Переменные потоки платежей

§5.Переменные потоки платежей

5.1+.Нерегулярные потоки платежей время и сумма внесенных денег заранее неизвестны). Вычисление наращенной и приведенной сумм: ; .

Пример 501. График предусматривает следующий порядок выдачи ссуд во времени: 01.07.1990г. - (50) тыс. руб.; 01.01.1991г. - (150) тыс. руб.; 01.01.1993г. - (180) тыс. руб. Необходимо найти сумму задолженности на 01.01.1994г. при условии, что кредит выдан под 8% годовых.

Ответ: 448,813.

5.2.Переменная рента (члены меняются по заранее неизвестному закону).

Вычисление наращенной и приведенной сумм при разовом изменении членов ренты:

.

Пример 502. По условиям соглашения производятся периодические взносы, причем общий срок выплат (5 лет) делится на два периода. В первом из них (3 года) выплачивается по (100) тыс. руб. в конце каждого полугодия, во втором - по (120) тыс. руб. Ставка процентов в первом периоде - 6% годовых, во втором - (8)%. Необходимо найти наращенную сумму.

Ответ: 1262,64.

5.3.Рента с постоянным приростом платежей и постоянным периодом начисления:

Доказательство легко следует из формулы

Пример 503. Предполагается выплачивать платежи таким образом, что каждый год они увеличивается на руб. Первая уплата равна руб. Ставка равна % годовых, срок выплат - 8 лет. Платежи и начисление процентов производятся раз в конце года. Необходимо найти современную величину и наращенную сумму данной ренты.

Ответ: 5089,055; 8111,180.

5.4.Вычисление параметров ренты с постоянным приростом платежей на частном примере.

Пример 504. Текущая задолженность равна (180) тыс. руб. Решено погасить ее путем периодических платежей в течение (8) лет по схеме возрастающей ренты, причем абсолютный прирост равен первому члену. Платежи и начисление процентов на остаток долга производятся в конце года, ставка (6)% в год. Определить последовательные размеры платежей.

Решение.

Осталось только вынести за скобки.

Ответ: 6,90941.

5.5.Ренты с постоянным относительным изменением платежей (члены ренты ), период выплат постоянный:

Пример 505. По условиям контракта предполагается в конце каждого года выплачивать платежи, первый из них равен (200) тыс. руб., следующие платежи увеличиваются каждый раз на 20%. Срок - (6) лет. Найти современную величину и наращенную сумму такой ренты. Ставка процентов - (5,5)% годовых.

Ответ: 1607,69; 2216,75.

5.6.Постоянная непрерывная рента (постоянные платежи вносятся в конце каждого бесконечно малого периода):

- годовой взнос.

Пример 506. Ожидается, что доходы от эксплуатации месторождения полезных ископаемых составят (1) млн. руб. в год, продолжительность разработки (10) лет, доходы поступают непрерывно и равномерно в пределах года и на протяжении всего периода. Найти наращенную сумму поступлений при начислении на них сложных процентов из расчета (8)% в год.

Ответ: 15,058693.

5.7.Вычисление срока постоянной непрерывной ренты:

Пример 507. За какой срок наращенная сумма вырастет в (5) раз по сравнению с годовой суммой взноса, если последние осуществляются непрерывно и равномерно? На взносы начисляются непрерывные проценты, сила роста равна (8)%. (см.5.8)

Ответ: 4,206.

5.8.Постоянные непрерывные ренты при непрерывном росте процентов: (см. 4.9) ;

Пример 508. Какова доходность инвестиций (в виде ) равных (1) млн. руб., если отдача от них составляет ежегодно (0,2)млн. руб.? Ожидается, что поступления равномерное, срок (8) лет. Сделать проверку.

Ответ: 12,8396; 0,9999999.

5.9.Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей:

где - сумма платежей за период Если то

Пример 509. Намечается в течении трех лет непрерывно увеличивать выпуск продукции на (1) млн. руб. ежегодно. Базовый уровень выпуска (10) млн. руб. Необходимо определить суммарный стоимостной объем выпуска и наращенную сумму с начислением по ставке

Ответ: 30,512; 38,78882.

5.10.Вычисление процентной ставки линейно изменяющегося потока платежей.

Пример 510. Капиталовложения оцениваются в сумме (1) млн. руб., начальная отдача составит (0,3) млн. руб. в год, она непрерывно увеличивается в течении (5) лет (по 0,01 млн. руб. в год). Какова доходность инвестиций, измеренная в виде непрерывной процентной ставки? Сделать проверку.

Ответы. 20,659147; 1,00000.

5.11.Экспоненциальный поток платежей. Если то

Пример 511. Ожидается, что инфляция в будущем составит (5)% в год. Какова современная величина потока платежей, члены которого определяются с поправкой на инфляцию (5% годовых)? Параметры потока: тыс. руб.,, года; (поясним, что нужно заменить эквивалентной непрерывной ставкой )

Ответ: 291,667149.

5.12.Вычисление процентной ставки экспоненциального потока платежей.

Пример 512. Непрерывный поток платежей (отдача от инвестиций) характеризуется параметрами (0,3) млн. руб., (15)%, лет. Необходимо определить процентную ставку , которая уравнивает поток и капиталовложения в (2) млн. руб.

Ответ: 3,994.

5.13+.Условные регулярные потоки платежей. Ренты (аннуитеты), в которых неизвестно число платежей, называются условными (страхование, пенсия).

Определение. Если при наступлении некоторого события выплачивается страховой взнос (более принят термин - премия) то теоретически премия равна где - вероятность наступления события.

Теорема. Величина выплаты при страховании вычисляется

где

и фактически равна математическому ожиданию с учетом дисконтирования.

Теорема. Нетто ставка страхования в возрасте на дожитие до 60 лет определяется , где - число людей в возрасте лет.

Теорема. Разовый взнос для пенсий

Определение коммутационных чисел (функций):

Следствия: .

Коммутационные числа (мужчины, ) ,

Возраст	Числен.
20	100000	17843	204627
21	99800	16337	186784
.......
40	92639	2949	30469
41	91981	2687	27520
.....
50	83923	1129	10492
.....
60	68727	390	3086
61	66755	348	2695
.....
65	58092	214	1521
......
85	9561	6	11
86	7961	5	5

Пример 513. Определить единовременную нетто ставку для мужчин в возрасте 40 лет., которые страхуются на дожитие до 60 лет, если млн. руб.

Ответ:

5.14.Выплата пенсии ровно раз, начиная с 60 лет:

Пример 514. Определить единовременную нетто ставку для мужчин в возрасте 40 лет, которые страхуются на выплачивание 5 лет (раз) пенсии, начиная с 60 лет, если руб.

Ответ: 530,7.

Нетто ставка на 1000 руб. пожизненной пенсии в год:

Возраст	Ставка процентов
	4	6	10	12
20	1405	571	102	45
30	2141	1052	274	144
40	3341	1986	748	472
50	5510	3964	2162	1633