Оптимизация функционалов

ЧАСТЬ 2. ОПТИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ

8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛА

8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛА ОТ ФУНКЦИИ

Пусть элементами множества допустимых решений Х являются функции одной переменной t, определенные на отрезке [tt].

Иначе говоря,

X={x(t)},

x= x ( t ); t [tt].

Такое множество Х называется функциональным. Например, множество Х всех функций, определенных на отрезке [0,1], является функциональным. Функции x = 2t -5 , x=sin t + 2cos являются элементами этого множества, а функции x=, x =ln sin 2t не являются, так как они не определены на отрезке [0,1].

Функция f(x), определенная на функциональном множестве X={x(t)}, t[t,t], называется функционалом от функции x(t) и часто обозначается J[x(t)], U [x(t)] и пр.

Если раскрыть входящие в это определение понятия функционального множества и функции, то функционалу можно дать следующее определение: если задано множество Х некоторых функций х(t), определенных на [t,t], и каждой из этих функций однозначно ставится в соответствие некоторое число, то говорят, что на функциональном множестве Х определен функционал J[x(t)].

Пример 1. Значение функции x(t) в точке t= 0.4 , х=(0.4) будет функционалом J от функции x(t), определенной на любом отрезке [t,t], содержащем точку t=0.4, так как каждой такой функции однозначно соответствует число - ее значение в точке 0.4 . Так,

J [1+2t]=1+2*0.4=1.8,

J [] = 5.6325.

Пример 2. Определенный интеграл

будет функционалом U[x(t)] на множестве всех функций, определенных на отрезке [0.1], так как каждой из них однозначно соответствует вполне определенное число - значение интеграла.

Например,

U[1+2t] = = =;

U[t] = = = = 0.273

Пример 3. Рассмотрим вал, установленный на опоры А и Б (рис.8.1). Поместив в опоре А начало координат и направив ось OX вертикально вверх, можно характеризовать конфигурацию вала функцией x(t), определенной на отрезке [0.L].

При действии одной и той же нагрузки каждой конфигурации вала однозначно соответствует определенный максимальный прогиб, следовательно максимальный прогиб вала можно представить как функционал U[x(t)], t.

В зависимости от структуры функционального множества Х и вида самого функционала возникают различные задачи оптимизации. Элементы множества Х - функции x(t) - могут быть кусочно-непрерывными (т. е. допускающими конечное число разрывов I рода ), дифференцируемыми один и К раз. На их значения могут не налагаться условия - оптимизация без ограничений, но могут и налагаться условия вида

или

.

Тогда говорят об оптимизации с ограничениями. Например, (рис.8.2), ограничения,

задают любую функцию x(t), график которой укладывается в изображенную на рис.8.2 область Q : x(t)Q.

Очень часто накладываются ограничения особого вида:

x(t)=x; x(t)=x, (8.1)

где x0 , x - определенные числа, т. е. требуется, чтобы все функции x(t)X проходили через заданные начальную и конечную точку. Выражение (8.1) называют граничными условиями, а задачу оптимизации - задачей с закрепленными концами. Если не все граничные значения функции фиксированы - задачей с частично закрепленными концами. Аналогичные условия могут налагаться и на производные функции x(t) .

Функционал чаще всего задается в одной из следующих форм.

Форма Лагранжа

J[x(t)] = ,

где подынтегральная функция полагается непрерывной и дифференцируемой функцией своих аргументов. Она зависит:

или от аргумента t и элемента x(t): , - так называемый вырожденный функционал,

или от аргумента элемента x(t) и его производной (t): f= f(t, x,) - так называемый простейший функционал,

или от аргумента элемента x(t) и его первой и высших производных: f= f(t, x, ,,...,)- так называемый функционал, зависящий от высших производных.

Форма Майера

J[x(t)] = F(x(t),x(t)),

где F - некоторая непрерывная и дифференцируемая функция начального и конечного значений функции x(t).

Форма Больца, объединяющая их,

J [x(t)] = F.

Например,

вырожденный - J = ,

простейший - J = ,

зависящий от старших производных J = ,

в форме Майера - J = x(1)+x(0),

в форме Больца - J = .

8.2  ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛА

ОТ НЕСКОЛЬКИХ ФУНКЦИЙ

Элементами множества допустимых решений Х являются вектор - функции x(t), имеющие n компонентов: функций x(t), x(t),..., x(t), определенных на некотором отрезке [t,t],

т. е. Х = {x(t)}, x(t) = (x(t),x(t),..., x (t)), t[t,t].

Функция, определенная на таком функциональном множестве Х, называется функционалом от n функций x(t), x(t),..., x(t) или функционалом от n - мерной вектор - функции x(t):

J [x(t),x(t),...,x(t)]J[x(t)].

Например,

J [x(t)] = ;

U[x(t)] = x(0.4)*x(1)*x(1).

Аналогично п.8.1, структура множества Х определяется характером функций x(t), i = 1,2,..., n ( кусочно - непрерывные, непрерывные, один и К раз дифференцируемые) и накладываемыми на них ограничениями вида

(X, t) < 0; (> 0); j = 1,..., 5;

(X, t) 0; (0); p = 1,...,m . (8.2)

Условия (8.2) условно обозначаются x(t)Q. Однако, помимо этого, на функции x(t), i = 1,..., n и их производные может налагаться и ряд условий вида

; i=1,...,k (8.3)

(понятно, что число таких уравнений должно быть меньше числа функций x(t), i = 1,..., n, т. е. k<n).

Не уменьшая общности, можно считать, что уравнения (8.3) приводятся к нормальной форме Коши относительно каких - нибудь k из n функций x(t), x(t),..., x(t):

x = f(t, x); i = 1,...,k. (8.4)

При этом компоненты вектор - функции x(t) выступают неравноправно: одни из них входят в уравнения (8.4) вместе с производной, другие - только сами по себе. Первые принято называть фазовыми координатами, вторые - управлениями. Вводя k - мерную вектор - функцию фазовых координат y(t) и n-k - мерную функцию управлений u(t), можно считать, что элементом x(t) множества Х является пара вектор - функций (y(t), u(t)), связанных соотношениями (уравнениями связи)

= f(t, y, u), (8.5)

где f = (f, f,..., f) k - мерная непрерывная и дифференцируемая вектор - функция аргументов t, y, u.

Функционал, как и в п.8.1, рассматривается в одной из следующих форм (заметим, что здесь уже функционал не зависит явно от производных функции x(t)):

Лагранжа J = ;

Майера J = ;

Больца J = .

Особо выделим случай, когда фазовые координаты в задаче отсутствуют, тогда функционал вида

называется вырожденным функционалом.

Если в задаче дан функционал в ином виде, то его всегда, вводя новые переменные, можно свести к одной из стандартных форм функционала.

Пример 1.

Здесь функционал задан не в стандартной форме Лагранжа, так как помимо фазовой координаты y1 и управления u подынтегральная функция содержит производную другой переменной w. Вводя вспомогательную функцию , получим функционал

в стандартной форме Лагранжа. Он содержит фазовую координату y1 и два управления U и V; всего в задаче две фазовых координаты y1 и w и два управления связи:

.

Пример 2.

.

Это функционал в форме Лагранжа. Переведем его в иную форму. Для этого введем вспомогательную переменную y уравнением и условием y(0)=0. Тогда функционал будет представлен в стандартной форме Майера

При этом в задаче появилась фазовая координата y с уравнением и граничным условием y(0)=0, а исходная переменная w(t) выступает в качестве управления.

8.3 ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫРОЖДЕННОГО ФУНКЦИОНАЛА

Пусть требуется найти элемент минимума (t) = (1(t), 2(t),…, r(t)), функционала

J[u(t)] = f0 (t, u)dt,

где f0 (t, u) – кусочно-непрерывная функция своих аргументов на множестве X r–мерных вектор-функций u(t), допускающих на [t0,t1] конечное число разрывов 1-го рода и удовлетворяющих ограничениям

j(u, t)<0; (>0); j=1,…,s,

p(u, t)0; (0); p=1,…,m.

Теорема (достаточное условие минимума). Вектор-функция (t) является элементом минимума, если ее значения при любом значении t[t0,t1] доставляют минимум подынтегральной функции f0(t, u), т. е.

f0(t,) = f0(t, u), t[t0,t1]. (8.6)

Доказательство. Рассмотрим любой элемент (t)X.

J[(t)] - J[ (t)] = f0 (t, )dt - f0 (t, )dt = [ f0 (t, )-f0 (t, )]dt.

Ввиду (8.6),

f0 (t, ) f0 (t, ) t[t0,t1],

f0 (t, )-f0 (t, )0,

и, поскольку подынтегральная функция неотрицательна, то

J[(t)] - J[ (t)]0,

откуда

J[(t)] > J[ (t)] (t) X,

т. е. (t) есть элемент минимума J[u(t)] на X.

Теорема полезна тем, что сводит минимизацию функционала к значительно более простой задаче минимизации функции f0(t, u1,u2,…,ur) r – переменных по u1,u2,…,ur при различных значениях переменной t[t0,t1], выступающей в качестве параметра.

Пример 1. (см. рис.8.3)

J=(tu2 -u)dt, (8.7)

|u - 1|

Найдем минимум функции f0(t, u) = tu2 –u по переменной u при различных значениях параметра t[0,1] и ограничениях (8.8) на u. При t = 0 условию (8.8) удовлетворяет единственное значение u =1, значит, (0) = 1. Для t > 0 точка u1 относительного минимума f0(t, u) на оси u одна (рис.8.4). Действительно, из необходимых и достаточных условий относительного минимума

f0 u = f(t, u) = 2tu – 1;

u 1 = ;

f0uu (t, u1(t)) = 2t >0 при всех t(0,1)

f0(t, u1(t))= - .

При 1-t 1+t что эквивалентно t0,365, точка u1 лежит внутри отрезка (8.8). В его граничных точках значение функции f0(t, u) следующее:

f(t, 1-t) = (1-t)(t-t2-1),

f(t, 1+t) = (1+t)(t+t2-1).

При 0,365 <t<1 точкой минимума может быть одна из граничных точек. Значения функции f0(t,1-t) в каждой из них показаны на рис. 8.5. В соответствии с этим определяем

1 при t=0

(t) = 1+t при 0< t0,365

при 0,365<t 1.

Эта функция (рис.8.6) по теореме о достаточном условии минимума есть элемент минимума в исходной задаче.