Случайные события

Случайные события

1). Вероятность события А – 0,77, В – 0,95. Найти наименьшую возможную вероятность события АВ

Решение.

2). Вероятность события А – 0,74Ю В – 0,69, С – 0,72. Найти наименьшую возможную вероятность АВС.

Решение.

3). Независимо друг от друга m=10 человек садятся в поезд, содержащий n=16 вагонов. Найти вероятность Р того, что все они поедут в разных вагонах.

Решение. . Ответ:

4). В партии из s=21 деталей имеется n=3 стандартных. На удачу отобраны m=8 деталей. Найдите вероятность P того, что среди отобранных деталей ровно к=2 стандартных.

Решение.

5). Компания из n=13 человек рассаживается в ряд случайным образом. Найдите вероятность Р того, что между двумя определенными людьми окажутся ровно к=2 человек.

Решение.

6). В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны P1 = 11/50, P2=3/4, P3=69/100. Найдите вероятность Р того, что тока в цепи не будет.

Решение.

7). Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при к=4 выстрелах равна р=18/25. Найдите Р попаданий при одном выстреле.

Решение.

8). Многократно измеряют некоторую физическую величину. Вероятность того, что при считывании показаний прибора допущена ошибка, равна р=3/10. Найдите наименьшее число n измерений, которые необходимо произвести, чтобы с вероятностью Р>a=43/50 можно было ожидать, что хотя бы один результат измерений будет неверным.

Решение.

9). В группе учатся n=18 юношей и 10 девушек. Для дежурства случайным образом отобраны три студента. Найдите вероятность Р того, что все дежурные окажутся юношами.

Решение.

10). Имеется 29 экзаменационных билетов, на каждом из которых напечатано условие некоторой задачи. В n=15 билетах задачи по статистике, а в остальных m=14 билетах задачи по теории вероятностей. Трое студентов выбирают наудачу по одному билету. Найдите вероятность Р того, что хотя бы одному из них не достанется задачи по теории вероятностей.

Решение

11). В урну, содержащую n=20 шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найдите вероятность Р того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном количестве белых шаров в урне.

Решение.

12). В ящике содержатся n1=4 деталей, изготовленных на заводе №1, n2=1 деталей – на заводе №2 и n3=2 деталей – на заводе №3. Вероятности изготовления брака на заводах с номерами 1,2 и 3 соответственно равны p1=3/20, p2=41/50, p3­=47/100. Найдите вероятность Р того, что извлеченная наудачу деталь окажется качественной.

Решение.

13). Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике n=12 белых шаров, во втором – m=4 белых и n-m=8 черных шаров, в третьем – n=12 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найдите вероятность Р того, что шар вынут из второго ящика.

Решение.

14). В среднем из 100 клиентов банка n=45 обслуживаются первым операционистом и 55 – вторым операционистом. Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом составляет р1=49/50 и р2=16/25 соответственно для первого и второго служащих банка. Найдите вероятность Р полного обслуживания клиента первым операционистом.

Решение.

15). В ящике n=7 белых и m=3 черных шаров. Найдите вероятность Р того, что из двух вынутых наудачу шаров один белый, а другой черный. (вынутый шар в урну не возвращается).

Решение.

16). Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна р=47/50. Сделано n=7 выстрелов. Найдите вероятность Р того, что в цель попали менее трех раз.

Решение.

17). Отрезок длины 5 поделен на две части длины а=4 и b=1 соответственно, n=9 точек последовательно бросают случайным образом на этот отрезок. Найдите вероятность Р того, что не ровно m=3 из 9 точек попадут на отрезок длины 4.

Решение.

18). Вероятность попадания стрелком в цель равна р=1/17. Сделано n=170 выстрелов. Определите наивероятнейшее число М попаданий в цель.

Решение.

19). Вероятность выпуска бракованного изделия равна р=3/25. Найдите вероятность Р того, что среди n=106 выпущенных изделий ровно к=93 изделий без брака.

Решение.

20). Вероятность выпуска бракованного изделия равна р=23/50. Найдите вероятность Р того, что среди n=104 выпущенных изделий будет хотя бы одно, но не более s=47 бракованных изделий.

Решение.

Дискретные случайные величины

1). Независимые дискретные случайные величины X1, X­2,….X21 принимают только значения 1 и 4. Найти наиболее вероятное значение суммы S=X1+X2+…+X21, если Р(X1=4)=3/5.

Решение.

2) Независимые дискретные случайные величины X1, X­2,….X18 принимают только значения 2 и 4. Найти P(X1+X­2,….+X18=42), если P(X1=4)=0.1

Решение.

3). Независимые дискретные случайные величины Х, Y принимают только целые значения: Х от 1 до 13 с вероятностью 1/13, У от 1 до 20 с вероятностью 1/20. Найти вероятность Р(Х+У=26)

Решение.

4). Случайная величина Х принимает только целые значения 1,2,…29. При этом вероятности возможных значений Х пропорциональны значениям, Р(Х=к)=ск. Найти с и Р(X>3).

Решение.

5). Независимые случайные величины Х1,…Х4 принимают только целые значения от 0 до 6 с вероятностью 1/7. Найти Р(Х1+…+Х4=2)

Решение.

6). Независимые случайные величины Х, Y, Z принимают только целые значения: Х – от 0 до 7 с вероятностью 1/8, У – от 0 до 9 с вероятностью 1/10 и Z – от 0 до 11 с вероятностью 1/12. Найти P(X+Y+Z=5).

Решение.

7). Независимые случайные величины Х, У принимают только целые значения: Х от 1 до 15 с вероятностью 1\15, У – от 1 до 5 с вероятностью 1/5. Найти Р(X<Y)

Решение.

8). Независимые случайные величины Х, У принимают только целые значения. Х – от 1 до 13 с вероятностью 1/13, У от 1 до 16 с вероятностью 1/16. Найти Р(X+Y<6).

Решение.

9). Независимые случайные величины Х, У принимают только целые значения: Х – от -7 до 7 с вероятностью 1/15, У – от -6 до 6 с вероятностью 1/13. Найти Р(ХУ=0)

Решение.

10). Независимые случайные величины Х, У принимают только целые значения: Х – от -8 до 6 с вероятностью 1/15, У – от -5 до 9 с вероятностью 1/15. Найти Р(ХУ>0)

Решение.

11) Независимые случайные величины Х, У принимают только целые значения: Х – от -7 до 6 с вероятностью 1/14, У – от -6 до 9 с вероятностью 1/16. Найти Р(ХУ<0)

Решение.

12). Независимые случайные величины Х1,…Х9 принимают только целые значения от 0 до 3 с вероятностью ¼. Найти Р(Х1Х2…Х9=0)

Решение.

13). Независимые случайные величины X, Y,Z принимают только целые значения. Х – от 1 до 12 с вероятностью 1/12, У – от 1 до 8 с вероятностью 1/8, Z – от 1 до 6 с вероятностью 1/6. Найти вероятность того что X, Y, Z примут разные значения.

Решение.

14). Независимые случайные величины X, Y,Z принимают только целые значения. Х – от 1 до 10 с вероятностью 1/10, У – от 1 до 9 с вероятностью 1/9, Z – от 1 до 7 с вероятностью 1/7. Найти Р(X<Y<Z)

Решение.

15). Независимые случайные величины Х1,…Хn принимают только целые значения 1, 2,…7. с вероятностью 1/7. Найти вероятность того, что наибольшее из чисел Х1,…Хn будет равно 6.

Решение.

16). Независимые случайные величины Х1…Х40 принимают только положительные ли отрицательные значения. Найти вероятность того, что произведение Y=X1X2…X40>0, если Р(Х1>0)=98

Решение.

17). Распределение дискретной с. в. Х задано таблицей.

Найти m=M[X]и P(X<m).

Решение.

18). Дискретная с. в. Х принимает только целые значения 3,4,7,8,10 с вероятностью 1/5. Найти m=M[X] и P(X<m).

Решение.

19). Распределение дискретной с. в. Х задано таблицей.

Найти дисперсию D[X].

Решение.

20). Дискретные с. в. Х1, Х2…Х­9 распределены по одному закону заданному таблицей. Найти

Решение.

21). Независимые с. в. X1, X2,…X6 принимают значения -8,-7,….,11,12 с вероятностью 1/21. Найти M[X1X2,…X6].

Решение.

22. Распределение с. в Х задано таблицей.

Найти m=M[X], σ=σ[X] и P(|X-m|<σ)

Решение.

23). Дано: M[X]=8, M[Y]=6, Cov[X, Y]=7. Найти M[XY].

Решение.

24). Дано: D[X]=4, D[Y]=5, Cov[X, y]=3, M[X]=70, M[Y]=30. Найти M[X-Y] и D[X-Y].

Решение.

25). Для независимых с. в. Х1…Х6 известно, что M[Xi]=0, D[Xi]=2.9, i=1,..6. Найти D[X1…X6]

Решение.

26). Для независимых случайных величин Х1,Х2,Х3 известно, что М[X]=3, M[Y]=1, D[Xi]=1.1, i=1,2,3. Найти D[Х1Х2Х3].

Решение.

27). Для независимых с. в. Х У известно, что M[X]=3, M[Y]=1,D[X]=8, D[Y]=4. Найти D[XY].

Решение.

28). Независимые случайные величины Х1­,…,Х20 могут принимать только значения 0 и 1. При этом P(Xi=0)=0.8, i=1,…20. Найти M[(X1+…+X20­)2].

Решение.

29). Независимые дискретные с. в. Х и У могут принимать только значения 0 и 1. При этом Р(Х=0)=0,2, Р(У=0)=0,1 Найти М[(X+Y)2].

Решение.

30). Независимые дискретные с. в. Х и У могут принимать только значения 0 и 1. При этом Р(Х=0)=0,2, Р(У=0)=0,6 Найти М[(X-Y)2].

Решение.

31). Независимые случайные величины Х1,…Х4 могут принимать только значения 0 и 1. При этом P(Xi=0)=0.6, i=1,…4. Найти M[2x1-…x4]

Решение.

32). Независимые дискретные случайные величины Х и У могут принимать только значения 0 и 1. При этом Р(Х=0)=0,6, Р(У=0)=0,4. Найти M[2x+y]

Решение.

33). Независимые дискретные случайные величины Х и У могут принимать только значения 0 и 1. При этом Р(Х=0)=0,4, Р(У=0)=0,8. Найти M[4x-y]

Решение.

34). Вероятность выигрыша 3 рублей в одной партии равна 2/5. Вероятность проигрыша 2 рублей равна 3/5. Найти дисперсию капитала игрока после 6 партий.

Решение.

35). С. в. Х и У принимают только значения 0 и 1. Найти дисперсию D[X-Y], если Р(Х=1)=Р(У=1)=0,1, а коэффициент корреляции Х и У равен 0,2.

Решение.

36). Дано: M[X]=M[Y]=8, D[X]=D[Y]=80. Коэффициент корреляции Х и У равен 0,1. Найти M[(X+Y)2]

Решение.

37). Для случайной величины Х известно, что M[X]=5, M[|X|]=8, D[|X|]=70. Найти D[X].

Решение.

38). Производится 2560 независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываются 6 монет. Пусть Х – число испытаний, в которых выпало 3 герба. Найти M[X].

Решение.

39). Производится 13 независимых испытаний с вероятностью успеха 0,8 в каждом испытании. Пусть Х – число успехов в испытаниях с номерами 1,2,…,9; У – число успехов в испытаниях с номерами 5,6,…13. Найти дисперсию D[X+3Y]/

Решение.

40). Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываются 4 игральные кости. Пусть Х – число испытаний, в которых все выпавшие цифры оказались ≥4. Найти дисперсию D[X].

Решение.

41). В спортивной лотереи каждую неделю на 100 билетов разыгрывается 11 палаток и 11 рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найти среднее время реализации данного решения (ед времени – неделя)

Решение.

42). Тоже самое.

43). В серии независимых испытаний, которые проводятся с частотой одно испытание в ед времени, вероятность наступления события А в одном испытании равна 1/10. Пусть Т – время ожидания наступления события А 19 раз (за все время ожидания). Найти M[T] и D[T].

Решение.

44)Случайная составляющая выручки равна 5Х, где Х – биномиальная случайная величина с параметрами n=200 и p=1/2. Случайная составляющая затрат имеет вид 30У, где У – пуассоновская с. в. Найти дисперсию прибыли, считая что Х и У – независимы, а M[Y]=4

Решение.

45). Для пуассоновской с. в. Х отношение Р(Х-14)/Р(Х-13)=10. Найти M[X]

Решение.

46). С. в. Х1…Х100 распределены по биномиальному закону с параметрами n=3 и p=3/5. Найти M[X12+….X1002]

Решение.

47). С. в. Х1…Х14 распределены по геометрическому закону, M[X1]=…=M[X14]=2. Найти М[X12+…­­+X142].

Решение.

48). С. в. Х1…Х8 распределены по закону Пуассона, М[X1]=…M[X8]=10. Найти М[X12+…­­+X82].

Решение.

50). С. в. Х и У распределены по закону Пуассона. Найти дисперсию D[3X+5Y] если M[X]=M[Y]=100., а коэффициент корреляции Х и У равен 0,8

Решение.

52). Независимые с. в Х1…Х11 распределены по закону Пуассона. Найти M[(X1+…+X11)2] если M[X1]=…=M[X11]=1

Решение.

53). Независимые с. в Х1…Х6 распределены по геометрическому закону. Найти M[(X1+…+X6)2] если M[X1]=…=M[X6]=4

Решение.

Непрерывные случайные величины.

1). Случайная величина Х имеет функцию распределения F(x). С. в. Y=4X+9 имеет функцию распределения G(x). Выразить G(x) через F(x)/

Решение.

2). Случайная величина Х имеет непрерывную функцию распределения F(x). С. в. Y=8-9X имеет функцию распределения G(x). Выразить G(x) через F(x).

Решение.

3). Распределение с. в. Х задано плотностью вероятности f(x). Найти плотность вероятности с. в. Y=2X+7.

Решение.

4). С. в. Х равномерно распределена на отрезка [-9,6]. Найти P(1/х>4).

Решение.

5). С. в. Х равномерно распределена на отрезке [-9,10]. Найти Р(Х2>9)

Решение.

6). С. в. Х, У независимы и равномерно распределены на отрезках: Х – на [0,3], Y – [0,2]. Найти Р(X<Y).

Решение.

7). С. в. Х равномерно распределена на отрезке [-1,1]. Найти М[X5/13]

Решение.

8). С. в. Х равномерно распределена на отрезке [-1,1]. Найти D[X5/13]/

Решение.

9). С. в. Х равномерно распределена на отрезке [0,1]. Найти D[13X5/8].

Решение.

10). С. в. Х равномерно распределена на отрезке [1,9]. Найти D[24X+11]/

Решение.

11). С. в. Х, У независимы и равномерно распределены на отрезке [9,10]. Найти М[12(X-Y)2].

Решение.

12). С. в. Х равномерно распределена на отрезке [1,8]. Найти вероятность .

Решение.

13). С. в. X1, X2…X4 независимы и распределены по показательному закону. Найти если М(Х1)=….=М(Х4)=3

Решение.

14).С. в. Х распределена по показательному закону. Найти М[(X+9)2], если D[X]=64

Решение.

15). С. в. Х распределена по показательному закону. Найти lnP(X<9), если D[X]=100.

Решение.

16). С. в. Х распределена по показательному закону. Найти Р(18<X<36), если M[X]=9/ln2.

Решение.

17). Функция плотности вероятности с. в. Х имеет вид f(x)=0, x<10; C/x3, x>_10.

Найти С и Р(Х<11).

Решение.

18). Функция плотности вероятности с. в. Х имеет вид f(x)=0, x<12; C/x4, x>_12.

Найти С и М[Х].

Решение.

19). Для нормальной с. в. Х с М[X]=11 и D[X]=9 найти Р(X>8.3).

Решение.

20). Для нормальной с. в. Х с М[X]=28 и D[X]=64 найти Р(X<26.4).

Решение

21). Для нормальной с. в. Х с М[X]=7 и D[X]=4 найти Р(5.8<X<9.4).

Решение.

22). Независимые нормальные случайные величины Х1, Х2, …Х8 имеют одинаковые математические ожидания М[X1]=…=M[X8] = 70. Найти вероятность того, что из всех Xi только 3 величины будут больше 70.

Решение.

23). Для нормальной с. в. Х M[X]=2.1 и D[X]=9 найти P(|X|>1.2)

Решение.

24). Для нормальной случайной величины Х известно, что M[X]=24.3 и P(X<39)=0.98214. Найти D[X].

Решение.

25). Для нормальной случайной величины Х известно, что D[X]=49 и P(X<40)=0.81594. Найти m=М[X].

Решение.

26). Математическое ожидание и дисперсия независимых нормальных случайных величин Х, Y,Z, U равны 1. Найти P(X-Y+Z+U)<1.

Решение.

27). Для независимых нормальных случайных величин X, Y известны их мат. Ожидания и дисперсии: M[X]=15, M[Y]=19.9, D[X]=5, D[Y]=44. Найти Р(X<Y).

Решение.

28). Независимые нормальные случайные величины X1…X25 имею одинаковые параметры: M[Xi]=2, D[Xi]=σ2, i=1…25. Для S=X1+…+X25 найти P(|S-50|<13/2* σ).

Решение.