Методические указания к лабораторной работе № 2.6 по электромагнетизму «Изучение температурной зависимости сопротивления металла и полупроводника»

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Ивановский государственный энергетический университет
имени

Кафедра физики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 2.6 ПО ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМУ
«ИЗУЧЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛА И ПОЛУПРОВОДНИКА».

Иваново 2006

Составители: И. А. КРЫЛОВ,
Е. Я. ПОДТЯЖКИН,
Г. А. ШМЕЛЁВА.

КОСТЮК.

Лабораторная работа № 2.6 "ИЗУЧЕНИе тЕМПЕРАТУРНой ЗАВИСИМОСТи СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛА И ПОЛУПРОВОДНИКА" является частью лабораторного практикума по электромагнетизму кафедры физики ИГЭУ.

Методические указания предназначены для самостоятельного выполнения студентами лабораторной работы по электромагнетизму № 2.6 "ИЗУЧЕНИе тЕМПЕРАТУРНой ЗАВИСИМОСТи СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛА И ПОЛУПРОВОДНИКА". Обширный иллюстрированный теоретический материал позволяет использовать их в качестве существенного дополнения к основной учебной литературе по физике в энергетическом ВУЗе или даже в отдельных случаях в качестве самостоятельного методического пособия при изучении данной темы.

Указания утверждены цикловой комиссией ИФФ.

Рецензенты:

кафедра физики Ивановского государственного энергетического университета,
(кафедра Э и МС ИГЭУ).

Лабораторная работа № 2.6.

ИЗУЧЕНИе тЕМПЕРАТУРНой ЗАВИСИМОСТи СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛА И ПОЛУПРОВОДНИКА

СОДЕРЖАНИЕ

................................................................................................................

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ............................................................................. 4

2. ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ........................................ 4

3. Теоретическая часть..........................................................

3.1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ

3.1.1. Элементы классической теории электропроводности металлов............................................................................... 4

3.1.2. Элементы зонной квантовой теории твердых тел 8

3.1.3. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ............................................................................. 15

3.1.4. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ......................................................... 18

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ.............................................

4.1. ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ 24

4.2. ПОДГОТОВКА К РАБОТЕ НА УСТАНОВКЕ.............. 26

4.3. СНЯТИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ СОПРОТИВЛЕНИЙ МЕТАЛЛА И ПОЛУПРОВОДНИКА...................................... 27

4.4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.................................

4.4.1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ................... 29

4.4.2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ...................................... 29

4.4.3. НАХОЖДЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО КОЭФФИЦИЕНТА СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛА αT..................................... 31

4.4.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРИНЫ ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНЫ ΔЕ СОБСТВЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА......................... 31

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................... 32

6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................................................... 34

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение теоретических моделей, объясняющих зависимости сопротивлений металла и полупроводника от температуры. Проведение экспериментальной проверки моделей. Графическое представление полученных зависимостей. Определение параметров полупроводника (ширины запрещенной зоны полупроводника ΔЕ) и металла (температурного коэффициента сопротивления металла αТ).

2. ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

Стенд с масляным калориметром, температура в котором может регулироваться;
полупроводник,
металлический проводник,
ртутный термометр,
цифровой омметр,
блок питания нагревательной спирали на 12 В.

3. Теоретическая часть

3.1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ

3.1.1. Элементы классической теории электропроводности металлов

Американские физики Р. Толмен и Т. Стюарт в 1916 году экспериментально доказали, что носителями электрического тока в металлах являются свободные электроны. Наличие в металлах свободных электронов объясняется тем, что при образовании кристаллической решетки валентные электроны, слабее других связанные с ядрами атомов, покидают отдельные атомы. Эти

электроны обобществляются кристаллической решеткой металла и могут перемещаться по его объему практически свободно. Именно такие электроны являются носителями тока и называются электронами проводимости.

Если каждый атом покинет один электрон, то концентрация электронов проводимости n (число электронов в единице объема) будет равна количеству атомов в единице объема металла. В этом случае концентрация электронов проводимости n будет иметь значение порядка 1028¸1029 м-3.

Опираясь на представление о почти свободных электронах, немецкий физик П. Друде создал классическую теорию электропроводности металлов, которая впоследствии была развита голландским физиком Х. Лоренцом. В этой теории электроны проводимости ведут себя подобно молекулам идеального газа, хаотически движущимся внутри кристаллической решетки, в узлах которой находятся положительные ионы металла (рис. 1). В отличие от молекул газа электроны в основном сталкиваются не друг с другом, а с ионами решетки. Эти столкновения приводят к установлению теплового равновесия между “электронным газом” и решёткой. Между соударениями молекулы “электронного газа” движутся свободно, проходя в среднем расстояние álñ, называемое средней длиной свободного пробега.

При появлении в металлическом проводнике электрического поля на хаотическое тепловое движение электронов проводимости, происходящее со средней скоростью áVñ, накладывается их упорядоченное движение вдоль проводника со средней скоростью áuñ, т. е. возникает электрический ток.

Сравнительная оценка показала, что средняя скорость хаотического теплового движения электронов áVñ примерно в 108 раз больше средней скорости упорядоченного движения áuñ. Это означает, что электроны, быстро двигаясь хаотически, медленно смещаются по проводнику под действием электрического поля (рис. 2). Такое движение электронов подобно движению молекул газа, заключенного в трубу, между концами которой поддерживается небольшая разность давлений: молекулы газа, быстро двигаясь хаотически, медленно дрейфуют вдоль трубы. Поэтому скорость упорядоченного движения u называют еще скоростью дрейфа электронов проводимости.

Закон Ома. Рассматриваемый закон был экспериментально открыт для металлических проводников немецким физиком Г. Омом в 1826 году. Запишем этот закон в дифференциальной (локальной) форме:

(1)

где s - коэффициент пропорциональности между плотностью тока j и напряженностью поля в проводнике Е есть удельная электропроводность металла.

Удельная электрическая проводимость металла определяется его свойствами:

s =e n c,

(2)

где e - величина заряда электрона, n - концентрация электронов проводимости, c - подвижность электрона.

Подвижностью электрона c называют коэффициент пропорциональности между скоростью упорядоченного движения электрона и напряженностью поля в проводнике

.

(3)

Численно подвижность носителя тока (электрона) равна скорости его упорядоченного движения в электрическом поле с напряженностью, равной 1 В/м. В СИ подвижность носителей тока c измеряется в .

Учитывая связь удельной электропроводности s с удельным сопротивлением r проводника

,

(4)

можно сделать вывод о том, что величина r определяется концентрацией носителей тока и их подвижностью. Выясним, как меняется концентрация и подвижность носителей тока у металла и полупроводника с изменением температуры. При этом мы будем опираться на квантовую теорию твердого тела, т. к. классическая теория оказалась не способной правильно объяснить температурную зависимость сопротивления металлов.

Температурная зависимость сопротивления металлов. Опыт показывает, что в довольно широком температурном интервале удельное сопротивление r металлов с ростом температуры увеличивается по линейному закону:

.

(5)

где r0 – удельное сопротивление при t=0°С, r – удельное сопротивление при данной температуре t по шкале Цельсия, a – температурный коэффициент сопротивления.

График зависимости (5) представлен на рис. 3.

Для чистых металлов температурные коэффициенты сопротивления мало отличаются друг от друга и примерно равны . Температурный коэффициент сопротивления сплавов, как правило, существенно меньше, чем у чистых металлов. Вследствие малости коэффициента a удельное сопротивление r металлов сравнительно слабо зависит от температуры t. Поэтому на графике (рис. 3) зависимость (5) изображена прямой с относительно небольшим наклоном.

Из школьного курса физики известно, что от температурной зависимости для удельного сопротивления можно перейти к аналогичной температурной зависимости для сопротивления металлического проводника

.

(6)

где R0 – сопротивление проводника при t=0° С.

Из классической теории электропроводности следует, что с увеличением температуры удельное сопротивление металлов должно возрастать пропорционально . Этот вывод классической теории противоречит опытным фактам, согласно которым с увеличением температуры r возрастает пропорционально Т. Затруднений классической теории электропроводности металлов можно избежать лишь в квантовой теории твердого тела.

3.1.2. Элементы зонной квантовой теории твердых тел

Зонная квантовая теория позволяет объяснить с единой точки зрения механизм проводимости металлов, полупроводников и диэлектриков. Поскольку подробное рассмотрение квантовой теории в данной работе не входит в нашу задачу, мы сформулируем два ее положения, нужные нам, в виде постулатов.

Во-первых, энергия электрона в квантовых системах (атомах, молекулах, кристаллах и т. д.) может принимать не любые значения, а лишь дискретный ряд значений, которые называют разрешенными уровнями энергии. В качестве примера на рис. 4 изображена энергетическая диаграмма атома, имеющая шесть разрешенных уровней энергии электронов.

Во-вторых, электроны подчиняются принципу запрета Паули (В. Паули – швейцарский физик-теоретик): в любой квантовой системе, например в атоме или в кристалле, в данном квантовом состоянии может находиться не более одного электрона. Обычно одному энергетическому уровню соответствуют два различных квантовых состояния электрона с противоположно направленными собственными моментами импульсов. Собственный момент импульса элементарных частиц называют спином. Поэтому принцип запрета Паули формулируют еще и таким образом: в квантовой системе на каждом энергетическом уровне может находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами. Такое парное размещение электронов по уровням условно показано на рис. 4. Стрелками условно изображены направления спинов электронов.

При оценке распределения электронов по энергетическим уровням следует также учитывать, что система электронов стремится занять состояние с минимальной в данных условиях энергией. Поэтому заполнение электронами энергетических уровней начинается снизу: сначала заполняются уровни с наименьшими значениями энергии. В основном (невозбужденном) состоянии атома верхние разрешенные уровни остаются незаполненными (рис. 4). На эти уровни переходят электроны при сообщении им энергии, т. е. при возбуждении атома.

По мере сближения отдельных атомов между ними возникает взаимодействие, в результате которого их энергетические уровни несколько смещаются друг относительно друга и расщепляются, образуя энергетические зоны из близко расположенных уровней.

Рассмотрим подробнее возникновение этих зон в воображаемом процессе формирования кристалла из отдельных атомов при их сближении. Схема этого процесса изображена на рис. 5.

Пусть, например, кристалл образуется из N отдельных одинаковых атомов, условная энергетическая диаграмма каждого из которых изображена на рис. 5, в. При этом энергетические уровни 2, 3 и 4 принадлежат внешним (валентным) электронам атома. В основном состоянии атома уровни 2 и 3 заполнены электронами, а уровень 4 остается свободным. Уровень 1 принадлежит внутренним электронам, расположенным ближе к ядру атома.

При сближении атомов усиливается взаимодействие их электронных оболочек. При достижении расстояния r1 между атомами начинается расщепление уровней валентных электронов: каждый уровень расщепляется на N близко расположенных уровней (рис. 5,б).

Уровни внутренних электронов атомов начинают расщепляться при значительно меньших расстояниях между атомами (уровень 1 на рис. 5, б).

При дальнейшем сближении атомов расщепление энергетических уровней усиливается, происходит образование энергетических зон.

При малых расстояниях между атомами может произойти перекрытие зон, получающихся из двух соседних уровней (уровни 2 и 3 на рис. 5, б). Число уровней в такой слившейся зоне равно сумме чисел уровней, на которые расщепляются оба уровня атома.

При достижении определенного расстояния между атомами, соответствующего их равновесному расположению и равного d, формирование кристалла заканчивается.

На рис. 5, а изображена энергетическая диаграмма кристалла, имеющего равновесное расстояние между атомами, равное d.

На этой диаграмме видно, что в результате расщепления энергетического уровня 4 отдельного атома в кристалле образуется энергетическая зона 4, называемая разрешенной зоной.

В результате расщепления уровней 2 и 3 отдельного атома и перекрытия образовавшихся при этом зон, в кристалле появляется разрешенная зона 2-3. Эти зоны разделены промежутками, в которых разрешенных значений энергии электронов нет. Такие промежутки называются запрещенными зонами. Поскольку в данном кристалле уровень 1 в зону не расщепляется, постольку в дальнейшем он и подобные ему уровни нас интересовать не будут.

На энергетической диаграмме некоторого кристалла (рис. 6) изображены для простоты только две разрешенные зоны. Нижняя зона образовалась из уровня, на котором находились один или два валентных электрона в основном состоянии атома. Эту зону мы будем называть валентной. Верхняя зона образовалась из уровня, не занятого валентными электронами в основном состоянии атома. Эту зону мы будем называть свободной. Между этими зонами расположена запрещенная зона с шириной DЕ.

Ширина разрешенных и запрещенных зон не зависит от размеров кристалла. Ширина разрешенных зон имеет величину порядка нескольких электрон-вольт (1 эВ=1,6×10-19 Дж). Следовательно, густота расположения уровней в зоне зависит от размеров кристалла. В кристалле размером в 1 см3 содержится примерно 1022 атомов. При ширине разрешенной зоны в 1 эВ уровни в ней будут располагаться на расстоянии 10-22 эВ друг от друга. Это значение расстояния между энергетическими уровнями в зоне мы будем использовать в дальнейшем.

Заполнение валентной зоны электронами начинается снизу. В соответствии с принципом Паули на каждом уровне располагается не более двух электронов с противоположно направленными спинами. При температуре Т=0 К энергия кристалла имеет минимальное значение. В зависимости от степени заполнения валентной зоны при Т=0 К и от ширины DЕ запрещенной зоны всю совокупность кристаллов можно разбить на следующие три основные группы.

1. Валентная зона при Т=0 К заполнена электронами не полностью.

Например, заполнение валентной зоны наполовину происходит, если на последнем занятом уровне в основном состоянии атома находится только один электрон (рис. 4 и 7, а). Частичное заполнение этой зоны происходит и в случае перекрытия зон, образовавшихся из занятого и свободного уровней атома (рис. 7, б).

Численные оценки показывают, что при помещении кристалла во внешнее электрическое поле оно передает электронам, находящимся в валентной зоне, дополнительную энергию порядка 10-20 эВ. Этой энергии оказывается достаточно для перевода электронов на более высокие свободные уровни. Такие переходы эквивалентны приобретению ими скорости упорядоченного движения против электрического поля, т. е. возникновению электрического тока. Кристалл с подобной энергетической диаграммой представляет собой металл, а валентная зона на ней называется зоной проводимости.

2. Валентная зона при Т=0 К заполнена полностью, а ширина запрещенной зоны DЕ не превышает 2-3 эВ (рис. 8, а).

В этом случае для увеличения энергии электронов их надо перевести из заполненной валентной зоны на незанятые уровни свободной зоны. Это можно сделать, лишь сообщив им энергию, не меньшую, чем ширина DЕ запрещенной зоны. Электрическое поле не в состоянии сообщить электронам такую энергию. Поэтому при Т=0 К перевода электронов через запрещенную зону нет и полупроводник ведет себя как изолятор (рис. 8, а).

При температуре больше нуля энергии теплового движения оказывается достаточно для того, чтобы перевести часть электронов из валентной зоны в свободную. Электроны, переведенные в свободную зону и частично ее заполняющую, будут находиться в условиях, аналогичных тем, в которых находятся электроны валентной зоны в металле (рис. 8, б). Поэтому свободная зона становится зоной проводимости. Вследствие ухода некоторого количества электронов из валентной зоны в ней освобождается такое же количество мест на верхних уровнях (рис. 8, б). В результате в валентной зоне появляется возможность перехода электронов с нижних уровней на освободившиеся места верхних уровней.

Количественные оценки, однако, показывают, что число электронов, переведенных в свободную зону при комнатной температуре сравнительно невелико. Следовательно, невелики будут концентрация носителей тока n в кристалле и его электропроводность s~n. Из-за сравнительно невысокой электропроводности такие кристаллы называют полупроводниками.

3. Валентная зона при Т=0 К заполнена полностью, а ширина запрещенной зоны DЕ больше 3 эВ (рис. 9).

При такой широкой запрещенной зоне тепловое движение уже не способно перевести заметное число электронов из валентной в свободную зону (рис. 9). Поэтому подобные кристаллы относят к диэлектрикам.

Следует отметить, что разделение кристаллов на полупроводники и диэлектрики носит в известном смысле условный характер. Четкая граница между ними отсутствует.

3.1.3. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ

Рассмотрим распределение электронов по уровням валентной зоны (зоны проводимости) в металле.

При температуре Т=0 К в соответствии с принципом Паули электроны заполняют попарно нижние уровни этой зоны, а остальные уровни будут свободны. На рис. 10, б изображена зона проводимости, имеющая N уровней, половина из которых заполнена электронами. Так, например, бывает, когда на последнем занятом уровне в основном состоянии атома металла находится только один электрон.

Рис. 10. Распределение электронов по уровням зоны проводимости в металле при Т=0 К:

а - график функции распределения W(E) Ферми-Дирака;

б - энергетическая диаграмма

Функция распределения электронов по разрешенным энергетическим уровням, учитывающая принцип Паули, была получена итальянским физиком Э. Ферми и независимо от него английским физиком П. Дираком. Она называется функцией распределения Ферми-Дирака и имеет вид:

,

(7)

где W - среднее по времени число электронов на энергетическом уровне; Ε - энергия уровня; F - энергия уровня Ферми; Т - температура кристалла; k - постоянная Больцмана.

Уровнем Ферми называется последний занятый электронами уровень на энергетической диаграмме (рис. 10, б). Он соответствует максимальной энергии F, которой может обладать электрон в металле при Т=0 К. Энергию F называют энергией Ферми. Численное значение F для металлов составляет несколько электрон-вольт. Например, для меди, широко используемой для изготовления проводников, энергия Ферми F=7,1 эВ.

Из функции Ферми-Дирака (7) следует, что при температуре Т=0 К для значений энергии электронов Е, меньших энергии Ферми F (E<F), число электронов на каждом энергетическом уровне W=2, а для значений энергии, больших энергии Ферми (E>F), число электронов на уровне равно W=0. График функции W(E) Ферми-Дирака при Т=0 К приведен на рис. 10, а. Для большей наглядности он совмещен с энергетической диаграммой.

С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни.

Такие переходы изменяют распределение электронов по уровням, установившееся при Т=0 К. Для того чтобы понять характер этого изменения, сравним энергию, которую получает электрон при повышении Т, с величиной энергии Ферми F.

Средняя энергия, передаваемая электрону при нагревании, имеет порядок величины, равный kT. При температуре Т= 1000 К величина kT равна 0,086 эВ. Для металлов энергия Ферми F составляет в среднем 5 эВ.

Следовательно, для металлических проводников выполняется неравенство

kT«F

в широком диапазоне температур, используемых в технике.

Это неравенство показывает, что тепловому возбуждению могут подвергаться лишь электроны, расположенные на энергетических уровнях в сравнительно узкой полосе шириной kT, примыкающей к уровню Ферми (рис. 11, б).

В результате теплового возбуждения часть электронов с энергией, меньшей энергии Ферми (E<F), переходит на уровни с энергией, большей энергии Ферми (E>F), и устанавливается новое распределение электронов по энергетическим уровням. График такого распределения, построенного по формуле Ферми-Дирака (7) показан на рис. 11, а.

Рис. 11. Распределение электронов по уровням зоны проводимости в металле при Т>0 К:

а - график функции распределения W(E) Ферми-Дирака;

б - энергетическая диаграмма.

Для наглядности график совмещен с энергетической диаграммой. Ордината W на графике W(E) характеризует среднюю по времени занятость уровня, имеющего соответствующую энергию Е. Например, ордината W=½ означает, что этот уровень только половину времени занят одним электроном или ¼ часть времени – двумя электронами, а остальное время пустует. Чем выше температура, тем шире полоса kT, тем более полого пойдет участок графика W(E) в пределах этой полосы (рис. 11, а).

Расчет показывает, что распределение электронов по энергетическим уровням в металлических проводниках при температурах, используемых в технике, мало отличается от распределения при Т=0 К (рис. 12).

Рис. 12. Распределение электронов по уровням зоны проводимости в меди (F=7,1эВ) при Т=1000 К.

Из вышесказанного следует, что концентрация электронов проводимости в металлах и средняя скорость их теплового движения практически от температуры не зависят. Следовательно, в формуле (2) для удельной электропроводности металла s=enc от температуры зависит лишь подвижность χ электронов.

В квантовой теории показывается, что величина подвижности χ электронов проводимости в металле ограничивается их рассеянием на тепловых колебаниях ионов кристаллической решетки. С увеличением температуры Т металла эти колебания усиливаются, что приводит к увеличению рассеяния электронов и к уменьшению их подвижности χ. Детальные расчеты приводят к выводу о том, что подвижность χ уменьшается обратно пропорционально температуре Т: χ ~ 1/T.

Следовательно, удельное сопротивление ρ металла будет линейно зависеть от температуры:

r ~ 1/s ~ 1/ (enc) ~ T.

В сравнительно широком интервале температур это хорошо подтверждается экспериментальной зависимостью (5).

3.1.4. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Полупроводниками являются вещества, у которых при Т=0 К валентная зона заполнена электронами полностью, а ширина запрещенной зоны не превышает 2¸3 эВ (обычно не более 1 эВ) (рис. 8, а). Название "полупроводники" обусловлено тем, что по величине электропроводности эти вещества занимают промежуточное положение между металлами и диэлектриками. Однако характерной особенностью полупроводников является то, что их электрическое сопротивление падает с увеличением температуры, а не растет, как у металлов (6).

Различают собственные и примесные полупроводники. К собственным относится ряд чистых химических элементов (германий Ge, кремний Si, селен Se и др.), а также химические соединения (арсенид галлия GaAs, антимонид индия InSb, карбид кремния SiC и др.). Содержание примесей в них не превышает 10-7 %. К примесным относят полупроводники с искусственно введенными примесями, которые и определяют их электрические свойства. Поэтому различают собственную и примесную проводимости полупроводников. Рассмотрим собственную проводимость полупроводников.

Как уже говорилось выше, собственный полупроводник при Т=0 К представляет собой изолятор (рис. 8, а). При температуре выше абсолютного нуля в результате теплового возбуждения часть электронов верхних уровней валентной зоны переходит на нижние уровни зоны проводимости (рис. 8, б). Электроны, частично заполняющие зону проводимости, будут находиться в условиях, аналогичных тем, в которых находятся электроны, частично заполняющие валентную зону (зону проводимости) в металле (рис. 11). Если в таком полупроводнике создать электрическое поле, то энергии, сообщаемой этим полем электронам, окажется достаточно для того, чтобы переводить электроны, расположенные у дна зоны проводимости, на более высокие свободные энергетические уровни. Эти переходы будут эквивалентны приобретению электронами скорости упорядоченного движения против электрического поля в кристалле полупроводника, т. е. возникновению электрического тока. Проводимость, обусловленная электронами, появившимися в зоне проводимости полупроводника, называют электронной.

Но электроны, переброшенные в зону проводимости из валентной зоны, освобождают в последней такое же количество мест на верхних энергетических уровнях. В результате у потолка валентной зоны появляются энергетические уровни, занятые электронами лишь частично (рис. 8, б). Появление частично занятых уровней позволяет электронам в валентной зоне под действием внешнего электрического поля в полупроводнике переходить с нижележащих уровней на вакантные места верхних уровней, что эквивалентно приобретению ими скорости упорядоченного движения против поля. Эти переходы носят характер эстафеты: электрон переходит с нижнего уровня на свободное место верхнего уровня, на освободившееся место на нижнем уровне переходит электрон с еще более низкого уровня и т. д. На рис. 13, а показана схема такого перемещения, вызванного переброской только одного электрона из валентной зоны в зону проводимости.

Описание движения электронов, находящихся в валентной зоне, является весьма сложным. Для того чтобы избежать трудностей, возникающих при этом описании было введено понятие квазичастицы, получившей название дырки. Заряд дырки положителен и по величине равен абсолютному заряду электрона e, а в электрическом поле она движется в направлении, противоположном движению электрона. Таким образом, в валентной зоне перемещение электронов заменяется перемещением положительно заряженных дырок в противоположном направлении (рис. 13, б).

Валентную зону с небольшим числом вакантных мест у потолка зоны можно представить как пустую зону с соответствующим числом дырок в месте расположения вакансий (рис. 13, в). Следует подчеркнуть, что понятие дырки введено только для удобства описания движения всей многоэлектронной системы в полупроводнике. Проводимость, обусловленная дырками, появившимися в валентной зоне, называется дырочной.

При отсутствии в полупроводнике внешнего электрического поля электроны проводимости и дырки движутся хаотически. При появлении в полупроводниковом кристалле внешнего поля на хаотическое движение электронов и дырок накладывается их упорядоченное движение. При этом электроны движутся против поля, а дырки – в направлении поля. Следовательно, собственная электропроводность полупроводника обусловлена носителями тока двух типов: отрицательными электронами и положительными дырками.

Как зависит концентрация электронов n, расположенных в зоне проводимости полупроводника, от температуры? Воспользуемся функцией распределения электронов Ферми-Дирака (7):

,

(8)

В квантовой теории доказывается, что уровень Ферми F в собственном полупроводнике лежит посередине запрещенной зоны шириной DE. Электроны зоны проводимости, имеющие энергию Е, располагаются на "хвосте" кривой распределения Ферми-Дирака (рис. 14).

Для этих электронов выполняется приближенное равенство

,

(9)

С учетом (9) выражение (8) принимает вид

,

(10)

На величину W0 в формуле (10) следует смотреть как на среднее число электронов, расположенных на энергетических уровнях зоны проводимости.

Численные оценки показывают, что даже при достаточно высокой для полупроводников температуре Т=400 K величина энергии теплового движения остается сравнительно небольшой: kT=0,0345 эВ. Следовательно, для собственного полупроводника с шириной запрещенной зоны DE » 1 эВ в широком интервале температур будет выполняться неравенство

.

Тогда выражение (10) можно упростить:

.

(11)

Так как концентрация электронов n, находящихся в зоне проводимости, пропорциональна среднему числу электронов W0 на уровнях в этой зоне, то на основании (11) можно записать следующее выражение для зависимости концентрации n от температуры Т:

,

(12)

где n0=const.

Как уже указывалось ранее, носителями тока в полупроводнике являются электроны и дырки (рис. 13, в). Концентрация дырок, появившихся в валентной зоне, равна концентрации электронов n, перешедших в зону проводимости из валентной зоны. С учетом этого формула (2), записанная для удельной электропроводности s собственного полупроводника, примет следующий вид:

,

(13)

где cэ – подвижность электронов, cд – подвижность дырок.

В формуле (13) с ростом температуры Т концентрация носителей тока n резко возрастает по закону, близкому к показательному (12), а подвижность электронов cэ и дырок cд слабо уменьшается, так же как подвижность электронов в металле. Поэтому для упрощения выражения (13) слабой температурной зависимостью подвижностей cэ и cд можно пренебречь и считать сумму cэ+cд величиной неизменной. Тогда с учетом (12) формулу (13) можно записать следующим образом:

,

(14)

где .

Учитывая, что удельное сопротивление полупроводника , на основании (14) получаем формулу для зависимости r от температуры Т:

(15)

где r0=const.

Электрическое сопротивление R полупроводникового образца зависит от его геометрических размеров и удельного сопротивления полупроводника r. Геометрические размеры мало зависят от температуры, поэтому зависимость R(Т) определяется формулой (15).

,

(16)

где R0=const.

График этой зависимости изображен на рис. 15, а.

Прологарифмировав выражение (16), можно получить более удобную для расчетов линейную зависимость логарифма сопротивления полупроводника ln R от величины, обратной температуре :

.

(17)

График этой зависимости представлен на рис. 15, б. Линейная функция (17) позволяет относительно просто определить ширину запрещенной зоны DE собственного полупроводника по тангенсу угла наклона a графика экспериментальной зависимости lnR от 1/T (рис. 15, б):

,

откуда

.

(18)

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

4.1. ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Принципиальная схема экспериментальной установки изображена на рис. 16, а монтажная схема на рис. 17. Нумерация элементов установки на обеих схемах одинаковая.

Рис.16
Принципиальная схема экспериментальной установки.

Экспериментальная установка содержит стеклянный калориметр 1 с подставкой 2, заполненный трансформаторным маслом 3.

В калориметре имеется нагревательная спираль 4, подключенная с помощью провода 5 и вилки 7 к гнёздам "12 В" блока питания нагревательной спирали БПНС 8. На задней части подставки 2 калориметра находится выключатель 6, позволяющий замыкать и размыкать цепь питания нагревательной спирали. Блок БПНС с помощью провода 9 и вилки 10 подключается к гнёздам 220 В на щитке питания лабораторного стола.

Температура масла в калориметре измеряется ртутным термометром 11.

В калориметре находятся металлический проводник 12 сопротивлением Rм и полупроводник 13 сопротивлением Rп, температурные зависимости значений которых снимаются в экспериментальной части. Сопротивления Rм и Rп измеряются цифровым ампервольтомметром 14, установленным в режим омметра.

Рис.17
Монтажная схема экспериментальной установки (вид сверху).

Измерительный вход омметра с помощью разъёма или клемм 15 и провода 16 подключен к клеммам 17, находящимся на передней части подставки 2 калориметра. Эти клеммы соединены с находящимся между ними переключателем 18, который позволяет попеременно подключать к омметру 14 либо металлический проводник 12, либо полупроводник 13. Питание цифрового омметра 14 осуществляется с помощью провода 19 и вилки 20, которые подключаются к гнездам 220 В на щитке лабораторного стола.

4.2. ПОДГОТОВКА К РАБОТЕ НА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКЕ

1. Убедиться в том, что ртутный термометр 11 (рис. 16 и рис. 17) вставлен в соответствующее гнездо калориметра. Определить цену деления шкалы термометра.

2. Собрать цепь нагревательной спирали. Для этого:

а) вилку 7 на проводе 5 этой цепи вставить в гнезда 12 В БПНС 8;

б) убедиться в том, что выключатель 6 цепи нагревательной спирали находится в положении "Вкл.";

в) вилку 10 пока никуда не включать.

3. Собрать измерительную цепь. Для этого:

а) убедиться в том, что клеммы 17 на передней части подставки 2 калориметра подключены с помощью провода 16 к измерительному входу ампервольтомметра 14. Измерительный вход снабжен либо клеммами, либо штеккерным разъёмом (в зависимости от типа прибора);

б) в связи с различными типами ампервольтомметров, используемых в работе, их режимы измерений устанавливаются либо лаборантом, либо преподавателем;

в) на передней части подставки 2 калориметра переключатель 18 поставить в положение "Проводник";

в) вилку 20 на проводе 19 от ампервольтметра пока никуда не включать.

4. Подготовить бланк отчета по лабораторной работе. Он должен включать в себя:

а) номер и название работы;

б) цель работы;

в) перечень приборов и принадлежностей, используемых в работе;

г) принципиальную схему экспериментальной установки;

д) таблицы 1 и 2, рассчитанные на 12-20 значений, измеряемых сопротивлений металлического проводника Rм и полупроводника Rп;

е) два листа миллиметровки для построения графиков по таблицам 1 и 2: зависимостей Rм(t) и Rп(t) на одной координатной сетке и зависимости lnRп(1/Т);

ж) свободное место для расчета по графикам температурного коэффициента сопротивления металла αТ и ширины запрещенной зоны полупроводника ΔЕ.

Таблица 1. Температурная зависимость сопротивления металлического проводника Rм(t)

Наименование	t, °С	Rм, Ом

Таблица 2. Температурная зависимость сопротивления полупроводника Rп(t)

Наименование	t, °С	Rп, Ом	lnRп	1/Т, 1/К

4.3. СНЯТИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ СОПРОТИВЛЕНИЙ МЕТАЛЛА И ПОЛУПРОВОДНИКА

1. Пригласить лаборанта или преподавателя для проверки правильности сборки схемы экспериментальной установки, для установки режима работы цифрового ампервольтомметра 14, включения его и проверки правильности его работы в качестве омметра.

Лаборант или преподаватель сообщают также студентам максимальные значения температуры, до которой должно быть нагрето масло в калориметре (обычно 70°С), и шаг измерения температуры (обычно 5°С).

2. После указанных мероприятий с помощью омметра 14 и переключателя 18 попеременно измеряются значения Rм и Rп при комнатной температуре в калориметре. Температура в калориметре t измеряется ртутным термометром 11. Полученные значения t, Rм и Rп заносятся в таблицы 1 и 2. После измерений переключатель 18 возвращается в положение "Проводник".

3. Для нагревания масла в калориметре вилку 10 на проводе 9 от БПНС 8 вставляют в гнезда 220 В на щитке питания лабораторного стола.

4. При достижении нужной температуры t (шаг по температуре Δt задан) с помощью переключателя 18 и омметра 14 измеряются значения Rм и Rп. Новые значения t, Rм и Rп заносятся в таблицы 1 и 2.

5. Для удобства измерения значений Rм и Rп скорость нагревания масла в калориметре можно снижать, временно вынимая вилку 10 из гнезд 220 В перед намеченным значением температуры.

6. При достижении максимальной температуры, указанной лаборантом или преподавателем, эксперимент прекращается. Для этого из гнезд 220 В вынимаются вилки 10 и 20. Схема при этом не разбирается.

4.4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

4.4.1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Производятся вычисления и заполняются оставшиеся два столбца таблицы 2: столбец lnRп со значениями натурального логарифма сопротивления полупроводника Rп и столбец 1/Т со значениями величины, обратной абсолютной температуре Т масла в калориметре (Т=t+273).

4.4.2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

1. По вычисленным значениям, взятым из таблиц 1 и 2, на одном листе миллиметровки карандашом строятся графики зависимости:

1) сопротивления металлического проводника от температуры Rм(t) (рис. 18, кривая 1);

2) сопротивления полупроводника от температуры Rп(t) (рис. 18, кривая 2).

Для их лучшего сравнения оба графика строятся на одной координатной сетке (рис. 18).

2. По численным значениям, взятым из таблицы 2, на другом листе миллиметровки карандашом строится график зависимости натурального логарифма сопротивления полупроводника от величины, обратной абсолютной температуре lnRп(1/Т) (рис. 19).

3. При построении графиков следует разумно выбирать масштабы и начала отсчёта, чтобы измеренные точки располагались на всей площади выбранной координатной сетки (рис. 19). Масштабы должны быть удобными (рис. 18 и 19).

4. Оси графика должны иметь чёткие, равномерно расположенные деления. Рядом с делениями должны быть нанесены значения физической величины, соответствующие им. Эти значения можно ставить через одно деление (рис. 18 и 19).

5. На осях графика должны быть указаны физические величины и масштабы, в которых они отложены (рис. 18 и 19).

6. Экспериментальные точки должны изображаться в виде ясно различимых кружков (квадратиков, треугольников), которые могут быть сплошь закрашены (рис. 18). При построении кривой точки не должны пересекаться сплошной линией графика.

7. При проведении кривой нужно следить за тем, чтобы на каждом достаточно большом её участке экспериментальные точки располагались как выше, так и ниже кривой. Следует помнить, что на глаз можно точно провести через экспериментальные точки только прямую линию. Поэтому при построении графика следует стремиться к тому, чтобы ожидаемая зависимость имела вид прямой линии (кривая 2 на рис. 18 и прямая на рис. 19).

4.4.3. НАХОЖДЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО КОЭФФИЦИЕНТА СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛА αT

Температурный коэффициент сопротивления металла αТ находится с помощью формулы (6) и графика в виде прямой 1 на рис. 18. Так как значение сопротивления данного металлического проводника R0 при температуре t=0° С неизвестно, в настоящей работе αТ вычисляется по двум сопротивлениям проводника Rн и Rк, взятым из графика 1 на рис. 18:

,

(19)

где Rн и tн - значения сопротивления проводника в Омах и его температуры в градусах Цельсия, соответствующие начальной точке прямой 1 на рис. 18.

,

(20)

где Rк и tк - значения сопротивления проводника в Омах и его температуры в градусах Цельсия, соответствующие конечной точке прямой 1 на рис. 18.

Совместное решение (19) и (20) приводит к формуле для нахождения температурного коэффициента сопротивления металла αТ

.

(21)

Температурный коэффициент αТ в СИ измеряется в 1/К.

4.4.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРИНЫ ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНЫ ΔЕ СОБСТВЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА

Ширина запрещенной зоны ΔЕ полупроводника определяется с помощью формулы (18) и графика lnRп(1/Т) в виде прямой на рис. 19.

С помощью указанного графика находится tgα (рис. 15,б), входящий в формулу (18). Для этого на прямой lnRп(1/Т) (рис. 19) берутся значения (lnRп)нач и (1/Т)нач, соответствующие начальной (нижней) точке наклонной прямой, и значения (lnRп)кон и (1/Т)кон, соответствующие конечной (верхней) точке прямой. Эти значения подставляются в формулу

,

(22)

c помощью которой находятся искомые значение tgα.

После подстановки tgα, вычисленного по формуле (22), в формулу (18) определяется ширина запрещенной зоны

,

где k – постоянная Больцмана.

Ширина запрещенной зоны ΔE, полученная в Дж, должна быть выражена и в электрон-вольтах (1эВ=1,6·10-19 Дж).

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Запишите закон Ома в дифференциальной форме.

2. Как связаны удельная электропроводность проводника σ с зарядом e, подвижностью χ и счетной концентрацией n носителей тока (электронов) в проводнике?

3. Что называется подвижностью χ носителя тока (электрона)?

4. Как связано удельное сопротивление ρ проводника с его удельной электропроводностью σ?

5. Как связано электрическое сопротивление R проводника с удельным сопротивлением ρ материала проводника?

6. Как выглядит энергетическая диаграмма атома, имеющего пять электронов и шесть разрешенных энергетических уровней для них?

7. Как образуются энергетические зоны в кристалле из энергетических уровней атомов при их сближении в воображаемом процессе формирования кристалла?

8. Как выглядят на диаграмме энергетические зоны кристалла, образовавшиеся из свободного и занятого уровней валентных электронов отдельного атома?

9. Как выглядит энергетическая диаграмма металла при Т=0 К?

10. Как на энергетической диаграмме металла отображается приобретение электронами проводимости скорости упорядоченного движения против электрического поля, т. е. возникновение электрического тока?

11. Как выглядят энергетические диаграммы полупроводника:

а) при Т=0 К;

б) при Т>0 К?

12. С помощью графика функции W(E) Ферми-Дирака и энергетической диаграммы изобразите распределение электронов по уровням зоны проводимости в металле при Т=0 К.

13. С помощью графика функции W(E) Ферми-Дирака и энергетической диаграммы изобразите распределение электронов по уровням зоны проводимости в металле при Т>0 К (при температурах, используемых в технике).

14.Зависит ли концентрация n электронов проводимости в металле от температуры?

15. Как качественно зависит подвижность χ электронов проводимости в металле от температуры Т?

16. Как качественно зависит удельное сопротивление ρ металла и сопротивление металлического проводника Rм от температуры Т?

17. Подтверждает ли эксперимент линейную зависимость сопротивления Rм металлического проводника от температуры Т?

18. Что собой представляет второй тип носителей тока в собственном полупроводнике, называемый дыркой?

19. Покажите на энергетической диаграмме собственного полупроводника схему перемещения дырок в валентной зоне.

20. Какими носителями тока обусловлена собственная электропроводность полупроводника?

21. С помощью графика функции W(E) Ферми-Дирака и энергетической диаграммы изобразите распределение электронов по уровням валентной зоны и зоны проводимости в собственном полупроводнике при Т>0 К.

22. Запишите формулу, по которой меняется концентрация n электронов, находящихся в зоне проводимости, в зависимости от температуры?

23. Равна ли концентрация электронов nЭ в зоне проводимости концентрации дырок nД в валентной зоне?

24. Как связана удельная электропроводность σ с зарядом e, подвижностями χЭ и χД, концентрациями nЭ и nД носителей тока (электронов и дырок) в собственном полупроводнике?

25. Как зависит удельная электропроводность σ собственного полупроводника от температуры Т?

26. Как зависит удельное сопротивление ρ=1/σ полупроводника от температуры Т?

27. Как зависит электрическое сопротивление Rп полупроводника от температуры Т?

28. Как зависит натуральный логарифм сопротивления полупроводника lnRп от величины, обратной температуре 1/Т?

29. Подтверждает ли эксперимент теоретически полученную зависимость сопротивления полупроводника Rп от температуры Т?

6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Савельев общей физики, т.3.М.,Наука, 1987.

2. Иродов макросистем. Основные законы. М.-СПб., Физматлит, 2001.

3. , , Шипко , т.2. Иваново, изд. ИГЭУ, 1993.

4. Крылов основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации. Иваново, изд. ИГЭУ, 2004.

5. Дж. Блейкмор. Физика твердого тела. М., Мир, 1988.

6. , Новикова в квантовую физику. М., Наука, 1988.