Командная олимпиада
1. Дети устроили эстафету по кольцевой трассе длиной 330 м. Старт и финиш находились в одном месте, а длина каждого этапа была равна 75 м. Сколько было этапов эстафеты, и каково было расстояние между соседними пунктами передачи эстафеты?
Решение. НОК (75, 330) = 1650 = 330 · 5 = 75 · 22. Так что бежать пришлось 5 кругов, число этапов было равно 22. Расстояние между пунктами составляло 330 : 22 = 15 м.
2. Впишите в клетки квадрата 4 × 4 различные натуральные числа, не превосходящие 30, так, чтобы произведения чисел во всех строчках и столбцах были одинаковыми.
Решение. Одна из возможных расстановок приведена на рисунке.
3. Имеется шесть палочек, длины которых равны 1, 2, 3, 2011, 2012, 2013 см. Надо выбрать три палочки и составить из них треугольник. Каким числом способов можно это сделать?
Решение. Единичка нигде участвовать не может, остаются пять палочек 2, 3, 2011, 2012, 2013 см. Из одной большой и двух маленьких палочек треугольник составить нельзя. Из трёх больших можно составить 1 треугольник {2011, 2012, 2013}. Из двух больших и одной маленькой палочек можно составить 5 треугольников: {2011, 2012, 2}, {2011, 2012, 3}, {2012, 2013, 2}, {2012, 2013, 3}, {2011, 2013, 3}. Итого 6 треугольников.
4. И спросил Иван Царевич у Кощея Бессмертного: «А сколько же лет тебе, такому дряхлому?» «Какой же я дряхлый? — ответил Кощей. — Мне ведь ещё и 10000 лет нет! Но, уж, конечно, поболее будет, чем десяти таким 18-летним юнцам, как ты, вместе взятым». «Что-то скрываешь ты свой точный возраст», — заметил Иван Царевич. «Вовсе нет, — сказал Кощей. — Считай сам, коли грамотный. Мой возраст равен сумме квадратов пяти последовательных натуральных чисел. А сумма этих пяти чисел является квадратом некоторого натурального числа». Сколько лет Кощею Бессмертному?
Решение. Возраст Кощея K = (k – 2)2 + (k – 1)2 + k2 + (k +1)2 + (k + 2)2 = 5(k2 + 2). Сумма сторон этих квадратов равна 5k = t2, откуда k = 5s2. Тогда возраст Кощея оценивается как 180 < 5∙(25s4 + 2) < 10000, или 2 ≤ s4 ≤ 80. Отсюда s = 2, что даёт K = 2010.
5. Какое наибольшее число клеток можно закрасить в квадрате 5 ґ 5, чтобы в любом квадрате 2 ґ 2 было закрашено не более двух клеток?
Решение. Приведём пример на 15 клеток — целиком закрашиваются три полосы через одну (рис. а). Покажем, что 16 клеток закрасить нельзя. Допустим, что можно. Выделим квадрат 4 × 4 и разрежем его на четыре квадрата 2 ґ 2 (рис. б). В этом квадрате можно раскрасить не более 8 клеток, и в оставшемся гномоне — тоже не более 8 клеток, поскольку нельзя покрасить все три клетки в углу. Допустим, что в гномоне покрашено 8 клеток (рис. в). Тогда в прилегающем к нему меньшем гномоне со стороной 4 не покрашена ни одна клетка. Спрашивается, можно ли в оставшемся квадрате 3 ґ 3 покрасить 8 клеток? Очевидно, что нельзя.
6. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Оказалось, что AB + AD = CD и AB + BD = AC. Найдите углы треугольника ABC.(Crux-99)
Решение. Отложим на AC отрезок AE = AB. Треугольники ABD и AED равны по двум сторонам и углу между ними. Тем самым ED = BD. Из данных задачи EС = BD. Тем самым EС = ED, и треугольник CDE — равнобедренный. Продолжим CA на AF = AD и проведём BF. Имеем CB = CF, поэтому треугольник CBF — равнобедренный. Обозначим ÐACB = a. Тогда ÐBDA = (p – a)/2 и ÐСFB = (p – a)/2. Нетрудно показать, что треугольники ABD и ABF — остроугольные, поэтому они равны по двум сторонам и противолежащему углу. Тем самым b = 180°/3 = 60°, a = 20°, g = 40°.
7. Сумма трёх натуральных чисел равна 1810. Каким наибольшим количеством нулей может заканчиваться их произведение?
Решение. Приведём пример на 7 нулей: 1250 ∙ 160 ∙ 400 = 80.000.000. Покажем, что 7 нулей — это наибольшее количество. Произведение трёх частей одного числа является наибольшим, если эти части максимально выровнены между собой. Отсюда оцениваем наибольшее произведение: 603 ∙ 603 ∙ 604 = 219.619.836. Таким образом, 9 нулей получить заведомо не удастся; а если удастся получить 8 нулей, то результат будет равен 100.000.000 или 200.000.000. Покажем, что этого сделать также не удастся. Допустим, что удалось, тогда разложение произведения на простые множители имеет вид 58 ∙ 28 либо 58 ∙ 29.
Сначала разберёмся со степенями 5. Наибольшая степень 5 в слагаемом — это 54 = 625, поскольку 55 = 3125 > 1810. В одном из слагаемых должно стоять не более чем 51, потому что если все слагаемые содержат 52, то на 52 делится и их сумма, но 1810 на 52 не делится. Поскольку 5 содержится по меньшей мере в двух слагаемых, то оно должно содержаться во всех трёх слагаемых, чтобы их сумма делилась на 5. Отсюда имеется лишь одно распределение 58 по слагаемым: {54, 53, 51}.
Теперь разберёмся со степенями 2. Чтобы сумма была чётной, чётным должно быть либо одно слагаемое, либо все три. Если одно, то есть лишь один вариант 51 ∙ 28 = 1280, но тогда сумма равна 1280 + 625 + 125 = 2030 ≠ 1810. Если три, то одно из слагаемых равно 54 ∙ 21 = 1250, на долю двух других слагаемых остаётся 1810 – 1250 = 360. Отсюда второе слагаемое равно 53 ∙ 2 = 250, и на долю третьего слагаемого остаётся 110, что не является произведением степеней 2 и 5.
