Диаграммы квазихрупкого разрушения тел с иерархией структур при малоцикловом нагружении

УДК 539.3

ДИАГРАММЫ КВАЗИХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ ТЕЛ

С ИЕРАРХИЕЙСТРУКТУР ПРИ МАЛОЦИКЛОВОМ НАГРУЖЕНИИ

Институт гидродинамики им. СО РАН, 630090 Новосибирск, Россия

E-mail: *****@

Рассматривается распространение трещины скачками в казихрупких материалах с иерархией структур при малоцикловом нагружении. Предлагается использовать для анализа указанного процесса диаграммы квазихрупкого разрушения тел при циклическом нагружении. Эти диаграммы очень напоминают аналогичные диаграммы, построенные при однократном нагружении. При построении диаграмм используются необходимые и достаточные критерии разрушения по Нейберу – Новожилову, а конкретная реализация критериев выполнена на основе модификации модели Леонова – Панасюка – Дагдейла для трещин нормального отрыва, когда поперечник зон предразрушения совпадает с поперечниками зон пластичности.

Диаграмма на плоскости «внешняя нагрузка – длина трещины» при циклическом нагружении состоит из трех подобластей, в первой из которых длина исходной трещины не меняется (трещина устойчива), во второй длина исходной трещины увеличивается на длину зоны предразрушения при каждом скачке трещины (трещина подрастает, оставаясь устойчивой, а материал охрупчивается только в зоне предразрушения), в третьей длина исходной трещины увеличивается катастрофически (трещина неустойчива). Рассматривается пульсирующий режим нагружения, амплитуда которого постоянна, и эта амплитуда при однократном нагружении соответствует нагрузке между критическими нагрузками по необходимому и достаточному критериям. Во второй подобласти описан процесс накопления повреждений в зонах предразрушения при линейном и нелинейном суммировании повреждений.

Получено условие скачкообразного продвижения вершины трещины. Высказана гипотеза об останове трещины: трещина распространяется только по охрупченному материалу. Даны оценки критической длины трещины и критического числа циклов при малоцикловой усталости. Число циклов между скачками вершины трещины подсчитывается по уравнению Коффина, когда принимается во внимание накопление повреждений в материале зоны предразрушения. Обсуждается взаимодействие разрушения на разных структурных уровнях. В замкнутом виде получены критические параметры разрушения при малоцикловом нагружении.

В явном виде получены оценки безразмерной средней скорости продвижения вершины трещины за один цикл нагружения при скачкообразном подрастании трещины. Полученные соотношения для средней скорости можно рассматривать как структурные формулы для построения кривых Пэриса. Для кривых Пэриса проведен подробный анализ процесса продвижения вершины трещины. Рассмотрены два предельных случая и один промежуточный случай: предельные случаи соответствуют началу и завершению процесса продвижения вершины трещины, а промежуточный случай – установившейся стадии процесса.

Ключевые слова: хрупкое, квазихрупкое разрушения; материалы с иерархией структур; малоцикловая усталость; кривые Пэриса.

1. Введение

Одной из характерных особенностей микрорельефа изломов металлов и сплавов, согласно [1], являются усталостные бороздки, ориентированные перпендикулярно направлению распространения трещины. При усталостном разрушении металлов «принципиальным следует считать вопрос о нелинейности накопления повреждений …, которые могут быть реализованы на разных масштабных уровнях» [2, стр. 14]. При нелинейном деформировании материалов в зонах предразрушения имеют место процессы самоорганизация системы на мезоуровне [3].

Подходы механики сплошной среды, соответствующие макромасштабному уровню описания, позволяют установить эмпирические закономерности развития трещин, опираясь на богатый экспериментальный материал [1, 4]. Например, основная часть S-образной кривой диаграммы усталостного разрушения хорошо может быть представлена эмпирическими соотношениями Пэриса [4]. «Однако все попытки ввести единообразное описание кинетического процесса (роста трещины) до настоящего времени не дали положительного результата» ([5], стр. 21). «…особенно в случае малоцикловой усталости, линейное суммирование накопленных повреждений не отражает реального, нелинейного процесса накопления повреждений» ([5], стр. 37).

В работах [6, 7] для макроуровня предложена модель, описывающая продвижение вершины трещины скачками при малоцикловой усталости. Эта модель соответствует схеме Лейрда–Смита [8, 9] и описывает появление бороздок при усталости. Для материалов с иерархией структур [10] построены диаграммы квазихрупкого разрушения при однократном нагружении для каждого структурного уровня. Ниже предпринята попытка приспособить многомасштабные необходимые и достаточные критерии разрушения из [10] к получению оценок накопления повреждений в зонах предразрушений при циклическом нагружении для разных структурных уровней (подчеркнем, что ниже будет предложена более простая модель, чем в [6, 7]). Идея получения описания продвижения вершины трещины основана на преобразованиях диаграмм квазихрупкого разрушения материалов со структурой [10], когда при циклическом нагружении происходит охрупчивание материала. Из-за процесса охрупчивания материала в зоне предразрушения точки расположенные на кривой, соответствующей достаточному критерию квазихрупкого разрушения, стремятся к точкам, расположенным на кривой, соответствующей необходимому критерию хрупкого разрушения. Скорость процесса охрупчивания связана с процессом суммирования повреждений в материале зоны предразрушения при каждом цикле нагружения тела с трещиной. После скачкообразного продвижения вершины трещины по охрупченному материалу зоны предразрушения новая вершина трещины упирается в исходный материал, имеющий квазихрупкий тип разрушения. Трещина останавливается. Затем все повторяется.

2. Описание структуры материала

Данная работа является своеобразным продолжением работы [10], однако рассматривается циклическое нагружение тел с трещинами. В упомянутой работе используется подход Нейбера – Новожилова [11, 12] для материалов со структурой. Модификация модели Леонова – Панасюка – Дагдейла [13, 14], по сути дела, свелась к тому, что в отличие от классической модели у зоны предразрушения кроме длины появился поперечник. Появление лишнего параметра позволило оценить разрушение структуры зоны предразрушения, ближайшей к середине реальной трещины, привлекая информацию о параметрах стандартной диаграммы материала [10]. Для рассматриваемого случая циклического нагружения надо использовать сведения об изменениях диаграмм материала и петель гистерезиса материала зоны предразрушения при повторных нагружениях.

Автор попытался сохранить основные обозначения работы [10] для материалов с иерархией структур ( – характерный линейный размер -ой структуры, причем при , , для макроструктуры ). Классификация масштабных уровней процессов деформации по приведена в монографии [2, табл. 1.2 стр. 39]. В работе [10] построены необходимые и достаточные критерии при хрупком и квазихрупком разрушении, когда используются параметры классических диаграмм материалов для каждого структурного уровня (– напряжения, – относительное удлинение -ой структуры), а сами диаграммы материалов аппроксимируются двухзвенной ломаной, причем на упругом участке все модули упругости совпадают, т. е. при . Характерными параметрами этих аппроксимаций диаграмм являются параметры : «теоретическая» прочность или предел текучести гранулированного материала ; постоянные напряжения , действующие согласно модели Леонова – Панасюка – Дагдейла (); максимальное упругое удлинение и максимальное удлинение материала -ой структуры.

Пусть плоская трещина нормального отрыва распространяется прямолинейно в материале с иерархией структур. Кроме реальной внутренней прямолинейной трещины-разреза длиной введем в рассмотрение фиктивные трещины-разрезы длиной , каждая из зон предразрушения расположена на продолжении реальной трещины ( – длины фиктивных трещин и зон предразрушения -ой структуры).

В модели Леонова – Панасюка – Дагдейла [13, 14] поле нормальных напряжений на продолжении фиктивных трещин можно представить в виде суммы двух слагаемых (каждое начало декартовой системы координат согласовано с правой вершиной фиктивной трещины для -ой структуры)

, , , (1)

где – суммарные коэффициенты интенсивности напряжений (КИНы) в вершинах фиктивных трещин, – КИНы, порождаемые напряжениями , заданными на бесконечности, – КИНы, порождаемые постоянными напряжениями . Первое и второе слагаемые в соотношении (1) – сингулярная и гладкая части решения соответственно. В линейной механике разрушения (ЛМР), как правило, используются только сингулярные составляющие решения.

При описании зон предразрушения, возможно исследование трех классов решений [10, 15, 16]:

первый класс решений

, , (2)

второй класс решений

, , (3)

третий класс решений

, . (4)

Подход Нейбера – Новожилова [11, 12] позволяет использовать первый класс решений (2) для сред со структурой, поскольку бесконечные напряжения в вершине фиктивной трещины, см. (1) и (2), не допускаемые континуальными критериями прочности, не противоречат дискретным критериям, если сингулярная составляющая решения имеет интегрируемую особенность. Второй класс решений (3) для сред со структурой соответствует классической модели Леонова – Панасюка – Дагдейла [13, 14]. Далее изучаются задачи нелинейной механики разрушения для первого класса решений (2), когда кроме сингулярных составляющих решений принимаются во внимание и гладкие составляющие решений. Пока третий класс решений (4) не рассматривается.

Зоны предразрушения [10] занимают прямоугольники со сторонами , причем, если длины зон предразрушения определяется в процессе решения задачи о разрушении для первого класса решений (2), то поперечник зоны предразрушения для каждой -ой структуры надо определять из каких-то дополнительных соображений. Например, поперечник зоны предразрушения целесообразно отождествить с поперечником зоны пластичности для соответствующего уровня, как это было сделано для макроуровня в [6, 7]. Напомним [10], что взаимное расположение зон предразрушения напоминает русскую матрешку, когда имеется одна общая точка, эта общая точка – вершина реальной трещины.

3. Однократное нагружение

3.1. Многомасштабные дискретно-интегральные критерии разрушения

Предлагаются многомасштабные достаточные критерии разрушения [10] для -ой структуры, когда рассматриваются трещины нормального отрыва,

, (5)

, , . (6)

Здесь – нормальные напряжения на продолжении трещин; – прямоугольные системы координат, ориентированные относительно правых частей трещин (начало координат для каждой структуры совпадает с вершиной фиктивной трещины в модели Леонова – Панасюка – Дагдейла [13, 14]); – целые числа (); – длина интервала осреднения; – коэффициент поврежденности исходного материала на -ом интервале осреднения (); – раскрытие трещин; – критическое раскрытие трещин.

Для того чтобы воспользоваться достаточными дискретно-интегральными критериями (5), (6) надо иметь аналитические выражения нормальных напряжений на продолжении трещин и раскрытие трещин для первого класса решений (2). Далее в этом подпункте рассматривается квазихрупкое разрушение, когда зона предразрушения для макроуровня существенно меньше длины исходной трещины , т. е.

, . (7)

Принимая во внимание неравенства (7), равенства для сводятся к одному приближенному равенству с точностью до величин высшего порядка малости, когда безразмерные длины зон предразрушения имеют одинаковый порядок [10],

, . (8)

Воспользуемся простейшим представлением нормальных напряжений (1) на продолжении трещин , эти напряжения порождаются напряжениями ,

, , . (9)

Представление решения (9) – сконструированная аппроксимация решения (обсуждение использования более точных представлений поля напряжений приведено в [10]). Выражения для КИНов из соотношений (1), (9), порождаемых постоянными напряжениями , действующими согласно модифицированной модели Леонова – Панасюка – Дагдейла, имеют вид [17, 18]

, . (10)

Таким образом, выполнено построение поля нормальных напряжений на продолжении трещин в соотношении (9).

Для раскрытия фиктивной трещины в соотношении (6) используется простейшее представление [19, 20]

, , , (11)

когда опущены второстепенные слагаемые порядка в асимптотическом представлении решения (13), здесь – коэффициент Пуассона, – модуль сдвига, подчеркнем, что рассматривается плоское напряженное состояние на всех структурных уровнях. Поперечник зон предразрушения отождествим с поперечником зон пластичности [19, 20] , когда – предел текучести. Критическое раскрытие трещин , при котором разрушается ближайшее к центру трещины волокно зон предразрушения, подсчитывается по формуле

, , . (12)

Параметры максимальных неупругих удлинений в соотношении (12) заимствуем из простейших аппроксимаций диаграмм.

После преобразований в (5), (6) с учетом (9) – (12) получим аналитические выражения для критических напряжений и критических длин зон предразрушения для квазихрупких материалов (второстепенные слагаемые для квазихрупкого разрушения опущены [10])

, (13)

, . (14)

Здесь критические параметры и для достаточного критерия (5), (6) помечены звездочками сверху, – критические длины трещин. Выражения (13) и (14) имеют смысл, если

, . (15)

Неравенства (15) – ограничения, которые выполняются только для хрупких и квазихрупких материалов типа керамик и высокопрочных сплавов, они соответствуют существованию первого класса решений (2).

Критические напряжения по необходимому критерию при хрупком разрушении материала подсчитываются так (, )

, . (16)

Очевидно, что при для формулы (16) дают конечные величины , а при для этой формулы справедливо асимптотическое представление

. (17)

Эта асимптотическая оценка (17) соответствует ЛМР. Эти аналитические представления или структурные формулы (16) для критических напряжений зависят от трех параметров: от относительной длины трещины , интервала осреднения и поврежденности материала в вершине трещины для каждого структурного уровня (основным параметром является один параметр ). Аналитические представления или структурные формулы (13) для критических напряжений кроме указанных четырех параметров зависят от силового параметра и деформационного параметра (основными параметрами являются два параметра и ).

3.2. Диаграммы квазихрупкого разрушения материалов с разными максимальными удлинениями

Рассматриваются 5 разных материалов, структуры которых совпадают, но эти материалы имеют существенно различающиеся максимальные неупругие удлинения . Пусть структуры этих материалов не меняются в процессе деформирования. Из соотношений (13) вычисляются критические напряжения по заданным неупругим удлинениям материалов . Диаграммы разрушения для различных материалов с одинаковой структурой и разными максимальными неупругими удлинениями представлены на плоскости , на рис. 1а, 1б (на рис. 1а используются обычные координаты, а на рис. 1б кривые построены в двойных логарифмических координатах). Кривые 1, 2, 3, 4, 5 и 6 на этих рисунках соответствуют значениям параметров . При построении кривых 1, 2, 3, 4, 5 и 6 принято, что , т. е. в материале отсутствуют повреждения, а для кривых 2, 3, 4, 5 и 6 справедливо равенство , т. е. рассматриваемый материал является обычным упруго-пластическим материалом. Кривая 1 описывает разрушение хрупкого материала, кривые 2, 3, 4, 5, 6 описывают разрушение квазихрупких материалов, и – безразмерные критические длины трещин по необходимому и достаточному критериям при однократном нагружении. Пары кривых 1 – 2, 1 – 3, 1 – 4, 1 – 5, 1 – 6 на плоскости , суть диаграммы разрушения квазихрупких материалов. Наибольший интерес для исследования поведения материалов при разрушении представляют подобласти этой плоскости, расположенные между указанными парами кривых. В этих подобластях для материала в состоянии поставки выполнятся неравенства

. (18)

Когда в ограничениях (18) выполняются строгие неравенства, в рамках рассматриваемой модели реальная трещина подрастает на длину зон предразрушения, устойчивость системы сохраняется. При выполнении равенства в последнем ограничении (18) система переходит в критическое состояние при однократном нагружении, см кривую I на рис. 1. Предстоит описать этот переход от устойчивого состояния системы к неустойчивому состоянию при постепенном подрастании трещины, когда рассматривается циклическое нагружение, которое провоцирует охрупчивание материала.

На рис. 1 кроме обозначений для однократного нагружения введены обозначения для циклического нагружения: – безразмерная постоянная амплитуда нагрузки при циклическом нагружении, – безразмерная критическая длина трещины по достаточному критерию для заданной амплитуды нагрузки при циклическом нагружении. Рассмотрим более подробно нагружение упруго-пластических систем на плоскости , . Если для однократного нагружения «работает» кривая, соеди -

Рис. 1. Диаграммы квазихрупкого разрушения (для рис. 1а используются обычные координаты, для рис. 1б кривые построены в двойных логарифмических координатах).

няющая точки и на этой плоскости ( кривая I на рис. 1а, 1б), то для циклического нагружения «работает» горизонтальная прямая, соединяющая точки и на этой плоскости (прямая II на рис. 1 а, 1б). Кривая I и прямая II имеют общие точки. Очевидно, что при больших запасах пластического деформирования материала (например, когда или ) критические длины трещин по необходимому и достаточному критериям при усталости могут отличать на порядок. Таким образом, имеется большой запас потенциального роста трещины при усталости, так как разница между упомянутыми полудлинами может оказаться существенной. На рис. 1 изображены диаграммы квазихрупкого разрушения для однократного и циклического нагружений, см. ниже соотношения (19), (21), (23), (25). Для примера на рис. 1а и 1б выбраны материалы, характеризующиеся параметрами соответственно.

Рассмотрим правые вершины трещин. На рис. 2 приведены неупругие удлинения в зонах предразрушения разных материалов, указанных выше, эти неупругие удлинения совпадают с раскрытием трещин. Для получения единой кривой на плоскости использовались безразмерные координаты, см. соотношения (12), (14),

, .

Рис. 2. Неупругие удлинения в зонах предразрушения.

В выбранных координатах зоны предразрушения материалов с характеристиками занимают соответственно интервалы , где . Для левых границ интервалов (см. обозначения сверху горизонтальной оси на рис. 2) раскрытие фиктивных трещин совпадает с критическим раскрытием . Для хрупкого материала раскрытие отсутствует, так как отсутствуют неупругие удлинения при хрупком разрушении. Для упруго-пластических материалов длина зоны предразрушения и критическое раскрытие тем больше, чем больше параметр . В рамках предлагаемой модели в т. возникают затупления трещин из-за пластического деформирования материала в вершинах трещин. Поскольку ниже будет обсуждаться шаг усталостных бороздок, обратим внимание на то, что длины зон предразрушения существенно увеличиваются при возрастании параметра .

4. Циклическое нагружение

4.1. Накопление повреждений в материале зоны предразрушения

Масштабные уровни процессов усталостного разрушения металлов, приведенные в табл. 3.1 из [2, стр. 146], очень напоминают масштабных уровни процессов деформации по , см. [2, табл. 1.2 стр. 39]. По этой причине естественно воспользоваться диаграммами квазихрупкого разрушения материалов с иерархией структур из [10]. В этом подразделе рассматривается простейший случай, когда структурные уровни деформаций не взаимодействуют.

Пусть задано пульсирующее нагружение, для которого – максимальное значение напряжений (их амплитуда) в единичном цикле нагружения, – минимальное значение напряжений в цикле, – общее число циклов. Пусть уровень нагружения таков, что выполняются строгие неравенства в соотношениях (18) для подобласти диаграммы разрушения при циклическом нагружении

, (18*)

эта подобласть расположена между кривой I и кривыми на рис. 1а, б, т. е. рассматриваемый режим нагружения соответствует малоцикловой усталости. Рассматривается плоское напряженное состояние при постоянном уровне нагружения , далее . При малоцикловой усталости на каждом цикле нагружения в окрестности вершины реальной трещины формируется зона пластичности (зона предразрушения). За один цикл нагружения при заданном уровне нагружения вершина реальной трещины не может продвинуться, если длина исходной трещины удовлетворяет неравенствам , см. рис. 1а, 1б. Напомним, что – безразмерная критическая длина трещины по достаточному критерию для заданной амплитуды нагрузки при циклическом нагружении. На отрезке прямой II рис. 1а, 1б выполнены строгие неравенства (18*). После первого цикла нагружения образуется своеобразный композит: перед вершиной трещины в зоне предразрушения появляется материал с измененными свойствами, вне зоны предразрушения остается материал в состоянии поставки. В каждом цикле нагружения в зоне предразрушения накапливаются повреждения материала до очередного продвижения вершины трещины скачком, обозначим: – номер скачка. Имеет место охрупчивание материала [8, 9] в зоне предразрушения. Из-за суммирования (линейного или нелинейного) повреждений в материале зоны предразрушения происходит сужение зоны устойчивого роста модельной трещины, ср. диаграммы квазихрупкого разрушения, соответствующие парам кривых 1 – 6, 1 – 5, 1 – 4, 1 –3, 1 – 2 при уменьшении параметра на рис. 1а, б. Иначе, горизонтальный отрезок прямой II на рис. 1а, б укорачивается из-за охрупчивания. В зоне предразрушения квазихрупкий материал приближается по своим свойствам к хрупкому материалу. На каком-то -ом цикле до -го скачка вершины трещины система теряет устойчивость, так как уровень нагружения превосходит критическую нагрузки по достаточному критерию для материала с повреждениями, точнее разрушается охрупченный материал зоны предразрушения (– номер цикла до -го скачка трещины). Реализуется продвижение вершины трещины скачком, после которого новая вершина трещины останавливается, упираясь в исходный материал (гипотеза об останове трещины).

Исследуем изменения подобласти (18) диаграммы квазихрупкого разрушения для циклов нагружения между скачками трещины, когда принимается во внимание охрупчивание материала зоны предразрушения. Изменения в подобласти диаграммы квазихрупкого разрушения для циклического нагружения с учетом накопления повреждений описываются неравенствами

(19)

когда критическое число циклов нагружения подсчитывается так

. (20)

Здесь – критическая нагрузка, полученная по достаточному критерию квазихрупкого разрушения на -ом цикле нагружения до скачка, – номер цикла между и скачками, соответствует состоянию поставки материала после каждого скачка вершины трещины, соответствует состоянию поставки материала образца с исходной трещиной длиной , – критическое число скачков, – число (группа) циклов между и скачками для соответствующей структуры , – критическое число циклов нагружения. Таким образом, критическое (общее) число циклов нагружения разбивается на групп, в каждой из которых циклов ().

Первая строка соотношения (19) описывает накопление повреждений в зоне предразрушения. Во второй строке соотношения (19) выписано условие, при котором происходит скачок трещины, напомним, что – амплитуда напряжений в каждом цикле, а материал образца рассматривается как своеобразный композит. После скачков длина исходной трещины изменяется так, что система разрушается за один цикл . Исходный образец с трещиной длиной выдерживает циклов нагружения. Подчеркнем, что, как правило, , так как и . Ниже изучим накопление повреждений в зонах предразрушения на каждом цикле нагружения, принимая во внимание к какой из групп циклов рассматриваемый цикл принадлежит. В соотношении (19) используется только одно значение для критической нагрузки по необходимому критерию (16), это соответствует рассмотрению циклически стабильных материалов. Соотношения (19) описывают перестройку диаграмм квазихрупкого разрушения материалов при циклическом нагружении.

Остановимся на процессе продвижения вершины трещины скачками. В работах [6, 7] была высказана гипотеза об останове макротрещины раскалывания при стационарном нагружении , эта гипотеза была подтверждена экспериментально [21-24]. Исходная острая трещина длиной после -ого скачка распространяется только по охрупченному материалу зоны предразрушения, продвижение ее осуществляется скачком на после циклов из соответствующей группы циклов ( – длина зоны предразрушения перед вершиной реальной трещины длиной ). После останова перед новой вершиной реальной трещины расположен исходный материал, имеющий квазихрупкий тип разрушения. Длины реальных трещин после каждого скачка таковы

. (21)

При формулировке гипотезы использованы обозначения: – длина исходной (реальной) трещины при циклическом нагружении, – длина реальной трещины после -ого скачка (), – критическая длина реальной трещины при циклическом нагружении , – длинна зоны предразрушения для всех циклов из соответствующей группы циклов . Для трещины длиной при в ограничениях (19) выполняется строгое неравенство при первом цикле из соответствующей группы циклов. Только для трещины критической длины выполняется ограничение уже при первом цикле нагружения , см. вторую строку соотношения (19).

Кроме длин реальных трещин при циклическом нагружении надо рассматривать в рамках модифицированной модели Леонова – Панасюка – Дагдейла длины фиктивных трещин

. (22)

Соотношения (22) отличаются от соотношений (21) только индексами.

Рис. 3. Схема, иллюстрирующая продвижение вершины трещины скачками.

На рис. 3 представлена схема, иллюстрирующая продвижение вершины трещины скачками. Ради простоты рассматривает случай, когда число таких скачков пять, т. е. . После первых четырех скачков вершины трещины образец сохраняет целостность, а после пятого скачка вершины трещины образец разделяется на части. Группы циклов для на схеме отделены, хотя рассматриваемое пульсирующее нагружение не имело разрывы по времени. Вверху на схеме приведены полудлины реальных трещин как до, так и после скачка вершины трещины. Внизу приведены числа для каждого из скачков и указаны номера циклов между соответствующими скачками. На схеме рис. 3 последний цикл из каждой группы циклов () изображен пунктирной кривой, так как на этой ветви нагружения имеет место скачок вершины трещины. На схеме рис. 3 последний критический цикл для критического скачка изображен без ниспадающей ветви, так как на восходящей ветви нагружения этого цикла выполняется вторая строка ограничения (19), и образец разделяется на части.

Переходим к построению соотношений для описания диаграммы квазихрупкого разрушения (19), см. рис. 1а, б. Так как рассматривается циклически стабильный материал, то левая часть первого из соотношений (19) не меняется, критические напряжения по необходимому критерию разрушения отыскиваются из соотношения (16). Для правой части соотношения (19) аналитические выражения для критических напряжений по достаточному критерию разрушения приведены в (13), (14) для трещин разной длины после -ого скачка, но только для первого цикла нагружения после каждого скачка вершины трещины. После первого цикла нагружения в каждой группе из циклов формируется своеобразный композит в окрестности вершины трещины (): зону предразрушения перед вершиной реальной трещины занимает после разгрузки охрупченный материал, вне зоны предразрушения свойства исходного материала не меняются. При последующих циклах нагружения () продолжается охрупчивание материала зон предразрушения этого композита. После каждого скачка вершины трещины все повторяется.

Из соотношений (13), (14) по заданному уровню нагружения оцениваются критическая длина фиктивной трещины и критическая длина зоны предразрушения для последнего цикла нагружения

, (23)

, . (24)

Подчеркнем, что полученная оценка (23) не зависит от критического числа циклов нагружения . Как правило, критические длины трещин и соответственно при однократном и циклическом нагружениях различаются существенно, что отражают соответствующие точки на кривых диаграмм разрушения рис.1, иногда . Критическая длина зоны предразрушения (24) пропорциональна критической длине трещины, т. е. . Иначе, максимальное расстояние между усталостными бороздками наблюдается перед разделением образца на части.

Рассмотрим постепенное охрупчивание материала зоны предразрушения на каждом цикле нагружения за счет накапливания повреждений (19). На каждом цикле () для трещины длинной при заданном уровне нагружения отыскивается максимальные неупругие удлинения материала в рамках модифицированной модели Леонова – Панасюка – Дагдейла

, (25)

. (26)

Здесь – относительные неупругие удлинения материала зоны предразрушения в вершине реальной трещины длинной , см. (21). Выражения (25) и (26) имеют смысл, если

. (27)

По известным значениям и из соотношения (25) отыскиваются неупругие удлинения , а из соотношения (26) подсчитываются длины зон предразрушения, эти длины используются в соотношениях (21) при вычислении длин реальных трещин после каждого скачка. Очевидно, что для , по этой причине ограничение (27) всегда выполняется, если справедливо неравенство (15).

При малоцикловой усталости имеем , поэтому максимальная длина продвижения усталостной трещины при малоцикловой усталости получается из соотношения, см. (13), (16), (23),

. (28)

Оценка (28) продвижения усталостной трещины может оказаться полезной при освидетельствовании конструкций с трещинами, подрастание которых имеет скачкообразный характер: максимальная длина продвижения усталостной трещины тем больше, чем больше максимальное неупругое удлинение материала .

На рис. 4 приведены максимальные относительные длины продвижения усталостных макротрещин при малоцикловой усталости в зависимости от параметра . Кривые 1, 2, 3 этого рис.4 соответствуют материалам с «зубом» текучести или частичному разрушению материала за пределом упругости, классическому упруго-пластическому материалу , упруго-пластическому материалу , модулирующему некоторое упрочнение. Приведенные графики демонстрируют существенную зависимость максимальной длины усталостной трещины от диаграммы исходного материала на участке пластичности.

Рис.4. Относительные длины продвижения усталостных макротрещин.

Неупругие удлинения материала , возникающие на каждом цикле нагружения (), накапливаются в материале зоны предразрушения, что может привести к разрушению структуры в вершине реальной трещины. Оценим это накопление повреждений. [1, 24] и его последователи экспериментально установили зависимость между неупругой деформацией материала в цикле и числом циклов. При другом подходе для учета накопления повреждений в материале зоны предразрушения [25] вводится понятие «критическая величина диссипируемой работы», при которой материал разрушается. Соотношения первого [1, 24] и второго [25] подходов могут быть записаны единообразно. Число циклов между и скачками вершины трещины подсчитывается так

. (29)

Здесь – некоторые постоянные (постоянные Коффина), численные значения которых зависят от свойств материала со структурой [1, стр.76-77]. Соотношение (29) при линейном или нелинейном суммировании повреждений описывает процесс охрупчивания материала в вершинах реальных трещин. Эти постоянные подбираются по натурному эксперименту [1, 24].

Рис. 5. Уменьшение неупругого удлинения материала при малоцикловом нагружении.

На рис. 5 для разных постоянных Коффина приведены кривые, характеризующие уменьшение максимального неупругого удлинения материала, в зависимости от числа циклов. Кривые 1, 2, 3 соответствуют значениям параметров и , кривые 4, 5, 6 соответствуют значениям параметров и . Построенные кривые в двойных логарифмических координатах превращаются в прямые на плоскости , которые пересекаются в одной из точек и соответственно для и . Однократное нагружение имеет место при , процесс малоциклового нагружения характеризуется числом циклов .

Для каждой длины реальной трещины по неупругим удлинениям материала из соотношений (25), (29) подсчитывается величина , характеризующие группу циклов до первого скачка вершины трещины, предварительно для заданного материала подбираются постоянные Коффина из справочника [1] или натурного эксперимента. Для цикла материал зоны предразрушения в вершине реальной трещины испортится так, что амплитуда нагрузки совпадает или незначительно превосходит критическую нагрузку , полученную по достаточному критерию (вторая строка соотношения (19)). Вершина трещины скачком перемещается в новое устойчивое положение, длина скачка совпадает с длиной зоны предразрушения и приведена в соотношении (26), длина подросшей трещины такова , см. соотношение (21). Далее для подросшей трещины все повторяется. При произвольном подборе постоянных в соотношении (29) для последнего цикла нагружения справедливо соотношение , так как и , то при последнем цикле образец разделяется на части. В отличие от [24] в числителе соотношения (29) использовано максимальное пластическое удлинение материала при однократном нагружении, что согласуется с предлагаемой моделью.

Соотношение (29) описывает процесс охрупчивания материала гладкого образца, когда реализуется замкнутый цикл нагрузка – разгрузка материала. При пульсирующем циклическом нагружении образца с трещиной замкнутый цикл нагрузка – разгрузка материала зоны предразрушения реализуется не полностью из-за пластического затупления вершины трещины. Корректное использование соотношения (29) для образца с трещиной возможно, если рассматривается квазихрупкое разрушение, но при таком ограничении нагружение зоны предразрушения можно считать жестким, когда трещина после снятия нагрузки закрывается полностью. Автор считает нагружение жестким при снятии нагрузки только тогда, когда выполняется первое ограничение из (19). Нагружение жестким не является на ниспадающих участках, когда выполняется второе ограничение из (19). На схеме рис. 3 жесткое нагружение при снятии нагрузки отмечено сплошной кривой, произвольное нагружение при снятии нагрузки отмечено пуктирной кривой, а разделение образца на части не отмечено какой-либо кривой при последнем цикле нагружения.

5. Обсуждение и заключение

Все построения, приведенные выше для малоциклового нагружения, опирались на диаграмму квазихрупкого разрушения [10]. Предложенная в [10] модель «чувствует» структуру зоны предразрушения, когда рассматривается композит [27]. По сути дела, предложенное рассмотрение накопления повреждений происходит в зоне предразрушения композиционного материала, так как исходная однородная механическая система преобразуется после нагружения в неоднородную механическую систему.

Здесь обсуждалось взаимодействие разрушения на разных структурных уровнях для материалов с иерархией структур при усталости, когда при получении оценок накопления повреждений используется инженерный подход. Дж. Си [28] использовал мультискейлинговый подход для описания деградации материала при усталости. Предложенная здесь модель для наноуровня, вероятно, отличается от модели работы [29] некоторой относительной простотой. Выявленное взаимодействие разных структурных уровней не противоречит мультимодальному распределению усталостной долговечности сложного сплава из [30].

Было бы желательно проверить на натурных экспериментах предложенные структурные формулы. Предварительный анализ выявил целесообразность их использования при обработке экспериментов, описываемых кривыми Пэриса [19, 26]. Существующая техника позволяет записать и обработать поля смещений перед вершиной усталостной трещины [31], подчеркнем, что вершина трещины в предлагаемой модели продвигается скачками [21-23].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта ) и в рамках проекта № 23.16, входящего в программу Президиума РАН.

Литература

1. , , и др. Усталость и циклическая трещиностойкость конструкционных материалов, т. 4. Механика разрушения и прочность материалов: в 4-х томах. – Киев: Наукова думка, 1990.

2. Моделирование усталостных разрушений металлов. Синергетика в авиации. Уфа: Монография, 2007.

3. , , и др. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. Новосибирск: Наука, 1990.

4. , , и др. Механика малоциклового разрушения. М.: Наука, 1986.

5. Безопасное усталостное разрушение элементов авиаконструкций: Синергетика в инженерных приложениях. Уфа: Монография, 2003.

6. Двухмасштабная модель малоцикловой усталости. Переход от квазивязкого разрушения к хрупкому // Деформация и разрушение материалов. 2008. № 2. С. 2-11.

7. Kornev V. M. Two-scale model of low-cycle fatigue. Embrittlement of pre-fracture zone material // Procedia Engineering. 2010. Vol. 2. № 1. P. 453-463.

8. Laird C., Smith, G. C. Crack propagation in high stress fatigue // The Philosophical Magazine. 1962. V. A7. N 77. P. 847-857.

9. Laird C. The influence of metallurgical structure on the mechanism of fatigure crack propagation // Fatigue Crack Propagation. 1967. P. 131-168.

10. Оценочная диаграмма квазихрупкого разрушения тел с иерархией структур. Многомасштабные необходимые и достаточные критерии разрушения // Физическая мезомеханика. 2010. Т. 13. № 1. С. 47-59.

11. Neuber G. Kerbspannunglehre: Grunglagen fur Genaue Spannungsrechnung. Springer-Verlag. 1937.

12. Новожилов В. В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ. – 1969. – Т. 33, вып. 2. – С. 212-222.

13. , Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикл. механика. – 1959. – Т. 5. – № 4. - С. 391-401.

14. Dugdale D. S. Yielding of steel sheets containing slits. J. Mech. Phys. Solids. – 1960. – V. 8. – P. 100-104.

15. Иерархия критериев прочности структурированных хрупких сред. Сателлитное зарождение микротрещин // ПМТФ. –2000. – Т. 41. – № 2. – С. 177-187.

16. Многомасштабные критерии сдвиговой прочности блочных хрупких сред. Сателлитное зарождение микропор // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. – 2000. – Т. 40. – № 5. – С. 7-16.

17. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Механика разрушения и прочность материалов. Т. 2. Киев: Наук. думка, 1988.

18. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. В 2-х томах. Под ред. Ю. Мураками. Т. 1. Москва: Мир, 1990.

19. Основы механики разрушения. М.: Высш. школа. 19с.

20. , , Основы экспериментальной механики разрушения. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 19с.

21. Г, , Малоцикловая усталость образцов с краевой трещиной из сталей с разными степенями предварительного деформирования // Физическая мезомеханика. 2009. Т. 12. № 3. С. 91-99.

22. Kornev V., Karpov E., Demeshkin A. Damage accumulation in the pre-fracture zone under low-cyclic loading of specimens with the edge crack // Procedia Engineering. 2010. Vol. 2. № 1. P. 465-474.

23. Г, , Накопление повреждений в образцах с краевой трещиной в зоне предразрушения при нестационарном малоцикловом нагружении // Изв. РАН, МТТ. 2011 (принята к печати).

24. Coffin L. F., Schenectady N. Y. A Study of the effects of cyclic thermal stresses on a ductile metal // Transactions of the ASME. 1954. V. 76. N 6. P. 931-950.

25. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. – Новосибирск. Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН и НГАСУ, 1997. – 278 с.

26. Paris P. C., Gomez M. P., Anderson W. E. A rational analytic theory of fatigue // The Trend in Engineering. 1961. V. 13. P. 9-14.

27. , Модель разрушения кусочно-однородной среды при расслоении упругопластических структурированных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16. № 3. С. 347-360.

28. Си Дж. Мезомеханика, понятие сегментации и мультискейлинговый подход: нано-микро-макро // Физическая мезомеханика. 2008. Т. 11. № 3. С. 5-18.

29. , Модель мезомеханики развития усталостной трещины для прикладных нанотехнологий // Физическая мезомеханика. 2008. Т. 11. № 3. С. 89-102.

30. , , Мультимодальное распределение усталостной долговечности титанового сплава ВТ9 в облати долговечности до циклов в интервале температур // Физическая мезомеханика. 2006. Т. 9. № 6. С. 71-82.

31. , , Модель деформационной структуры усталостной трещины смешанного типа (I + II) // Физическая мезомеханика. 2006. Т. 9. Спец. выпуск. С. 57-60.