, д. ф.-м. н., зав. каф. ПМ ИНЭКА

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ

НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ТИПА ТИМОШЕНКО С ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННЫМИ КРАЯМИ

1. Постановка задачи. Основные соотношения. Рассматривается следующая модель теории пологих оболочек:

) соотношения деформации-перемещения [1, с.168-170, 269]:

(, ),

,

(, ), (1)

,

, ,

где и - компоненты тангенциальной и изгибной деформаций срединной поверхности оболочки; - компоненты деформации поперечных сдвигов, - деформация поперечного обжатия; - углы поворота нормальных сечений; и - тангенциальные и нормальное перемещения точек ; - составляющие тензора кривизны ; - символы Кристоффеля; - декартовы координаты точек плоской ограниченной области с границей , гомеоморфной ;

) определяющие соотношения:

, , (2)

где - упругие характеристики оболочек; и - линейная и нелинейная составляющие напряжения ;

граничные условия

, , ; (3)

) на оболочку действуют массовые и поверхностные силы.

В соотношениях (1) при помощи формул , , исключим углы поворота и (1) представим в виде

,,, (4)

где , ,

,

,

, , ,

, , , (5)

, , , , ,

, ; , ,

- вектор обобщенных перемещений, - вектор тангенциальных перемещений, - вектор поперечных сдвигов, , .

В дальнейшем существенную роль будет играть функционал полной энергии системы «оболочка-нагрузка»: ,

где - потенциальная энергия деформации, накопленная во всем объеме оболочки, - работа внешних сил.

В соответствии с (2) для потенциальной энергии имеем представление где

- квадратичная форма, порожденная билинейной формой

.

2. Введение понятия обобщенного решения задачи. Будем предполагать выполненными следующие условия: 1) квадратичная форма положительно определена в , т. е. с постоянной ; 2) срединная поверхность суть кусочно-гладкая поверхность, склеенная из конечного числа поверхностей класса ; 3) - кусочно-гладкая кривая класса ; 4) упругие характеристики ограничены в ; 5) нелинейная часть напряжения как функция компонент деформации удовлетворяет условию Липшица; 6) , ; 7) в .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Пусть

-пространства Соболева) - пространство обобщенных перемещений , удовлетворяющих почти всюду однородным граничным условиям (3) . В пространстве выделим множество почти всюду в , где - произвольно фиксированная положительная постоянная (, , ). Легко видеть, что - слабо замкнутое множество в . Пусть п. в. в }.

Определение. Вектор назовем обобщенным решением задачи равновесия в рамках модели , если .

3. Исследование функционала . Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть для любых двух векторов деформации

выполнено условие

. (6)

Тогда функционал слабо полунепрерывен снизу в .

Введем в рассмотрение два функционала:

, ,

где ; определены в (5).

Лемма 1. Пусть Тогда .

В дальнейшем нам понадобятся интегральные представления для компонент вектора Пусть почти всюду в выполняется условие

. (7)

Тогда, используя формулу (6.10) из [2,c.42], почти всюду в получим искомое представление

, (8)

Займемся выводом оценки снизу для функционала на слабо замкнутом множестве . Пусть выполнено условие

(9)

с некоторой постоянной . Используя (9), условия 1),7) п.3, соотношения (4), лемму 1 и неравенства Гельдера и Коши - Буняковского, получаем

где .

В слабо замкнутом множестве рассмотрим

=, где - некоторое положительное число. На выделим множество , где - произвольно фиксированная постоянная из интервала (0,1). Из (10) на получим

, (11)

где , . Постоянную выберем так, чтобы .

Пусть . Множество разобьем на две части: , где - множество элементов , удовлетворяющих условию

, (12)

где - некоторый фиксированный неотрицательный слабо непрерывный, однородный функционал второго порядка в , - произвольно фиксированная положительная постоянная.

На , следовательно, имеет место неравенство

. (13)

Далее нам потребуется ряд вспомогательных утверждений.

Лемма 2. Слабое замыкание не содержит векторы с компонентами при и с при

Лемма 3. Пусть удовлетворяет в п. в. системе уравнений

, ,

граничным условиям и

, (14)

где , , -известные функции.

Тогда в .

Пусть . Из (10), используя соотношения (4) для и опуская некоторые положительные слагаемые, получаем

, (15)

где постоянная , если и если .

Функционал в квадратных скобках (15) обозначим через . Легко видеть, что слабо полунепрерывный снизу функционал в . Имеет место следующая лемма.

Лемма 4. Пусть выполнено условие (14). Тогда на справедлива оценка .

Если воспользоваться леммой 4, то из (15) получим

, (16)

где .

Пусть теперь . Из (10) с помощью леммы 1 и опуская некоторые положительные слагаемые, получаем

. (17)

Из неравенств (11), (16) и (17) непосредственно вытекает следующая

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1)-7) п.3, (7), неравенства (6),(9), (14). Тогда функционал на слабо замкнутом множестве пространства является возрастающим.

Теоремы 1, 2 показывают, что все условия обобщенной теоремы Вейерштрасса [3, c.119] выполнены. Следовательно, на функционал имеет точку минимума. Покажем, что при достаточно больших хотя бы одна точка минимума принадлежит множеству . С этой целью введем п. в. в п. в. в , где - произвольно фиксированные подмножества области , для которых . Для компонент вектора с помощью интегрального представления (8) и неравенства Коши с «» имеем

, (18)

где

.

Повторяя рассуждения, примененные выше, с той лишь разницей, что в данном случае полагаем , который является слабо непрерывным в функционалом, на и снова получаем оценки (11), (16). Нетрудно показать, что при справедливы неравенства , в которых постоянные не зависят от . Тогда из (11), (16) на , будем иметь:

, (19)

Теперь получим оценку на . Из (10) , используя лемму 1, неравенство (18) и опуская некоторые положительные слагаемые, имеем:

. (20)

Используя (13) , из (20) получим

,

откуда фиксируя постоянную так, чтобы выражение в квадратных скобках было неотрицательным, на при любом имеем

. (21)

Из оценок (19), (21) при достаточно больших следует, что . Так как и , то хотя бы одна точка минимума функционала принадлежит множеству . Таким образом, доказана следующая основная теорема.

Теорема. Пусть выполнены условия 1)-7) п, неравенства (6), (9), (14). Тогда задача равновесия имеет по крайней мере одно обобщенное решение, доставляющее функционалу полной энергии абсолютный минимум на слабо замкнутом множестве пространства при достаточно большом .

Литература

1.Галимов нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во КГУ,1975.326с.

2.Векуа аналитические функции. М.: Наука, 19с.

3.Вайнберг метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 19с.