = 2 + 21t – 5t2

5t2 – 21t + 8 = 0

D = 441 – 160 = 281

,

Оба полученных корня уравнения являются решениями задачи, т. к. ракета окажется на высоте 10 м дважды: первый раз при подъеме, и это произойдет через 0,4 с, а второй раз при спуске, через 3,8 с после запуска.

Ответ: ,

6. № 000. Найти три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 869.

Решение

– Пусть х, (х + 1), (х + 2) – три последовательных целых числа. Зная, что сумма их квадратов равна 869, составим уравнение:

х2 + (х + 1)2 + (х + 2)2 = 869;

х2 + х2 + 2х + 1 + х2 + 4х + 4 – 869 = 0;

3х2 + 6х – 864 = 0;

х2 + 2х – 288 = 0;

D1 = (–1)2 – 1 · (–288) = 289; D1 > 0; 2 корня.

x1 = –1 + = –1 + 17 = 16;

x2 = –1 – = –1 – 17 = –18.

Оба корня удовлетворяют условию задачи, значит, это последовательные числа 16; 17; 18 или –18; –17; –16.

О т в е т: 16; 17; 18 или –18; –17; –16.

V. Итоги урока.

Ответить на вопросы

– Что понимается под математической моделью текстовой задачи?

– Какие этапы решения задачи алгебраическим методом выделяют?

– В чём состоит интерпретация полученного решения задачи?

– Приведите примеры, когда полученное решение противоречит условию задачи.

VI. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Из квадрата задуманного натурального числа вычли 63 и получили число в двое больше задуманного. Найти это число.

2. Одну сторону квадрата уменьшили на 2 см, а другую – на 1 см и получили прямоугольник с площадью 6 см2. Найдите длину стороны квадрата. Изобразите квадрат и прямоугольник.

В а р и а н т 2

1. Из квадрата задуманного числа вычли 10 и получили число, на 2 больше задуманного. Какое число было задумано?

2. Одну сторону квадрата увеличили на 2 см, а другую – на 1 см и получили прямоугольник с площадью 12 см2. Найдите длину стороны квадрата. Изобразите квадрат и прямоугольник.

VII. Домашнее задание: № 000, № 000, № 000.

Список литературы:

1.  Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [, , ]; под ред. . – М. Просвещение, 2011.

2.  Математика: алгебра. Функции. Анализ данных: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ [, C. Б. Суворова и др.]; под ред. . М. Просвещение, 2006

3.  , , Сборник задач и контрольных работ по алгебре для 8 класса. – М.: Илекса; Харьков: Гимназия, 1999.