Начальная школа

Начальная школа

Решите задачи (№№ 1 - 5)

№1. Задача. Многоножка на первую ногу надела один носок, на вторую ногу – два носка, на третью – три и так далее. Всего она надела 28 носков. Сколько ног у многоножки?

Решение. Если у многоножки меньше семи ног, то всего она надела носки не более чем на 6 ног, а значит она надела не более, чем 1+2+3+4+5+6=21 носков. Такого быть не может. Если у многоножки больше семи ног, то всего она надела носки на, как минимум, 8 ног. Значит она надела не менее 1+2+3+4+5+6+7+8=36 носков. Значит такого быть не может. Значит у нее 7 ног.

Критерии. Правильный ответ (без обоснования) – 1 балл.

Равенство 1+2+3+4+5+6+7=28 (как доказательство того, что меньше семи быть не может, а 7 ножек – подходит, без доказательства того, что не может быть больше 7) – 3 балла.

№2. Задача. Геологи нашли 6 камней, массы которых 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 6 кг, 7 кг. Они разложили их в три рюкзака так, что в каждом рюкзаке масса камней была одинакова. Как это сделали?

Решение. Можно разложить так: в первый – 2,7; во второй – 3,6; в третьей – 4,5. Итого в каждом рюкзаке по 9 кг.

№3. Задача. Пирожное стоит 15 руб., а шоколадка – 24 руб. за штуку. Аня и Вася купили по несколько штук того и другого. Может ли оказаться так, что у Ани больше покупок в штуках, а у Васи покупка дороже?

Решение. Может быть. Например, Аня купила 4 пирожных и 1 шоколадку, всего 5 сладостей на 84 рубля. А Вася – 1 пирожное и 3 шоколадки, всего – 4 штуки на 87 рублей.

Критерии. Любой подходящий пример – 7 баллов.

№4. Задача. В книжке 12 страниц. Сколько цифр понадобилось, чтобы пронумеровать все страницы? Сколько из них единичек? А если в книге 20 страниц?

Решение. Первые 9 номеров состоят из одной цифры, всего 9, из них единиц – одна. Числа 10, 11, 12 содержат 6 цифр, из них 4 единицы. Итого 15 цифр, 5 единиц.

Для книжки с 20 страницами можно рассуждать так. Два числа кончаются на 0 (10 и 20), всего 4 цифры, 1 единица. Остальные – это числа 1, 2, …, 9 и 11, 12, …, 19. Всего 9 + 18 = 27 цифр, 9 единиц в разряде десятков и 2 – в разряде единиц. Всего 4 + 27 = 31 цифра, 1 + 9 + 2 = 12 единиц.

Можно производить подсчет и в другом порядке.

Критерии. За каждый отдельный ответ без обоснования 1 балл.

№5. Задача. Фигура, изображенная на рисунке, состоит из равных клеточек. Сколько квадратов можно на ней насчитать?

Решение. Квадратов в одну клетку будет 16, квадратов со стороной 2 – 4 в нижнем ряду и 2 верхнем (2 и 3-ья "строчки" клеток). Квадрат 3 ´ 3 один. Всего 16 + 6 + 1 = 23 штуки.

Ответ. 23 штуки.

Критерии. Правильный ответ – 7 баллов.

Методический блок (№№ 6-10)

В предложенных "задачах" (№ 6 – 10) могут содержаться математические ошибки, как ответах, так и в "условиях" или "решениях". Если некорректно условие, то объясните, почему это так, и найдите ошибки в "решении". Если неверно только "решение", то укажите ошибки и приведите верное решение.

Общие критерии методического блока. За правильное решение давали 3 балла. За нахождение ошибки в решении 4 балла.

№6. "Задача". Имеется 10 розеток и 5 тройников (тройник – прибор, состоящий из вилки и 3 розеток). Какое наибольшее число электроприборов можно включить в сеть при их помощи?

"Решение". Включим все тройники в розетки. Получим 15 мест для включения. Кроме того, у нас останутся 5 неиспользованных розеток. Всего – 20. Ответ: 20.

Разбор. Объяснение неверное, так как рассмотрен только частный случай включения тройников. Но тройники можно включать и друг в друга! Надо доказать, что при этом не получится больше свободных розеток.

Верное доказательство может быть таким: Без использования тройников мы имеем 10 розеток. Подключая тройник, мы добавляем 3 – 1 = 2 новых мест для включения. Таким образом, подключив все тройники (в любые розетки) мы получим 10 + 2∙5 = 20 свободных розеток.

№7. "Задача". В одном ряду 9 камешков на расстоянии 6 м друг от друга. В другом ряду 25 камешков на расстоянии 2 м друг от друга. Какой ряд короче?

"Решение". Первый ряд имеет длину 9∙6 = 54 м, а второй – 25∙2 = 50 м, поэтому второй короче.

Разбор. Решение неверное, так как между 9 камешками 8 промежутков. Значит, первый ряд имеет длину 8∙6 = 48 м, второй – 24∙2 = 48 м, они равны по длине.

Критерии. Если не объяснялось, что надо считать промежутки между камешками, т. е. почему надо умножать на 8, а не на 9, то 0 баллов.

№8. "Задача". После окончания соревнования трех победительниц спросили, какое место заняла каждая из них.

– Я заняла первое, – сказала Галя.

– Я заняла не первое, – сказала Люда.

– Одна из них сказала правду, а другая – нет, – прокомментировала Наташа.

Какое место заняла Наташа, если ее слова правдивы?

"Решение". В задаче говорится только о первом месте, кто занял второе или третье мы узнать не можем. Значит, Наташа заняла первое место.

Разбор. Ответ верный, а рассуждение – нет. В нем предполагается, что на основе данных можно однозначно сделать вывод о Наташе. Но это не доказано.

Задачу можно решить перебором. Если Галя сказала правду, то и Люда сказала правду, так как первое место только одно. Но это противоречит словам Наташи. Значит, Галя соврала, а Люда – нет, т. е. обе они не заняли первого места. Но кто-то же из трех его занял, и это может быть только Наташа.

№9. "Задача". Два приятеля собрались дойти до соседней деревни, однако один из них в последний момент подвернул ногу и не смог идти пешком. Первую половину пути он проехал на попутном автомобиле, зато вторую тащился на телеге, запряженной волами, которые шли вдвое медленней пешехода. Кто из друзей раньше добрался до места назначения?

"Решение". Эту задачу нельзя решить, так как не известны скорости пешеходов, автомобиля и телеги.

Разбор. Решение неверное. Ответ не зависит от численных значений скоростей. Дело в том, что у больного друга вторая половина пути заняла столько же времени, как весь путь пешехода, а ведь какое-то время еще понадобилось на поездку в автомобиле.

Ответ. Раньше пришел тот, кто шел пешком.

Критерии. Так же можно было заметить, что в условии не говорится одновременно ли вышли друзья. Если это указывалось в задаче, то считалось, что в условии была найдена ошибка и ставилось 7 баллов.

№10. "Задача". Отец старше сына в три раза, а через 10 лет отец будет старше в 2 раза. Сколько лет сыну сейчас?

"Решение". Пусть сын 1 год, тогда отцу – 3 года, это слишком мало. Также для 2, 3, … Проверим число побольше, например, 10. Если сыну 10 лет, то отцу 30. Через 10 лет сыну будет 20 лет, а отцу – 40, т. е. как раз вдвое больше. Подходит.

"Ответ". Сыну 10 лет.

Разбор. С формальной точки зрения решение неполное, не доказано, что нет других решений.

Полное решение таково. Разница между возрастами отца и сына составляет два возраста сына и не меняется с годами. Значит, через 10 лет возраст сына будет равен этой разнице, то есть удвоится. Значит, увеличение на 10 лет равносильно удвоению возраста, то есть искомое число равно 10.

Другое правильное решение. Изобразим все схематически. Пусть возраст сына это

. Тогда возраст отца три таких отрезка.

. Через 10 лет возраст сына увеличится на 10 лет и стане равным (маленький отрезок это 10 лет)

В свою очередь возраст отца с одной стороны тоже увеличиться на 10 лет и станет равным

, а с другой стороны станет равным удвоенному возрасту сына

. Ясно, что эти отрезки должны быть равны (так как это один и тот же возраст отца). Нетрудно видеть, что в обоих есть по два больших отрезка и по одному маленькому. Убирая их, получаем что один большой отрезок равен одному маленькому. Значит большой отрезок равен 10 годам. Что и требовалось.

Замечание. Если присмотреться ко второму решению, то не сложно видеть, что это фактически решение с помощью составления уравнения. Но оно понятно и доступно любому школьнику начальных классов, потому что ничего кроме убирания и добавления палочек не использует. Это задача и ее решение показывает, что можно проходить уравнения даже в начальной школе!