Домашнее задание к семинару 3 октября

Домашнее задание к семинару 3 октября

Письменные сдаваемые домашние задания выполняются каждым студентом на белых листах формата А4. Листы подписываются: в правом верхнем углу указываются фамилия, имя и номер группы; ниже по центру – «Домашнее задание к семинару № ___» (указывается номер семинара). Если решение домашнего задания не умещается на одном листе А4, студент должен скрепить листы степлером или скрепкой.

Задача 1. Рассмотрим функцию . Найти и .

(Не забудьте проверить, что найденные Вами точки являются именно точками максимума и минимума, используя любое из известных Вам правил установления вида экстремума).

Задача 2. Рассмотрим функцию . Найти

(Не забудьте проверить, что найденная Вами точка является именно точкой максимума, используя любое из известных Вам правил установления вида экстремума).

Задача 3. Проводится 3 независимых случайных эксперимента, каждый из которых представляет собой серию испытаний Бернулли (подбрасывание неправильной монетки). Во всех трех случайных экспериментах параметр p (вероятность выпадения орла) был одинаковый.

·  В ходе первого случайного эксперимента монетка бросалась 10 раз, и выпало 4 орла (событие А)

·  Во втором случайном эксперименте монетки бросалась 8 раз, и выпало 6 орлов (событие В)

·  В третьем случайном эксперименте монетка бросалась 20 раз, и выпало 8 орлов (событие С).

При каком значении параметра p наступление всех трех указанных событий наиболее правдоподобно? Найдите оценку максимального правдоподобия параметра p.

Задача 4. Чему равно среднее число очков, выпадающих при бросании одной игральной кости?

Задача 5. Чему равно среднее число очков, выпадающих при бросании двух игральных костей?

Задача 6. Рассмотрим случайную величину X – число посетителей небольшого магазина на окраине города в течение получаса. Ряд распределение этой с. в. приведен ниже:

x	1	2
p	0.8	0.2

·  Найдите среднее значение с. в.

Задача 7. Рассмотрим случайный эксперимент – подбрасывание кубика. С. в. Х – число выпавших очков на кубике. Случайный эксперимент проводится 6 раз. Было зафиксировано, что с. в. Х приняла значения 2, 3, 6, 2, 4, 1.

·  Найдите вероятность того, что в шести случайных экспериментах с. в. Х последовательно примет следующие значения: 2, 3, 6, 2, 4, 1. Иначе говоря: найдите значение функции правдоподобия указанной выше комбинации значений с. в. Х.

Задача 8. Проводится серия из 5 случайных экспериментов, каждый из которых представляет собой бросание монетки. В каждом из случайных экспериментов фиксируется выпадение «орла» (О) или «решки» (Р).

·  Сколькими способами в серии из 5 бросаний монетки может быть получено 3 орла и 2 решки?

·  Какова вероятность того, что в серии из 5 бросаний монетки наступит следующая комбинация элементарных исходов: ОРОРО?

·  Какова вероятность того, что в серии из 5 бросаний монетки выпадет одна из подобных комбинаций элементарных исходов, включающая в себя три «орла» и две «решки»?

Задача 9. В тесте содержится 5 вопросов. На каждый вопрос предложены 4 варианта ответа, из которых только один правильный. Для получения оценки «удовлетворительно» необходимо правильно ответить ровно на три вопроса. Студент не знает материал по предмету и отвечает совершенно наугад. Процесс решения студентом тестового задания можно рассматривать как случайный эксперимент, результатом которого является набор из пяти ответов (правильных и/или неправильных).

·  Сколько существует элементарных исходов этого случайного эксперимента, в которых студент даст ровно 3 верных ответа?

·  Какова вероятность наступления следующего элементарного исхода: + + – – + (где + означает верный ответ, а минус – неверный)?

·  Какова вероятность того, что студент получит оценку «удовлетворительно»?

Задача 10. В тесте содержится n вопросов. На каждый вопрос предложены вариантов ответа (0 < p < 1; – натуральное число), из которых только один правильный. Для получения оценки «удовлетворительно» необходимо правильно ответить ровно на k вопросов. Студент не знает материал по предмету и отвечает наугад. Процесс решения студентом тестового задания можно рассматривать как случайный эксперимент, результатом которого является набор из n ответов (правильных и/или неправильных).

·  Сколько существует элементарных исходов этого случайного эксперимента, в которых студент даст ровно k верных ответа?

·  Какова вероятность того, что студент получит оценку «удовлетворительно»?

Задача 11. Случайная величина X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 5, p = 0.5. Какие из перечисленных ниже значений может принимать с. в. X?

·  -2

·  -0.3

·  0

·  0.5

·  1

·  2

·  2.5

·  5

·  6

Задача 12. Компания, специализирующаяся на выпуске микроволновых печей, в год выпускает 40 тыс. штук продукции, из которых 32 тыс. (80%) соответствуют стандарту качества. Отдел контроля качества, не зная о таком соотношении нормальной и дефективной продукции, желает оценить долю нормальной продукции с помощью случайного выбора 10 микроволновых печей. Найдите вероятность того, что в случайной выборке получится ровно половина дефективных изделий.

Задача 13. По данным exit polls на выборах депутатов Государственной Думы ФС РФ 2007 г. в Московской области было 55 % женщин и 44 % сторонников партии «Единая Россия». Вероятность того, что случайно выбранный сторонник «Единой России» окажется женщиной, равнялась 0,59. Перед Вами в ходе exit poll’а оказалась женщина – какова вероятность того, что перед Вами сторонник «Единой России».

Задача 14. В Азии и Австралии 17 % федераций и 66 % республик. Среди монархий – 80 % унитарных государств. Каков процент республик среди унитарных государств?

Задача 15. Некоторый медицинский тест ставит верный диагноз в 90% случаев. Выявляемое этим медицинским тестом заболевание в некоторой социальной страте распространено среди 20% ее представителей. Если у человека из этой социальной страты медицинский тест показал наличие заболевания – какова вероятность того, что заболевание действительно есть?

Задача 16. Была опрошена группа из 1300 чел. Среди прочего респондентов просили ответить на вопросы А и В. Признак А1 – респондент согласен, что мужчины являются лучшими политическими лидерами, чем женщины; А2 – не согласен, что мужчины являются лучшими политическими лидерами, чем женщины; В1 – согласен, что высшее образование более значимо для юношей, чем для девушек; В2 – не согласен, что высшее образование более значимо для юношей, чем для девушек.

	В1	В2
А1	432	288
А2	348	232
			1300

Ниже приводятся две другие таблицы сопряженности, разведенные по значению признака С.

Признак С1

	В1	В2
А1	240	160
А2	60	40
			500

Признак С2

	В1	В2
А1	192	128
А2	288	192
			800

Вопросы:

·  Известно, что за наблюдаемой связью признаков А и В стоит признак С – при его фиксации теряется связь между А и В. Такой признак С в социальных науках принято именовать латентным признаком. Рассчитайте следующие величины: P(C1|A1), P(C1|B1), P(C2|A1), P(C2|B1).

·  Руководствуясь вычисленными величинами, предложите интерпретацию признака С. Что это может быть за признак?