Асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций Паде–чебышева для последней промежуточной строки

УДК 517.53

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЗНАМЕНАТЕЛЕЙ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ–ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ ПОСЛЕДНЕЙ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ СТРОКИ. РАЦИОНАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ

,

В статье рассматривается асимптотика знаменателей аппроксимаций Паде–Чебышева рациональной функции для последней промежуточной строки таблицы Паде–Чебышева. В явном виде найдены все предельные точки множества полюсов аппроксимаций Паде–Чебышева для данного случая.

1. Введение

Классическое определение аппроксимаций Паде для степенных рядов легко может быть перенесено на случай рядов по системе ортогональных многочленов. Однако теория сходимости аппроксимаций Паде ортогональных разложений в настоящее время пока далека от завершения. Основные результаты были получены [1–3] и , А. Сиди [4]. Полная теория имеется только для одной строчной последовательности аппроксимаций (аналог теоремы Монтессу де Болора, доказанный [1–2]).

В статье [5] был предложен метод исследования равномерной сходимости для так называемой последней промежуточной строки классической таблицы Паде. Соображения устойчивости позволили показать, что асимптотическое поведение знаменателей аппроксимации Паде для мероморфной функции и ее рациональной части одинаково. Тем самым задача исследования равномерной сходимости аппроксимаций Паде для данной строки была сведена к рациональному случаю.

Частным случаем ортогональных разложений являются разложения по системе многочленов Чебышева , . Мы собираемся перенести методы и результаты [5] на случай аппроксимаций Паде–Чебышева. Мы полагаем, что предельное поведение аппроксимаций Паде–Чебышева для мероморфной функции и для ее рациональной части также будет одинаковым. Поэтому в этой работе мы изучаем рациональный случай.

2. Постановка задачи

Обозначим – эллипс с фокусами в точках и – его внутренность. Пусть – функция, аналитическая в за исключением точек , в которых она имеет полюсы кратностей , и . Будем предполагать, что .

Проведем через систему эллипсов с фокусами в точках . Пусть внутри эллипса с максимальной суммой полуосей лежит полюсов. Обозначим этот эллипс – , а его внутренность – . Пусть – любой эллипс, не содержащий полюсов , и – его внутренность. Функция может быть разложена в в ряд по многочленам Чебышева: (см., например, [6]).

Рациональную функцию , такую, что многочлены удовлетворяют условиям , и выполняется соотношение

,

будем называть линейной аппроксимацией Паде–Чебышева типа (n,m).

Набор таких аппроксимаций принято записывать в виде таблицы, которая называется таблицей Паде–Чебышева. Аппроксимации Паде–Чебышева типа при фиксированном образуют строку таблицы с номером .

Если (), то, по теореме [1], примененной к аппроксимациям Паде–Чебышева, сходится к равномерно внутри области () с выброшенными полюсами функции .

Строка с номером таким, что , называется промежуточной строкой. Мы будем изучать строку с номером , т. е. последнюю промежуточную строку. Для этой строки мы собираемся найти в явном виде для рациональных функций все частичные пределы последовательности подходящим образом нормированных знаменателей аппроксимаций Паде–Чебышева. Будет описано множество всех предельных точек полюсов аппроксимаций Паде–Чебышева в данном случае.

3. Явная формула для знаменателей аппроксимаций Паде–Чебышева

Пусть – правильная рациональная дробь и .

Цель данного параграфа – найти явно знаменатели линейных аппроксимаций Паде–Чебышева типа для функции . Это будет сделано в терминах специальных решений некоторых многочленных уравнений.

Пусть – корни знаменателя кратностей . Пусть – образы этих корней при отображении такие, что для всех . Составим многочлен

(1)

Уравнением Безу назовем уравнение вида

, (2)

где – коэффициенты многочлена (1).

Очевидно, что, в силу взаимной простоты и , решение уравнения (2) всегда существует. Можно показать, что существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условию . Его мы будем называть минимальным. Если – минимальное решение, то легко доказать, что при .

Следующая теорема является одной из основных в этом параграфе.

Теорема 1. Пусть – минимальное решение уравнения Безу (2). Тогда

Если дополнительно выполнено условие , то – линейная аппроксимация Паде–Чебышева типа

Доказательство. Из уравнения Безу получаем

.

В правой части равенства сделаем замену . Легко видеть, что при такой замене , и мы получаем:

.

Без ограничения общности можно считать, что . Тогда функция – аналитическая во внешности круга . Разложим ее в ряд Лорана в :

.

Тогда в круге имеем следующее разложение: .

И, следовательно, в кольце , получаем:

.

Возвращаясь к старой переменной и учитывая, что , получаем:

.

Поскольку , то и, следовательно, это соотношение означает, что является линейной аппроксимацией Паде–Чебышева типа

Для получения явной формулы знаменателя нам потребуется два вспомогательных утверждения.

Предложение 1. Для , справедливы следующие рекуррентные соотношения:

где – формальный старший коэффициент многочлена .

Эти рекуррентные соотношения легко следуют из уравнения Безу и правила умножения для многочленов Чебышева.

Предложение 2. Для , справедливы следующие формулы:

где находятся из рекуррентного соотношения

и .

Проверяется непосредственно по индукции, с использованием предложения 1. Теперь мы можем найти в терминах многочленов .

Теорема 2. Пусть разложение знаменателя по многочленам Чебышева имеет вид: , где .

Тогда для справедливо равенство .

Доказательство. Рассмотрим уравнения для , умножим каждое на и сложим полученные равенства. В результате будем иметь:

.

Слева в этом равенстве стоит многочлен степени не выше , справа произведение многочлена степени ровно на многочлен формальной степени . Очевидно, что знак равенства возможен лишь, если .

Окончательный результат выглядит теперь следующим образом.

Теорема 3. Многочлен представляется в виде:

.

Здесь коэффициент при многочлена .

Штрих у суммы означает, что слагаемое, соответствующее берется с коэффициентом .

Доказательство. Достаточно показать, что , .

Для формула, очевидно, верна. Предполагая, что она верна также для , докажем ее справедливость и для , т. е., что .

Из рекуррентного соотношения для многочленов получаем:

.

Воспользовавшись правилом умножения для многочленов Чебышева, имеем:

,

откуда после несложных преобразований и получим требуемое.

Замечание. Легко видеть, что может также быть представлено в виде:

(3)

Осталось получить явное представление для коэффициентов . Это можно сделать, однако, формулы будут достаточно громоздкими и не понадобятся нам в дальнейшем. Для получения асимптотики нам достаточно доказать лишь следующий результат.

Теорема 4. Для старшего коэффициента многочлена справедливо представление:

, где .

Коэффициент вычисляется по формуле:

.

Здесь , – функция, полученная из при замене .

Доказательство. Будем рассматривать многочлен как интерполяционный многочлен Эрмита с узлами интерполяции с кратностями [7].

Тогда,

.

Отсюда получаем, что старший коэффициент многочлена равен:

.

Для нахождения запишем уравнение Безу в переменных

,

продифференцируем его раз по переменной , и воспользуемся формулой Лейбница.

Получим

Здесь – биномиальные коэффициенты.

Поскольку – корень кратности многочлена , то , т. к. .

Тогда

.

Преобразуя последнее выражение по формуле Лейбница и, учитывая, что является корнем многочлена кратности , имеем:

.

Отсюда находим:

,

где – многочлен -ой степени со старшим коэффициентом .

Подставим найденные значения для в формулу для и после несложных преобразований получим: , где – многочлены степени с коэффициентом при старшей степени .

4. Асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций Паде-Чебышева

Изучим предельное поведение минимальных решений уравнений Безу, т. е. предельное поведение знаменателей аппроксимаций Паде–Чебышева. По теореме 4 многочлены выражаются через их старшие коэффициенты и , где – образы различных полюсов рациональной функции .

Отметим, что в формулу для коэффициенты входят в виде сумм .

Будем считать, что имеют максимальный модуль, а их кратности таковы, что , . Полюсы , соответствующие точкам , будем называть доминирующими полюсами функции . Именно они и будут определять асимптотическое поведение .

Пусть . Для получения асимптотики будем действовать в духе работы [5]. Определим монотетическую подгруппу тора как замыкание циклической группы, порожденной элементом . Способ явного вычисления группы приведен в [5].

Фиксируем произвольную точку , принадлежащую группе , и пусть – любая последовательность номеров такая, что , .

Очевидно, что при , , последовательность имеет следующую асимптотику: . Тогда для любого фиксированного значения при , , сумма имеет следующую асимптотику:

. (4)

Обозначим , . Если , то существует конечный . Точка в этом случае называется регулярной точкой группы . Следующее предложение является аналогом предложения 6.1 из [5] и доказывается аналогично.

Предложение 3. Среди любых чисел найдется хотя бы одно, отличное от нуля.

Будем называть целое неотрицательное число дефектом точки , если – наименьшее число такое, что . Из предложения 3 следует, что . При фиксированном будем использовать более короткое обозначение .

Если – дефект точки , то из асимптотики (4) следует, что существует конечный предел

, . (5)

Будем говорить, что многочлен является -нормированным, если для некоторого , .

Теперь мы готовы исследовать асимптотическое поведение .

Теорема 5. Пусть – произвольная точка группы , – соответствующая ей последовательность номеров и – дефект этой точки. Тогда для всех достаточно больших многочлен допускает - нормировку и существует предел , . Здесь

, (6)

где , , и

Доказательство. По формуле (3) коэффициент при в многочлене находится следующим образом:

.

Здесь штрих означает, что при надо брать формулу без множиИз асимптотики (4) следует, что при всех достаточно больших коэффициент отличен от нуля. Поэтому , где

.

Из определения дефекта и формулы (5) следует, что , , и отличен от нуля для всех достаточно больших . Таким образом, многочлен действительно может быть -нормирован.

Для получения нормированного многочлена воспользуемся формулой (3). Тогда

, . (7)

Докажем, что (7) совпадает с выражением: . Для этого преобразуем это выражение до вида (7).

Используя разложение дроби в ряд по многочленам Чебышева, получаем: .

Воспользовавшись далее правилом умножения для многочленов Чебышева и сделав замены индекса суммирования, будем иметь:

.

Заметим, что коэффициент при в квадратных скобках при всех есть и что выражение преобразовывается до . Тогда,

.

Легко видеть, что .

Окончательно получаем, , т. е. что

.

Т. к., то мы приходим к формуле (6).

Итак, мы нашли частичные пределы последовательности знаменателей линейных аппроксимаций Паде–Чебышева типа для рациональной функции по последовательностям . Нетрудно показать, что таким образом мы получили все частичные пределы. Поэтому, в полной аналогии с работой [5], нули семейства многочленов дают множество всех предельных точек полюсов аппроксимаций Паде–Чебышева типа .

Геометрия множества нулей изучена в [5].

Также, как и в [5], мы можем теперь доказать равномерную сходимость подпоследовательности , внутри соответствующих областей к функции . Можно также найти и области равномерной сходимости для последовательности .

Работа выполнена при поддержке РФФИ-Урал, грант № . благодарит также за финансовую поддержку Правительство Челябинской области (исследовательский проект 007.01.06-05.БX).

Литература

1.  О сходимости рациональных аппроксимаций полиномиальных разложений в областях мероморфности заданной функции // Матем. сборник. – 1978. – Т. 105, № 3. – С. 413–430.

2.  О теореме Монтессу де Болора для рациональных аппроксимаций ортогональных разложений // Матем. сборник. – 1981. – Т. 114, № 3. – С. 451–464.

3.  Суетин Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда // Успехи математических наук. – 2002. – Т. 57, № 1. – С. 45–142.

4.  Lubinsky D. S., Sidi A. Convergence of linear and nonlinear Pade approximant from series of orthogonal polynomials // Transaction of the American mathematical society. – 1983. – V. 278, № 1. – P. 333-345.

5.  Adukov V. M. The uniform convergence of subsequences of the last intermediate row of the Padé table // J. Approx. Theory – 2003. – V. 122. – P. 160–207.

6.  Маркушевич аналитических функций. Том II. Дальнейшее построение теории. – М.: Наука, 1968. – 624 с.

7.  , Жидков вычислений. Том I. – М.: Физматгиз, 1962. – 464 с.