Устойчивость СУ

1. Устойчивость СУ.

Устойчивость по Ляпунову.

 

Нейтральное состояние

Неустойчивое состояние Устойчивое состояние

Устойчивым равновесным состоянием называется состояние, в которое возвращается объект после снятия внешней силы, выведшей его из этого состояния. Аналогично для движения САУ можно дать следующее определение: движение САУ называется устойчивым, если по истечению определенного времени система возвращается в это движение после снятия внешнего воздействия, выведшего данную САУ из данного движения.

Динамика процесса может быть представлена следующим уравнением

(1)

Анализ этого уравнения показал, что на устойчивость САУ влияет свободная составляющая.

Общее решение Частное решение

(2)

При САУ находится в устойчивом состоянии.

При САУ находится в неустойчивом состоянии.

В любом другом случае САУ находится на границе устойчивости.

Уравнение (2) перепишем в операторном виде:

(3)

Решения алгебраического уравнения определяют показатели экспоненты свободной составляющей. Корни могут иметь следующий вид:

1.  (действительный положительный корень).

При положительном

действительном корне система апериодически неустойчива.

t

2.  (отрицательный действительный корень)

 

Соответствует устойчивому апериодическому процессу.

t

3.  (комплексный корень с положительной действительной частью)

При комплексном корне с положительной действительной частью движение будет колебательное, неустойчивое.

t

4.  4. (комплексный корень с отрицательной действительной частью)

При таком корне движение колебательное, устойчивое.

t

5.

Система находится на границе устойчивости, движение имеет колебательный вид(граница колебательной устойчивости).

t

6.

Система находится на границе апериодической устойчивости.

t

Для того чтобы САУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы корни уравнения (3) были либо отрицательными, либо комплексными с отрицательной действительной частью. Уравнение (3) является характеристическим.

Передаточная функция:

Геометрическая интерпретация устойчивости.

P­4­, P­5, P6 – САУ устойчивая

P­7­, P­1, P2 – САУ на границе устойчивости.

P­3, P­4, P8– САУ неустойчивая

Мнимая ось определяет границу устойчивости. Левая полуплоскость - область устойчивости, правая полуплоскость - область неустойчивости.

Для того чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости комплексной плоскости.

Устойчивость САУ можно определить с помощью алгебраических и частотных критериев.

Критерий Гурвица.

САУ будет устойчива, если при a0>0 все определители матрицы Гурвица будут положительны.

Частные случаи критерия Гурвица.

n=1,2,3,4

1. n=1

При n=1 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.

2. n=2

1).

2).

3).

Необходимое и достаточное условие аналогично n=1.

3. n=3

1).

2).

3).

4).

При n=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов (а1, а2)было больше произведения крайних (а0, а3).

4. n=4

1).

2).

3).

4).

При n=4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при

Критерий Гурвица удобно использовать при n<5. При n>5 критерий Гурвица становится громоздким и применяют критерий Рауса.

Критерий Рауса.

САУ будет устойчивой, если будут положительны все элементы первого столбца матрицы Рауса.

Матрица:

Пример.

Характеристическое уравнение:

К частотным критериям относятся критерии: логарифмический, Михайлова, Найквиста.

Критерий Михайлова.

Характеристическое уравнение – это знаменатель передаточной функции.

Формулировка критерия Михайлова.

САУ, описываемая уравнениями первого порядка будет устойчивой, если при изменении частоты характеристическая кривая (годограф Михайлова) повернется против часовой стрелки на угол не обращаясь в нуль.

n=2 I n=1

Im

n=2

устойчивая

II

Re

на границе IV

уст-ти n=4

не устойчивая

n=3 III

Другая формулировка критерия Михайлова.

САУ будет устойчивой, когда годограф Михайлова последовательно обойдет n квадрантов, где n – порядок системы.

Следствие из критерия Михайлова.

САУ будет устойчивой, если корни действительной и мнимой части перемежевываются.

Im Re Im

Корни чередуются, значит САУ

устойчивая

Re

Im Im Re Корни совпадают, значит САУ

на границе устойчивости.

Re

Re

Im

Im Im Re Неустойчивая САУ.

Im Re

Re

Критерий Михайлова применяется для простых одноконтурных САУ.

Критерий Найквиста.

Имеется САУ:

 

1. Замкнутая система.

2. Разомкнутая система.

Разомкнутая система неустойчива и количество положительных корней характеристического уравнения разомкнутой системы равно m.

Im

-1 Re

При анализе устойчивой системы, при неустойчивой разомкнутой системе будем считать положительным направлением годографа – против часовой стрелки. Отрицательным направлением годографа – почасовой стрелке, или снизу вверх при пересечении действительной оси. Тогда критерий Найквиста звучит так: если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет m положительных корней характеристического уравнения, то система в замкнутом состоянии будет устойчива, если разность между количеством положительных переходов и количеством отрицательных переходов отрезка действительной оси будет равна m/2.

Im Im

Re

-1 Re

Im

Re

-1

Система находится на границе устойчивости, если годограф, соответствующий амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы хотя бы один раз пересечет точку (-1;0).

САУ будет устойчива, если годограф, соответствующей амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы охватывает точку (-1;0) m/2 раз.

m=0 Im   Re -1

m=2 Im   Re -1

m=3 Пполупереход означает, что АФХ либо начинается, либо заканчивается на действительном отрезке Im   -1 Re Отрицательных переходов нетсистема устойчивая

или Im Re -1

Пример.

Для критерия Михайлова составляем характеристическое уравнение

Im

 

Re

В качестве анализа рассматривается АФХ разомкнутой системы:

	Re	Im
0	-1	0
1	-1/2	-1/2
10	-1/101	-1/101
	-0	0

Im
Re

-1

Алгоритм применения критерия Михайлова.

1.  Получаем передаточную функцию системы.

2.  Получаем характеристическое уравнение системы.

3.  В характеристическом уравнении заменяем на и выделяем действительную и мнимую часть.

4.  Изменяем частоту от 0 до и строим в комплексной плоскости соответствующий годограф.

5.  Судим об устойчивости системы по критерию Михайлова.

Алгоритм использования критерия Найквиста.

WРС

1. Приводим систему к виду

2. Получаем передаточную функцию разомкнутой системы.

3. С помощью алгебраических критериев определяем количество (m) положительных корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

4. Строим амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы.

6.  По критерию Найквиста судим об устойчивости замкнутой системы по годографу АФХ разомкнутой системы и количеству положительных корней.

Логарифмический критерий устойчивости.

Логарифмический критерий устойчивости основан на критерии Найквиста.

1. Разомкнутая система устойчива.

САУ в замкнутом состоянии будет устойчива, если частота среза логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) меньше частоты, при которой фазо-частотная характеристика достигает значения .

2. Замкнутая система устойчива.

САУ в замкнутом состоянии будет устойчива, если ЛАЧХ разомкнутой системы остается положительной на всем интервале частот, при котором фазо-частотная характеристика принимает значение меньше .

Неустойчивая САУ:

, где

САУ на границе устойчивости:

Устойчивая САУ:

Сравнительный анализ критериев устойчивости.

1.  Алгебраический критерий Гурвица целесообразно применять при порядке системы .

2.  Алгебраический критерий Рауса применяется при порядке системы от 4 до 6.

3.  Критерий устойчивости Михайлова применяется при исследовании сложных многоконтурных систем, когда необходимо выяснить влияние измерения структуры системы и средств ее стабилизации на устойчивость.

4.  Критерий устойчивости Найквиста целесообразно применять тогда, когда система имеет одноконтурный вид, и если отдельные элементы системы заданы экспериментально.

5.  Логарифмический критерий устойчивости применяется тогда же, когда и критерий Найквиста, особенно при исследовании системы на большом интервале частот.