Об одном новом классе осцилляционных матриц

Об одном новом классе осцилляционных матриц

Московский институт энергобезопасности и энергосбережения,

Московская финансово-юридическая академия, Москва

Имеется оператор

,

,

.

Рассмотрим оператор

,

.

Тогда его ядро

,

где .

Аппроксимируем непрерывное ядро матрицей, используя простейшее разбиение отрезка [0,1]:

, ; , , , .

В этом случае элементы матрицы

,

где .

Для упрощения домножим все элементы матрицы на , что не изменит ее основных свойств:

, матрица n+1-го порядка.

Рассмотрим структуру матрицы :

Первая и последняя строка, а также первый и последний столбец матрицы нулевые, т. к. K(0,j) = K(n,j) = K(i,0) = K(i,n) = 0, все остальные элементы отрицательные.

Элементы справа от главной диагонали (включая саму диагональ) вычисляются по формуле , т. к. в этой области , значит, они возрастают по модулю по строкам и столбцам от краев к главной диагонали (показано стрелками).

Элементы под главной диагональю () вычисляются по формуле .

Построим матрицу К* для некоторых значений n:

n = 4 :

,

n = 5 :

.

Легко заметить, что эти матрицы симметричны относительно побочной диагонали, т. е. , что проверяется элементарной подстановкой.

Оказывается, справедливо и более общее утверждение о симметричности ядра: . Действительно:

.

Для дальнейшего исследования слегка упростим матрицу К* - уберем окаймляющие нули (матрица станет n-1-го порядка) и умножим на -1 (элементы матрицы станут положительными). Новую матрицу назовем - матрица n-1-го порядка.

, , .

.

Разделим все строки матрицы на , а столбцы – на , получим матрицу М: . Элементы матрицы вычисляются по формуле:

,

.

Это матрица n-1-го порядка.

Например:

, , :

, , :

Заметим, что помимо симметрии относительно побочной диагонали, в этой матрице наблюдается еще одно замечательное свойство – ее элементы под главной диагональю возрастают при приближении к главной диагонали, т. е.

,

Для элементов главной диагонали и выше утверждение очевидно: они все равны 1. Элементы под главной диагональю вычисляются по формуле . Докажем, что они возрастают по строке (возрастание по столбцу доказывается аналогично). Примем n и i как постоянные, переменную j назовем х, и рассмотрим элементы строки как функция от х.

, .

Вычислим производную этой функции:

.

, поскольку , следовательно, - возрастающая функция, т. е. элементы матрицы возрастают.