Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

Гравитационная волна

План:

Введение

7.1 Общее решение 7.2 Наложение условий бездивергентности 7.3 Остаток свободы в выборе системы координат 7.4 Обнуление несущественных компонент гравитационной волны 7.5 Две поляризации гравитационной волны 7.6 Искривление пространства в гравитационном волны

Введение

Гравитационная волна

Происхождение и эволюция гравитационных волн. Иллюстрация из журнала "Вокруг света", № 2, 2007

Гравитационная волна - возмущение гравитационного поля, "рябь" ткани пространства-времени, распространяется со скоростью света. Гравитационные волны предусмотрены общей теорией относительности и многими другими теориями гравитации, но ввиду их чрезвычайно малую величину, пока не зарегистрированы непосредственно. Тем не менее, косвенные свидетельства их существования достаточно весомые - теория излучения гравитационных волн предсказывает темпы сближения тесных систем двойных звезд, совпадающие с наблюдениями.

Уравнения Эйнштейна имеют решения волнового типа, представляющие собой возбуждение метрики пространства-времени, которые распространяются со скоростью света. Слабая (линейная) гравитационная волна, согласно общей теории относительности, является поперечной и описывается двумя независимыми компонентами (имеет две поляризации).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

1. Генерация гравитационных волн

Система из двух нейтронных звезд порождает рябь пространства-времени

Гравитационную волну излучает любая материя, движущаяся с ускорением. Для возникновения волны существенной амплитуды необходимые чрезвычайно большая масса излучателя или / и огромные ускорения, амплитуда гравитационной волны прямо пропорциональна ускорению и массе генератора, т. е. ~ ma. Однако, если определенный объект движется ускоренно, то это означает, что на него действует некоторая сила со стороны другого объекта. В свою очередь этот другой объект испытывает обратное действие (за 3-м законом Ньютона), при этом оказывается, что: M 1 a 1 = - m 2 a 2. Получается, что два объекта излучают гравитационные волны только в паре, причем в результате интерференции они существенно взаимно гасятся. Поэтому гравитационное излучение в общей теории относительности всегда носит за мультипольнистю характер как минимум Квадрупольнийного излучения. Кроме того, для нерелятивистских излучателей в выражении для интенсивности излучения является малый параметр $\ Left (\ frac {r} {c T} \ right) ^ 4$ (R - характерный размер излучателя, T - характерный период движения излучателя, c - скорость света в вакууме).

Для Солнечной системы, например, больше гравитационное излучение вызывает подсистема Солнца и Юпитера. Мощность этого излучения - примерно 5 киловатт, таким образом, энергия, теряется Солнечной системы на гравитационное излучение за год, абсолютно ничтожна по сравнению с характерной кинетической энергией тел.

Наиболее сильными источниками гравитационных волн являются:

галактики, сталкивающихся (гигантские массы, небольшие ускорения), Гравитационный коллапс двойной системы компактных объектов (колоссальные ускорения довольно большой массы).

1.1. Гравитационный коллапс двойной системы

Любая система двойных звезд при вращении вокруг общего центра масс теряет энергию за счет излучения гравитационных волн, и в конце концов сливается воедино. Но для обычных, некомпактных двойных звезд этот процесс занимает очень длительное время, много больше настоящего возраста Вселенной. Если же двойная компактная система состоит из пары нейтронных звезд, черных дыр или их комбинации, то слияние может произойти за несколько миллионов лет. Сначала объекты сближаются, а их период обращения уменьшается. Однако на завершающем этапе происходит столкновение и несимметричный гравитационный коллапс. Этот процесс длится доли секунды, и за это время в гравитационное излучение поступает энергия, что составляет, по некоторым оценкам, более 50% от массы системы.

2. Регистрация гравитационных волн

Регистрация гравитационных волн довольно сложная из-за слабости последних (малого искажения метрики). Прибором для их регистрации является детектор гравитационных волн. Попытки выявления гравитационных волн делаются с конца 1960-х годов, но сейчас нет достоверных сведений об их непосредственное регистрации. Профессор Рана Адхикари оценил вероятность детектировать серию гравитационных волн в 2010 г. как одну шестую. Гравитационные волны с амплитудой, которую можно было бы зарегистрировать, рождающихся при коллапсе двойного пульсара. Подобные события происходят в окрестностях нашей галактики ориентировочно раз в десятилетие [1].

С другой стороны, общая теория относительности предсказывает ускорение взаимного вращения двойных звезд из-за потери энергии на излучение гравитационных волн, и этот эффект надежно зафиксирован в нескольких известных системах двойных компактных объектов (в частности, пульсаров с компактными компаньонами). В 1993 г. "За открытие нового типа пульсаров, давшее новые возможности в изучении гравитации" открывателям первый двойной Пульсара PSR B1913 +16 - Расселу Халс и Джозефу Тейлору мл. - была присуждена Нобелевская премия по физике. Такое же явление зафиксировано еще в нескольких случаях: для пульсаров PSR J, PSR J и системы двойных белых карликов RX J0806. Например, расстояние между двумя компонентами A и B первая двойная звезда из двух пульсаров PSR J уменьшается примерно на 2,5 дюйма (6,35 см) ежедневно из-за потерь энергии на гравитационные волны, причем это происходит в соответствии с теорией Эйнштейна [2 ].

По оценкам, наиболее сильными и достаточно частыми источниками гравитационных волн для гравитационных телескопов и антенн является катастрофы, связанные с коллапсами двойных систем в ближайших галактиках. Ожидается, что в ближайшем будущем на усовершенствованных гравитационных детекторах будет регистрироваться несколько подобных событий ежегодно, искажающих метрику в окрестности Земли на

3. Теоретические выкладки

Одним из теоретических выводов уравнения Эйнштейна для гравитационного поля:

$(1) \ qquad G_ {ij} = R_ {ij} - {R \ over 2} g_ {ij} = {8 \ pi G \ over c ^ 4} T_ {ij}$

является существование гравитационных волн. Эти волны имеют обычно очень малую амплитуду, исключением может быть разве что экзотический случай вращения двух очень близко расположенных черных дыр. Эта амплитуда настолько мала, что еще и до сих пор гравитационные волны не обнаружены экспериментально.

4. Проблема вывода уравнения гравитационных волн малой амплитуды

Для вывода уравнения гравитационных волн малой амплитуды мы можем воспользоваться линеаризованные уравнения Эйнштейна из статьи Слабое гравитационное поле, но не отрицать никаких линейных слагаемых. Для вариации тензора Риччи имеем формулу (для удобства эта формула умноженная на два):

$(2) \ qquad 2 \ delta R_ {ij} = - \ nabla ^ 2 \ delta g_ {ij} + R_i ^ s h_ {sj} + R_j ^ s h_ {si} - 2 R_ {\; i \; j } ^ {s \; p \;} h_ {sp}$

где симметричный тензор $h_ {ij}$ связан с вариацией метрического тензора и имеет к тому же нулевую дивергенцию:

$(3) \ qquad h_ {ij} = \ delta g_ {ij} - {1 \ over 2} (g ^ {ps} \ delta g_ {ps}) g_ {ij}; \ qquad \ nabla ^ j h_ {ij } = 0$

из формулы (2) легко можно получить и вариацию тензора Эйнштейна $G_ {ij}$ :

$(4) \ qquad 2 \ delta G_ {ij} = \ delta \ left (R_ {ij} - {R \ over 2} g_ {ij} \ right) = - \ nabla ^ 2 h_ {ij} + R ^ s_i h_ {sj} + R ^ s_j h_ {si} - 2 R _ {\; i \; j} ^ {s \; p \;} h_ {sp} + \ left (R ^ {sp} h_ {sp} \ right) g_ {ij} - R h_ {ij}$

Формулу (4) нужно приравнять к вариации $\ Delta T_ {ij}$ тензора энергии-импульса с соответствующим (формула 1) коэффициентом пропорциональности:

$(5) \ qquad - \ nabla ^ 2 h_ {ij} + R ^ s_i h_ {sj} + R ^ s_j h_ {si} - 2 R _ {\; i \; j} ^ {s \; p \; } h_ {sp} + \ left (R ^ {sp} h_ {sp} \ right) g_ {ij} - R h_ {ij} = {16 \ pi G \ over c ^ 4} \ delta T_ {ij}$

Правая часть этого уравнения представляет проблему в случае присутствия материи, т. е. ненулевого тензора $T_ {ij}$ . Действительно, рассмотрим две ситуации, для невозмущенной метрики $g_ {ij}$ без гравитационных волн и для возмущенной метрики $\ Tilde g_ {ij} = g_ {ij} + \ delta g_ {ij} \; \ delta g_ {ij} \ ne 0$ в присутствии гравитационной волны. В обоих случаях дивергенция Тезора энергии-импульса должна равняться нулю:

$(6) \ qquad \ nabla_j T ^ j_i = 0, \ qquad \ tilde \ nabla_j \ tilde T ^ j_i = 0$

Отметим, что в формулах (6) различны не только тензоры , Но и операторы Набла $\ Nabla_j$ - Поскольку в них входят зависимые от метрики символы Кристофеля. Итак имеем:

$(7) \ qquad 0 = \ delta \ left (\ nabla_j T ^ j_i \ right) = \ partial_j \ delta T ^ j_i + \ delta \ left (\ Gamma ^ j_ {js} T ^ s_i \ right) - \ delta \ left (\ Gamma ^ s_ {ji} T ^ j_s \ right) = \ nabla_j \ delta T ^ j_i + T ^ s_i \ delta \ Gamma ^ j_ {js} - T ^ j_s \ delta \ Gamma ^ s_ {ji}$

Если тензор энергии-импульса равна нулю $T ^ j_i \ ne 0$ и вариация символов Кристофеля не равна нулю $\ Delta \ Gamma ^ s_ {ij} \ ne 0$ , То в общем случае два последних слагаемых формулы (7) тоже будут ненулевыми и не компенсируются взаимно. Это означает, что и вариация . Но количество уравнений (7) равен четырем ( ), А потому из этих уравнений не следует однозначно, какими должны быть все десять компонент вариации тензора энергии-импульса $\ Delta T ^ j_i$ .

Это принципиальная проблема, которая еще ждет своего исследователя: для ее решения следует привлекать какие-то посторонние (кроме уравнения Эйнштейна) физические соображения.

5. Гравитационные волны в пустоте

В пустоте $T_ {ij} = 0$ , А потому два последних слагаемых в правой части формулы (7) равны нулю. Мы можем считать, не входя в противоречие с формулой (7), что при прохождении гравитационной волны вариация тензора энергии-импульса тоже равна нулю:

$(8) \ qquad \ delta T_ {ij} = 0$

Далее, из уравнения Эйнштейна (1) следует, что в пустоте скалярная кривизна и тензор Риччи $R_ {ij}$ равны нулю:

$(9) \ qquad R_ {ij} - {R \ over 2} g_ {ij} = 0$

$(9a) \ qquad g ^ {ij} \ left (R_ {ij} - {R \ over 2} g_ {ij} \ right) = R - {R \ over 2} 4 = - R = 0$

$(9b) \ qquad R_ {ij} = {R \ over 2} g_ {ij} = {0 \ over 2} g_ {ij} = 0$

Подставляя (8) и (9) в формулу (5) получаем уравнение гравитационных волн в пустоте:

$(10) \ qquad \ nabla ^ 2 h_ {ij} + 2 R _ {\; i \; j} ^ {s \; p \;} h_ {sp} = 0$

6. Xвили в плоском пространстве Минковского

Уравнение (10) все еще сложная, и поскольку в земных условиях гравитационное искривление пространства небольшое, то не будет большой погрешности, если мы ограничимся плоским пространством Минковского с метрикой:

$(11) \ qquad (g_ {ij}) = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & -1 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & -1 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {bmatrix}$

Для этой метрики тензор внутренней кривизны $R_ {ijkl}$ равна нулю, ковариантный производные $\ Nabla_i$ совпадают с частными производными ${\$ , А лапласиан $\ Nabla ^ 2 = g ^ {ij} \ nabla_i \ nabla_j$ становится оператором Даламбера:

$(12) \ qquad \ Box = {\ partial ^ 2 \ over \ partial (x ^ 0) ^ 2} - {\ partial ^ 2 \ over \ partial (x ^ 1) ^ 2} - {\ partial ^ 2 \ over \ partial (x ^ 2) ^ 2} - {\ partial ^ 2 \ over \ partial (x ^ 3) ^ 2} = {1 \ over c ^ 2} {\ partial ^ 2 \ over \ partial t ^ 2 } - {\ partial ^ 2 \ over \ partial x ^ 2} - {\ partial ^ 2 \ over \ partial y ^ 2} - {\ partial ^ 2 \ over \ partial z ^ 2}$

Следовательно система уравнения (10) записывается так:

$(13) \ qquad \ Box h_ {ij} = 0$

и распадается на десять независимых уравнений, по одному на каждую независимую компоненту симметричного тензора $h_ {ij}$ . Эти уравнения можно решать независимо, а затем на общее решение наложить условие бездивергентности:

$(14) \ qquad \ nabla ^ j h_ {ij} = g ^ {jk} \ nabla_k h_ {ij} = \ partial_0 h_ {i0} - \ partial_1 h_ {i1} - \ partial_2 h_ {i2} - \ partial_3 h_ {i3} = 0$

7. Плоская волна

7.1. Общее решение

Рассмотрим гравитационную волну, движущуюся вдоль одной пространственной координаты x ^ 1 , Т. е. величины $h_ {ij}$ зависят только от времени x ^ 0 = ct и этой координаты x ^ 1 , И не зависят от двух других пространственных координат :

$(15) \ qquad h_ {ij} = h_ {ij} (x ^ 0, x ^ 1)$

Тогда уравнение (13) становится одномерным волновым уравнением:

$(16) \ qquad {\ partial ^ 2 h_ {ij} \ over \ partial (x ^ 0) ^ 2} - {\ partial ^ 2 h_ {ij} \ over \ partial (x ^ 1) ^ 2} = 0$

и как известно, имеет следующий общий решение:

$(17) \ qquad h_ {ij} = F (x ^ 0 + x ^ 1) + G (x ^ 0 - x ^ 1)$

Первое слагаемое описывает волну произвольной формы, движущийся по оси с плюс бесконечности в минус бесконечность, причем со скоростью света, так x ^ 0 = ct . Второе слагаемое описывает аналогичную волну, которая движется во встречном направлении.

Поскольку прямая и встречная волны полностью аналогичны и не взаимодействуют между собой, то в дальнейшем анализе можно ограничиться только одной из них, и считать все величины $h_ {ij}$ функциями одной переменной:

$(18) \ qquad h_ {ij} = h_ {ij} (\ xi), \ qquad \ xi = x ^ 0 + x ^ 1$

Производные $\ Xi$ обозначать штрихом, тогда:

$(19) \ qquad \ partial_0 h_ {ij} = \ partial_1 h_ {ij} = h_ {ij} '= {d h_ {ij} \ over d \ xi}$

$(20) \ qquad \ partial_2 h_ {ij} = \ partial_3 h_ {ij} = 0$

7.2. Наложение условий бездивергентности

Уравнение (14) для волны с учетом (19) и (20) запишется так:

$(21) \ qquad h_ {i0} '- h_ {i1}' = 0$

и легко интегрируется:

$(22) \ qquad h_ {i1} = h_ {i0} + c_i$

где c_i - Константы интегрирования.

Следовательно, гравитационная волна описывается десятью функциями , Четыре из которых по формулам (15) выражаются через остальные. Итак имеем шесть функций и четыре константы. Покажем, что четыре из этих шести функций, а также все константы можно обнулить, если правильно заменить систему координат.

7.3. Остаток свободы в выборе системы координат

Как известно (см. статью Метрический тензор), при смещении системы координат x ^ i на малый вектор v ^ i :

$(23) \ qquad \ tilde x ^ i = x ^ i + v ^ i$

Метрический тензор $g_ {ij}$ также изменяется:

$(24) \ qquad \ tilde g_ {ij} = g_ {ij} - \ nabla_i v_j - \ nabla_j v_i$

и по формуле (3), тензор $h_ {ij}$ изменяется так:

$(25) \ qquad \ tilde h_ {ij} = h_ {ij} - \ nabla_i v_j - \ nabla_j v_i + \ left (\ nabla ^ s v_s \ right) g_ {ij}$

Принимая дивергенцию от (25), находим:

$(26) \ qquad \ nabla ^ j \ tilde h_ {ij} = \ nabla ^ j h_ {ij} - \ nabla ^ j \ nabla_i v_j - \ nabla ^ 2 v_i + \ nabla_i \ nabla ^ s v_s$

В плоском пространстве Минковского ковариантного производные можно переставлять, поэтому второй и четвертый слагаемые в правой части формулы (26) взаимно-уничтожаются и мы следующее уравнение:

$(27) \ qquad \ nabla ^ j \ tilde h_ {ij} = \ nabla ^ j h_ {ij} - \ nabla ^ 2 v_i$

Этим уравнением мы уже пользовались в статье Слабое гравитационное поле, чтобы сделать нулевой дивергенцию от $h_ {ij}$ . Однако и после обнуления дивергенции остается свобода менять $h_ {ij}$ по формуле (25), если вектор v_i удовлетворяет уравнению Лапласа (чтобы не менять 27):

$(28) \ qquad \ nabla ^ 2 v_i = \ Box v_i = 0$

Теперь подумаем, каким может быть вектор v_i в нашем случае плоской волны. Во-первых он может быть функцией одной переменной v_i , Так чтобы новые величины по формуле (25) тоже были функциями этой одной переменной.

Во-вторых, вектор v_i может быть линейной комбинацией всех координат:

$(29) \ qquad v_i = a_ {ij} x ^ j$

Ясно что эта линейная функция удовлетворяет уравнению Лапласа (28), а в формулу (25) вносит лишь повстийни слагаемые, так что $\ Tilde h_ {ij} = \ tilde h_ {ij} (\ xi)$ Далее, в формуле (29) мы можем ограничиться только симметричной матрицей коэффициентов $a_ {ij}$ , Поскольку для антисимметричной матрицы имеем нулевую изменение в формуле (25):

$(30) \ qquad - \ partial_i (a_ {jk} x ^ k) - \ partial_j (a_ {ik} x ^ k) + g_ {ij} g ^ {ps} \ partial_p (a_ {sk} x ^ k) = - (a_ {ji} + a_ {ij}) + g_ {ij} g ^ {ps} a_ {ps} = 0$

Подытоживая, мы можем для трансформации системы координат взять следующий вектор:

$(31) \ qquad v_i = u_i (\ xi) + a_ {ik} x ^ k$

где матрица $a_ {ik}$ симметричная.

7.4. Обнуление несущественных компонент гравитационной волны

Сначала для использования в следующих формулах найдем дивергенцию формулы (31):

$(32) \ qquad \ nabla ^ i v_i = g ^ {ij} \ partial_j v_i = u_0 '- u_1' + a_ {00} - a_ {11} - a_ {22} - a_ {33}$

Подставим в формулу (25) вектор (31), и распишем полученное уравнение покомпонентно, учитывая также формулы (22). Имеем следующие десять уравнений:

$(33.1) \ qquad \ tilde h_ {00} = h_ {00} - 2 \ partial_0 v_0 + g_ {00} \ nabla ^ i v_i = (h_ {00} - u_0 '- u_1') - a_ {00} - a_ {11}-a_ {22} - a_ {33}$

$(33.2) \ qquad \ tilde h_ {01} = h_ {01} - \ partial_0 v_1 - \ partial_1 v_0 = (h_ {00} - u_0 '- u_1') + c_0 - 2 a_ {01}$

$(33.3) \ qquad \ tilde h_ {11} = h_ {11} - 2 \ partial_1 v_1 + g_ {11} \ nabla ^ i v_i = (h_ {00} - u_0 '- u_1') + c_0 + c_1 - a_ {00} - a_ {11} + a_ {22} + a_ {33}$

$(33.4) \ qquad \ tilde h_ {02} = h_ {02} - \ partial_0 v_2 - \ partial_2 v_0 = (h_ {02} - u_2 ') - 2 a_ {02}$

$(33.5) \ qquad \ tilde h_ {03} = h_ {03} - \ partial_0 v_3 - \ partial_3 v_0 = (h_ {03} - u_3 ') - 2 a_ {03}$

$(33.6) \ qquad \ tilde h_ {12} = h_ {12} - \ partial_1 v_2 - \ partial_2 v_1 = (h_ {02} - u_2 ') + c_2 - 2 a_ {12}$

$(33.7) \ qquad \ tilde h_ {13} = h_ {13} - \ partial_1 v_3 - \ partial_3 v_1 = (h_ {03} - u_3 ') + c_3 - 2 a_ {13}$

$(33.8) \ qquad \ tilde h_ {22} = h_ {22} - 2 \ partial_2 v_2 + g_ {22} \ nabla ^ i v_i = (h_ {22} - u_0 '+ u_1') - a_ {00} + a_ {11} - a_ {22} + a_ {33}$

$(33.9) \ qquad \ tilde h_ {33} = h_ {33} - 2 \ partial_3 v_3 + g_ {33} \ nabla ^ i v_i = (h_ {33} - u_0 '+ u_1') - a_ {00} + a_ {11} + a_ {22} - a_ {33}$

$(33.10) \ qquad \ tilde h_ {23} = \ left (h_ {23} \ right) - \ partial_2 v_3 - \ partial_3 v_2 = h_ {23} - 2 a_ {23}$

В правых частях всех этих уравнений скобками выделены функциональную составляющую (от ), А далее идут повтийни слагаемые. Как видно, среди функциональных составляющих встречаются одинаковые, например в формулах (3Поэтому мы можем выбором функций u_i обнулить эти составляющие в семи первых уравнениях (3, а также в следующем уравнении, что есть полусумма (33.8) и (33.9):

$(34) \ qquad {\ tilde h_ {22} + \ tilde h_ {33} \ over 2} = \ left ({h_ {22} + h_ {33} \ over 2} - u_0 '+ u_1' \ right) - a_ {00} + a_ {11}$

Итак имеем систему четырех уравнений:

$(35.1) \ qquad h_ {00} - u_0 '- u_1' = 0$

$(35.2) \ qquad h_ {02} - u_2 '= 0$

$(35.3) \ qquad h_ {03} - u_3 '= 0$

$(35.4) \ qquad {h_ {22} + h_ {33} \ over 2} - u_0 '+ u_1' = 0$

которая лекго решается:

$(36.1) \ qquad u_0 = u_0 (\ xi) = \ int {2 h_ {00} + h_ {22} + h_ {33} \ over 4} d \ xi$

$(36.2) \ qquad u_1 = u_1 (\ xi) = \ int {2 h_ {00} - h_ {22} - h_ {33} \ over 4} d \ xi$

$(36.3) \ qquad u_0 = u_0 (\ xi) = \ int h_ {02} d \ xi$

$(36.4) \ qquad u_0 = u_0 (\ xi) = \ int h_ {03} d \ xi$

Постоянные составляющие этих же восьми уравнений (3, (34) также могут быть обнулены надлежащим выбором десяти коэффициентов $a_ {ij}$ . Имеем следующие восемь уравнений, наложенные на коэффициенты:

$(37.1) \ qquad - a_ {00} - a_ {11} - a_ {22} - a_ {33} = 0$

$(37.2) \ qquad c_0 - a_ {01} = 0$

$(37.3) \ qquad c_0 + c_1 - a_ {00} - a_ {11} + a_ {22} + a_ {33} = 0$

$(37.4) \ qquad - 2 a_ {02} = 0$

$(37.5) \ qquad - 2 a_ {03} = 0$

$(37.6) \ qquad c_2 - 2 a_ {12} = 0$

$(37.7) \ qquad c_3 - 2 a_ {13} = 0$

$(37.8) \ qquad - a_ {00} + a_ {11} = 0$

из которых следует:

$(38.1) \ qquad a_ {00} = a_ {11} = (c_0 + c_1) / 4$

$(38.2) \ qquad a_ {22} + a_ {33} = - (c_0 + c_1) / 2$

$(38.3) \ qquad a_ {02} = a_ {03} = 0; \ qquad a_ {12} = c_2 / 2; \ qquad a_ {13} = c_3 / 2$

7.5. Две поляризации гравитационной волны

Так что нам удалось подбором системы координат (вектор ) Обнулить все компоненты $h_ {ij}$ , Кроме следующих трех: . Причем . Есть тензор $h_ {ij}$ в плоской гравитационной волны имеет следующий вид:

$(39) \ qquad (h_ {ij}) = \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & h_ {22} & h_ {23} \ \ 0 & 0 & h_ {23} &-h_ {22} \ end {bmatrix}$

Компонента $h_ {23}$ не может быть обнулена, ибо в формуле (33.10) можно подбирать только константу $a_ {23}$ , Которая не способна уничтожить функциональную зависимость. То же касается компоненты , Которую можно найти как пивризницю формул (33.8) и (33.9):

$(40) \ qquad \ tilde h_ {22} = {h_ {22} - h_ {33} \ over 2} - a_ {22} + a_ {33}$

Следует тензора (39) равна нулю:

$(41) \ qquad h = g ^ {ij} h_ {ij} = g ^ {22} h_ {22} + g ^ {33} h_ {33} = - h_ {22} - (-h_ {22}) = 0$

а потому вариация метрического тензора совпадает с тензором $h_ {ij}$ :

$(42) \ qquad \ delta g_ {ij} = h_ {ij} - {h \ over 2} g_ {ij} = h_ {ij}$

а сам метрический тензор равен:

$(43) \ qquad (g_ {ij}) = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & -1 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & -1 + h_ {22} & h_ { 23} \ \ 0 & 0 & h_ {23} & -1 - h_ {22} \ end {bmatrix}$

Если компонента колеблется, то по формуле (43) пространство поочередно, в одной фазе колебаний, сжимается по оси и растягивается по оси , А затем, в другой фазе колебаний, растягивается по оси и сжимается по оси . Это одна поляризация гравитационной волны.

Компонента $h_ {23}$ описывает аналогичные колебания, но вдоль диагональных осей, возвращены на 45 ? - это вторая поляризация гравитационной волны.

7.6. Искривление пространства в гравитационном волны

Вычислим тензор внутренней кривизны ( тензор Римана) через вариацию метрики (43). Имеем формулы:

$(44) \ qquad \ delta R ^ s_ {\; ijk} = \ nabla_j \ delta \ Gamma ^ s_ {ki} - \ nabla_k \ delta \ Gamma ^ s_ {ji}$

$(45) \ qquad \ delta \ Gamma ^ s_ {ij} = {1 \ over 2} g ^ {sk} \ left (\ nabla_i \ delta g_ {kj} + \ nabla_j \ delta g_ {ik} - \ nabla_k \ delta g_ {ij} \ right)$

тогда

$(46) \ qquad \ delta R ^ s_ {\; ijk} = {1 \ over 2} g ^ {sp} \ left ([\ nabla_j \ nabla_k] \ delta g_ {pi} + \ nabla_j \ nabla_i \ delta g_ {kp} + \ nabla_k \ nabla_p \ delta g_ {ij} - \ nabla_j \ nabla_p \ delta g_ {ik} - \ nabla_k \ nabla_i \ delta g_ {jp} \ right)$

В плоском пространстве коммутатор $[\$ равна нулю, а вариация тензора кривизны равен самому тензора. Поэтому приближенно ковариантный тензор Римана равен:

$(47) \ qquad R_ {pijk} \ approx {1 \ over 2} \ left (\ nabla_j \ nabla_i \ delta g_ {kp} + \ nabla_k \ nabla_p \ delta g_ {ij} - \ nabla_j \ nabla_p \ delta g_ { ik} - \ nabla_k \ nabla_i \ delta g_ {jp} \ right)$

Какие компоненты этого тензора могут быть отличны от нуля? Во-первых, хотя бы два индекса должны быть числами {0, 1} чтобы не было обнуление всех других производных. Пусть это будут индексы (P, j) - Тогда третье слагаемое в скобках формулы (47) может быть отличным от нуля. Но ввиду матрицу (43), вариация в этом третьем слагаемом должна быть одной из следующих компонент: . Итак индексы должны равняться 2 или 3. Выпишем эти ненулевые компоненты тензора Римана: