Элементы теории функции комплексного переменного

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

КАФЕДРА «ВЫСШая МАТЕМАТИКа»

Элементы теории функции

комплексного переменного

Методические указания к выполнению семестрового задания

РПК «Политехник»

Волгоград

2007

УДК 5

Э 45

Элементы теории функции комплексного переменного: Методические указания к выполнению семестрового задания / Сост. , ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2007. – 18 с.

Содержится решение типовых задач семестрового задания.

Рекомендованы студентам технических специальностей направлений 260700.62 «Технология проектирования текстильных изделий», 140200.62 «Электроэнергетика», 150900.62 «Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств».

Ил. 9. Библиогр.: 1 назв.

Рецензент:

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

© Волгоградский
	государственный
	технический
	университет, 2007

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Извлечение корня. Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

, ,

2. Элементарные функции комплексного переменного. Значения показательной функции комплексного переменного вычисляются по формуле

. (1)

Показательная функция обладает следующими свойствами:

,

где и - любые комплексные числа;

, , т. е.

является периодической функцией с основным периодом .

Тригонометрические функции и - периодические с действительным периодом и имеют только действительные нули и соответственно.

Функции и определяются равенствами

, , , .

Имеют место тождества , .

Логарифмическая функция , где , определяется как функция, обратная показательной, причем

Значение функции, которое получается при , называется главным значением и обозначается

.

Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:

, ,

.

Функции , , , определяются как обратные к функциям , , , соответственно. Так, если , то w называется арккосинусом числа z и обозначается . Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмическую:

, , , .

Значения, соответствующие главному значению логарифма, обозначаются теми же символами со строчной буквы (, , , ); они называются главными значениями.

Задача 1

Найти все значения корня

Корень n-ой степени из комплексного числа Z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

,

где j - аргумент комплексного числа Z, обозначается j=argZ; k принимает значения k=0,1,…,n-1;

Z¹0

Z=-i27

x+iy=-i27, т. е.

x=0, y=-27

Изобразим комплексное число на плоскости и отметим угол j на чертеже, угол j откладываем от положительного направления оси OX до радиус-вектора, соединяющего начало координат и число Z.

Сначала найдем модуль числа Z, который находится по формуле:

, тогда подставим в формулу найденные и j и 3 значения k, в нашем примере k будет 0, 1, 2.

k=0

k=1

k=2

Изобразим решение на окружности с центром в точке О(0;0) и радиусом 3.

Задача 2

Представить в алгебраической форме

Гиперболическая функция ch Z определяется равенствами

, а значение показательной функции вычисляется по формуле

найдем значения x и y из условия

подставим числовые значения x и y в формулу, получим:

Далее преобразуем и упростим полученное выражение.

Итак, мы получили:

Задача 3

Представить в алгебраической форме

Arctg 1

Воспользуемся формулой

Рассмотрим

По условию Z=1Þ x+iy=1Þ x=1, y=0

Тогда подставим данные задачи в формулу и получим:

.. Пусть 1+i=Z1, 1-i=Z2

Найдем по формуле

, к=0, ±1, ±2,…

Изобразим Z1 на координатной плоскости

Изобразим Z2 на координатной плоскости

Итак, после вычислений получили:

Задача 4

Вычертить область, заданную неравенствами

,

,т. е.

|x|£1 |y|<2

Неравенство на графике представляет собой бесконечную вертикальную полосу с границами и , а неравенство представляет бесконечную горизонтальную полосу с границами и , причем имеем строгое неравенство, поэтому на чертеже отметим эти линии пунктиром. При наложении этих решений, т. е. решая совместно систему получим такую область:

Задача 5

Определить вид кривой

 

Управление вида определяет на комплексной плоскости кривую, параметрические уравнения которые имеют вид

x=x(t), y=y(t) в нашем случае имеем

x(t)=t2-2t+3

y(t)=t2-2t+1

x(t)=t2-2t+1+2

y(t)=(t-1)2

, т. е. можно записать , а значит . Это уравнение задает прямую y=x-2

Задача 6

Проверить, что V является мнимой частью аналитической функции. Восстановить аналитическую в окрестности точки Z0 функцию t(Z) по известной мнимой V(x;y) и значению f(Z0)

V=2xy+x, f(0)=0

Если f(2) - аналитическая функция Þ выполняются условия Коши – Римана

Найдем частные производные первого порядка для заданной функции

Имеем

, следовательно

. Отсюда интегрируя это равенство по переменной x находим:

, находим

. Теперь снова дифференцируем функцию U по переменной y, а далее найдем производную по переменной x для функции V.

Найдем , для этого проинтегрируем по переменной y

Отсюда U=x2-y2-y+c

.Подставим полученную функцию U и данную функцию V, получим выражение, которое затем преобразуем.

Значит f(Z)=(x2-y2-y+c)+i(2xy+x)=x2-y2-y+c+2ixy+ix=x2+2ixy+(iy)2+ +ix+ i2y+c = (x+iy)2+i(x+iy)+c= z2+iz+c, т. е.

f(z)=z2+iz+c

Воспользуемся частными условиями

f(0)=0

f(0)=02+i×0+c=0Þ c=0

Итак, мы получили

f(z)=z2+iz

Задача 7

Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой

|Z|=1 – это окружность

с центром в точке (0;0) и радиусом равным 1

ImZ ³0 Þ X ³0 Þ

Уравнение |Z|=1 запишем в параметрической форме

Параметр t изменяется в пределах . Найдем дифференциалы от функции, заданной параметрически:

, т. е.

Задача 8

Найти все лорановские разложения данной функции по степеням Z

Представим функцию f(z) в виде

, тогда

z=0

z=15

Функция f(z) имеет три особых точки:

Z1=0; ; Z3=15. Она аналитична в областях

а)

б)

в) |z|>15

а) в круге имеем:

здесь ,

т. е.

здесь , т. е. |z|<15

Следовательно

б) в кольце

|z|<15

Следовательно в кольце

в) в области |z|>15 имеем:

Следовательно

Задача 9

Определить тип особой точки

Z0=0 – особая точка Найдем нули знаменателя

Z0 – устранимая особая точка

Задача 10

Для данной функции найти изолированные особые точки и определить их тип

Z5=0; Z4-1=0

(Z2-1)(Z2+1)=0

(Z-1)(Z+1)(Z-i)(Z+i)=0

Z1=1; Z2=-1; Z3=i; Z4=-i

Z1, Z2, Z3, Z4, Z5 – изолированные особые точки

Z=1 – устранимая особая точка

z=-1-устранимая особая точка

z=1 – устранимая особая точка

z=-1 – устранимая особая точка

Список литературы

1.  Чудесенко заданий по специальным курсам высшей математики - М.: «Высшая школа», 1999.

Содержание

Справочный материал………………………………………………………..3

Задача 1………………………………………………………………………..4

Задача 2………………………………………………………………………..6

Задача 3………………………………………………………………………..6

Задача 4………………………………………………………………………..8

Задача 5………………………………………………………………………..9

Задача 6……………………………………………………………………..…9

Задача 7………………………………………………………………………10

Задача 8………………………………………………………………………11

Задача 9………………………………………………………………………15

Задача 10……………………………………………………………………..16

Список литературы………………………………………………….............17

Составители:

Алевтина Алексеевна Кулеша

Лариса Алексеевна Крапивина

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Методические указания к выполнению семестрового задания

Под редакцией авторов

Темплан 2007 г., поз. № 50.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1,13. Усл. авт. л. 0,94.

Тираж 50 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.