Методические рекомендации к дисциплине Теория функций действительного переменного

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ДИСЦИПЛИНЕ

Теория функций действительного переменного

Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности

050202.65 − информатика с дополнительной специальностью математика

Раздел 1. Программа учебной дисциплины.

Структура программы учебной дисциплины

1.1 Автор программы: , кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры математики и ММЭ.

1.2 Рецензенты: кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры математики и ММЭ, , кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры математики и ММЭ МГГУ.

1.3 Пояснительная записка

Цель курса − вооружить будущего учителя строгими обоснованиями изученного им курса математического анализа и познакомить его с такими важными для преподавания и изучения математики понятиями, какими являются множество, функция, кривая, мера множества, интегралы Римана и Лебега. Завершается курс знакомством с основными структурами математического анализа: метрические пространства, линейные нормированные пространства, гильбертовы пространства.

Студенты должны знать: 1) основные понятия теории множеств, 2) свойства счётных множеств и множеств мощности континуума, 3) строение открытых, замкнутых и совершенных множеств на прямой, 4) меру Лебега линейного множества, 5) свойства измеримых функций, 6) определение и свойства интеграла Лебега, 7) определения метрического, банахова, гильбертового пространства, свойства полных пространств, 8) ряды Фурье в гильбертовом пространстве.

Студенты должны уметь: 1) доказывать равенство множеств, 2) устанавливать взаимно-однозначное соответствие между эквивалентными множествами, 3) различать счётные множества и множества мощности континуума, 4) находить полное изменение функции, 5) уметь представлять функцию с ограниченным изменением в виде разности двух монотонных функций.

Учебная программа составлена в полном соответствии с требованиями государственного стандарта высшего образования от 01.01.2001г.

1.4 Объём дисциплины и виды учебной работы

№ п/п	Шифр и наименование специальности	Курс	Се-местр	Виды учебной работы в часах	Вид итогового контроля
Трудоёмкость	Всего аудиторных	Лек-ции	Практические	Сам. раб.
1.	050202.65	3	5	90	50	26	24	36	экзамен

1.5 Содержание дисциплины

1.5.1 Распределение дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени:

	№ п/ п	Наименование раздела, темы	Количество часов
Всего аудит.	Лек-ции	Практические	Самостоятельная работа
	I	II	III	IV	V	VI
	1.	Общая теория множеств	14	6	8	7
	1) 2) 3) 4) 5)	Эквивалентность множеств. Понятие мощности. Счётные множества и их свойства Действия над мощностями. Арифметика счётной мощности. Мощность множества рациональных и алгебраических чисел. Существование несчётных множеств Арифметика мощности континуума. Сравнение мощностей. Теорема Кантора – Бернштейна. Мощность множества всех подмножеств. Мощность множества иррациональных и трансцендентных чисел		1 1 1 1 1	2 2 2 2
	2.	Строение открытых и замкнутых множеств на прямой	8	4	4	4
	1) 2) 3)	Окрестность точки. Предельная и внутренняя точки. Открытые и замкнутые множества. Теоремы о пересечении и объединении открытых и замкнутых множеств. Строение открытых, замкнутых и совершенных множеств. Множество Кантора.		1 1 1	1 1 2
	3.	Функции	6	4	2	3
	1) 2) 3)	Верхняя и нижняя грани множества значений функции. Монотонные функции. Функции с ограниченным изменением. Спрямляемые кривые.		1 1 1 1	1 1
	4.	Мера Лебега	9	7	2	5
	1) 2) 3) 4) 5)	Мера открытого множества Мера замкнутого множества. Внутренняя и внешняя мера произвольного множества. Мера Лебега и её свойства. Операции над измеримыми множествами Понятие измеримой функции. Последовательность измеримых функций.		1 1 1 1 1	2
	5.	Интеграл Лебега	6	4	2	6
	1) 2) 3)	Определение интеграла Лебега Свойства интеграла Лебега Сравнение интегралов Римана и Лебега		1 2 1	2
6.	Метрические пространства	11	5	6	11
1) 2) 3) 4)	Определение и примеры метрических пространств Полные метрические пространства Банахово пространство. Гильбертово пространство Ряды Фурье в произвольном гильбертовом пространстве		1 2 1 1	2 2 2

1.5.2 Содержание разделов дисциплины

Общая теория множеств

Эквивалентность множеств. Понятие мощности. Счётные множества и их свойства

Действия над мощностями. Арифметика счётной мощности.

Мощность множества рациональных и алгебраических чисел.

Существование несчётных множеств

Арифметика мощности континуума. Сравнение мощностей. Теорема Кантора – Бернштейна.

Мощность множества всех подмножеств.

Мощность множества иррациональных и трансцендентных чисел

Строение открытых и замкнутых множеств на прямой

Окрестность точки. Предельная и внутренняя точки.

Открытые и замкнутые множества.

Теоремы о пересечении и объединении открытых и замкнутых множеств.

Строение открытых, замкнутых и совершенных множеств. Множество Кантора.

Функции

Верхняя и нижняя грани множества значений функции. Монотонные функции.

Функции с ограниченным изменением. Спрямляемые кривые.

Мера Лебега

Мера открытого множества Мера замкнутого множества.

Внутренняя и внешняя мера произвольного множества.

Мера Лебега и её свойства. Операции над измеримыми множествами

Понятие измеримой функции. Последовательность измеримых функций.

Интеграл Лебега

Определение интеграла Лебега. Свойства интеграла Лебега.

Сравнение интегралов Римана и Лебега.

Метрические пространства

Определение и примеры метрических пространств. Полные метрические пространства.

Банахово пространство. Гильбертово пространство.

Ряды Фурье в произвольном гильбертовом пространстве

1.5.3 Темы для самостоятельного изучения

№ п/п	Наименование раздела дисциплины. Тема.	Форма самостоятельной работы	Количе- ство часов	Форма контроля самостоятельной работы
1.	Общая теория множеств Строение открытых и замкнутых множеств на прямой. Функции	Домашние задания Коллоквиум Контрольная работа	14	Проверка домашних заданий Индивидуальное собеседование Проверка и анализ результатов контрольной работы
2.	Мера Лебега Интеграл Лебега Метрические пространства	Домашние задания Коллоквиум Контрольная работа	22	Проверка домашних заданий Индивидуальное собеседование Проверка и анализ результатов контрольной работы Экзамен

1.6 Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.

Планы проведения практических занятий

Практическое занятие № 1

Тема: Операции над множествами

Вопросы для обсуждения:

1. Действия над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение, симметричная

разность, произведение).

2. Формулы двойственности.

Литература: [2], стр. 13 – 16, [3], стр. 5 – 11, [4], стр. 5 – 13.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000,

№ 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000. [5], № 10.

Домашнее задание:

Теоретический материал: [2], стр. 16 – 30, [3], стр. 11 – 24, [4], стр. 14 – 28.

Практическая часть: [8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000.

Практическое занятие № 2

Тема: Отображения множеств

Вопросы для обсуждения:

1. Взаимно однозначное соответствие.

2. Эквивалентность множеств.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, [5], № 27,

№ 29, № 31, № 33, № 35, № 37, № 39, № 41, № 43, № 45, № 47, № 49, № 51, № 58, № 59, № 60.

Домашнее задание:

Теоретический материал: [2], стр. 16 – 30, [3], стр. 18 – 24, 51 – 55, [4], стр. 22 – 28,

Практическая часть: [8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, [5], № 28, № 30, № 32, № 34, № 36, № 38, № 40, № 42, № 44, № 46,

№ 48, № 50, № 52.

Практическое занятие № 3

Тема: Мощность множества

Вопросы для обсуждения:

1. Счётные множества.

2. Множества мощности континуума.

3. Сравнение мощностей.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000 [5], № 61, № 63, № 65, № 67, № 73, № 75, № 79, № 81, № 83, № 85.

Домашнее задание:

Теоретический материал: [2], стр. 51 – 54, [3], стр. 62 – 68, [4], стр. 60 – 78.

Практическая часть: [8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000,

№ 000, № 000, № 000, № 000 [5], № 62, № 64, № 68, № 75.

Практическое занятие № 4

Тема: открытые и замкнутые множества

Вопросы для обсуждения:

1. Основные понятия теории точечных множеств.

2. Теоремы Больцано – Вейерштрасса.

3. Открытые и замкнутые множества.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, [5], № 000, № 000, № 000, № 000.

Домашнее задание:

Теоретический материал: [2], стр. 51 – 54, [3], стр. 62 – 68, [4], стр. 60 – 78.

Практическая часть: [8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000,

[5], № 000, № 000, № 000.

Практическое занятие № 5

Тема: Точечные множества

Вопросы для обсуждения:

1. Плотные и нигде не плотные множества.

2. Совершенные множества.

3. Множество Кантора.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[8], № 000, [5], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000,

№ 000.

Домашнее задание:

Теоретический материал: [2], стр. 87 – 127, [4], стр. 88 – 119.

Практическая часть: [8], № 000, № 000, [5], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000,

№ 000, № 000.

Практическое занятие № 6

Тема: Контрольная работа

Практическое занятие № 7

Тема: Функции

Вопросы для обсуждения:

1. Верхняя и нижняя грани функции. Колебание функции на множестве и в точке.

2. Точки разрыва.

3. Функции с ограниченным изменением.

4. Спрямляемые кривые.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[3], стр. 114 – 116, № 1, № 3, № 5, № 7, № 9, № 11, № 13, № 15, № 17, № 19, № 21,

№ 23, № 27, № 29, № 31.

Домашнее задание:

Теоретический материал: [3], стр. 138 – 152, [4], стр. 122 – 138.

Практическая часть: [3], стр. 114 – 116, № 2, № 4, № 6, № 8, № 10, № 12, № 14, № 16, № 18,

№ 20, № 22, № 26, № 28, № 30.

Практическое занятие № 8

Тема: Мера Лебега

Вопросы для обсуждения:

1. Мера открытого множества.

2. Мера замкнутого множества.

3. Внутренняя и внешняя мера произвольного множества.

4. Понятие измеримой функции.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[7], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000,

№ 000, № 000, № 000, № 000.

Домашнее задание:

Теоретический материал: [3], стр. 150 – 170, [4], стр. 139 – 162.

Практическая часть: [7], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000,

№ 000, № 000, № 000, № 000, № 000.

Практическое занятие № 9

Тема: Интеграл Лебега

Вопросы для обсуждения:

1. Определение интеграла Лебега.

2. Свойства интеграла Лебега.

3. Сравнение интегралов Римана и Лебега.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000,

№ 000.

Домашнее задание:

Теоретический материал: [2], стр. 31 – 80.

Практическая часть: [8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000,

№ 000, № 000, № 000, № 000.

Практическое занятие № 10

Тема: Метрические пространства

Вопросы для обсуждения:

1. Определение метрического пространства.

2. Примеры метрических пространств.

3. Полные метрические пространства.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, [5], № 000, № 000.

Домашнее задание:

Теоретический материал: [2], стр. 104 – 150.

Практическая часть: [8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, [5], № 000, № 000.

Практическое занятие № 11

Тема: Линейные нормированные пространства

Вопросы для обсуждения:

1. Определение линейного нормированного пространства.

2. Банахово пространство.

3. Гильбертово пространство.

4. Линейный функционал. Норма функционала.

5. Линейный оператор. Норма оператора.

Задания для самостоятельной работы в аудитории:

[8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000.

Домашнее задание:

Практическая часть: [8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000.

Практическое занятие № 12

Тема: Контрольная работа

1.7 Учебно-методическое обеспечение дисциплины.

1.8.1 Рекомендуемая литература:

Основная

1. Действительный анализ в задачах : учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по группе мат. направл. и спец. / , , - М. : ФИЗМАТЛИТ, 20с. - ISBN -7 [Гриф] : 325-00; 332-64.
2. Элементы теории функций и функционального анализа / , ; Моск. гос. ун-т им. . - Изд. 7-е. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 20с. - (Классический университетский учебник). - ISBN -4 : 318-00; 325-71.
3. , , Чубариков по математическому анализу, М., Дрофа, 2003.

Дополнительная

1. Натансон функций вещественной переменной. – М., 1957.

2. , Фомин теории функций и функционального анализа. –

Москва – Ижевск. 2002.

3. Макаров функций действительной переменной. – М., 1958.

4. Фролов функций действительной переменной. – М., 1961.

5. Макаров главы математического анализа. – М.. 1968.

6. Очан задач и теорем по теории функций действительной переменной. – М.,

1981.

7. , , Граев функционального анализа в задачах. – М.,

1978.

8. , , Никольский задач по математическому анализу.

– М., 1973.

9. , Фомин теории функций и функционального анализа. –

М., 1960.

10. Лузин функций действительной переменной. – М., 1948.

11. Соболев по дополнительным главам математического анализа. – М., 1965.

12. Вулих курс теории функций вещественной переменной. – М., 1965.

13. , Лихтарников теории функций действительной перемен-

ной. – Ленинград, 1987.

14. Виленкин о множествах. – М. 1965.

15. В поисках бесконечности. – М., 1983.

16. Теляковский задач по теории функций действительного переменного. – М.,

1980.

1. 9. Примерные зачётные тестовые задания.

Контрольная работа № 1 (три варианта)

1. Доказать равенства: а) б)

в)

2. Установить взаимно однозначное соответствие:

а) между множеством натуральных чисел и множеством всех целых чисел;

б) между множеством натуральных чисел и множеством всех нечётных чисел;

в) между множеством всех неотрицательных рациональных чисел и множеством всех

натуральных чисел.

3. Найти взаимно однозначное отображение:

а) интервала на всю числовую прямую; б) числовой прямой на интервал ;

в) отрезка на отрезок

4. Какова мощность множества:

а) всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты?

б) всех рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе?

в) всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональны и координаты центра

которых – рациональные числа?

5. Найти замыкание множества всех точек вида:

а) где и всевозможные целые числа, причём

б) где и всевозможные натуральные числа,

в) и всевозможные целые числа, отличные от нуля.

Контрольная работа № 2 (три варианта)

1. Найдите полное изменение функции на отрезке . Найдите для функции две монотонные функции и такие, что на .

а)

б)

в)

Постройте графики функций

2. Проверьте, являются ли метриками следующие функции:

а) ;

б) ;

в)

1.10 Примерный перечень вопросов к экзамену.

1. Мощность множества

1. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества.

2. Счётные множества и их свойства.

3. Действия над мощностями.

4. Арифметика счётной мощности.

5. Мощность множества рациональных чисел.

6. Мощность множества алгебраических чисел.

7. Существование несчётных множеств.

8. Арифметика мощности континуума.

9. Сравнение мощностей.

10. Теорема Кантора-Бернштейна.

11. Мощность множества всех подмножеств непустого множества.

12. Мощность континуума как мощность множества всех подмножеств счётного множества.

13. Мощность множества иррациональных и трансцендентных чисел.

14. Пример множества, имеющего мощность, большую, чем мощность континуума.

2. Множества на числовой прямой.

1. Окрестность точки. Предельная точка. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Основные

определения.

2. Теорема о дополнении к замкнутому множеству.

3. Теорема о дополнении к открытому множеству.

4. Теорема об объединении открытых множеств.

5. Теорема о пересечении открытых множеств.

6. Теорема об объединении замкнутых множеств. Формулы двойственности.

7. Теорема о пересечении замкнутых множеств. Формулы двойственности.

8. Строение открытых множеств на прямой.

9. Строение замкнутых множеств на прямой.

10. Строение совершенных множеств на прямой.

11. Множество Кантора и его свойства.

3. Функции.

1. Верхняя и нижняя грани множества значений функции. Колебание функции.

2. Монотонные функции.

3. Функции с ограниченным изменением.

4. Классы функций с ограниченным изменением.

5. Свойства функций с ограниченным изменением.

6. Аддитивность полной вариации.

7. Спрямляемые кривые.

4. Мера Лебега.

1. Мера открытых множеств.

2. Мера замкнутых множеств.

3. Внутренняя и внешняя меры произвольного множества.

4. Мера Лебега и её свойства.

5. Отделимость замкнутых множеств.

6. Аддитивность меры.

7. Операции над измеримыми множествами.

5. Измеримые функции.

1. Понятие измеримой функции. Характеристические функции.

2. Свойства измеримых функций.

3. Последовательности измеримых функций.

4. Сходимость почти везде.

5. Сходимость по мере.

6. Теоремы и .

6. Интеграл Лебега.

1. Строение верхних и нижних сумм Лебега.

2. Свойства верхних и нижних сумм Лебега.

3. Определение интеграла Лебега.

4. Свойства интеграла Лебега.

5. Предельный переход под знаком интеграла.

6. Сравнение интегралов Римана и Лебега.

7. Метрические пространства.

1. Понятие метрического пространства.

2. Полные метрические пространства.

3. Банаховы пространства.

4. Гильбертово пространство.

5. Теорема Банаха о сжимающих отображениях.

6. Ряды Фурье в произвольном гильбертовом пространстве.

РАЗДЕЛ 2. Содержательный компонент теоретического материала.

Лекция №1

Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества.

1. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества.

2. Счётные множества и их свойства.

3. Действия над мощностями.

4. Арифметика счётной мощности.

5. Мощность множества рациональных чисел.

6. Мощность множества алгебраических чисел.

Лекция №2

Существование несчётных множеств. Арифметика мощности континуума.

1. Существование несчётных множеств.

2. Арифметика мощности континуума.

3. Сравнение мощностей.

4. Теорема Кантора-Бернштейна.

Лекция №3

Мощность множества всех подмножеств непустого множества.

1. Мощность множества всех подмножеств непустого множества.

2. Мощность континуума как мощность множества всех подмножеств счётного множества.

3. Мощность множества иррациональных и трансцендентных чисел.

4. Пример множества, имеющего мощность, большую, чем мощность континуума.

Лекция №4

Теоремы о дополнении, объединении и пересечении открытых и замкнутых множеств.

1. Окрестность точки. Предельная точка. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Основные

определения.

2. Теорема о дополнении к замкнутому множеству.

3. Теорема о дополнении к открытому множеству.

4. Теорема об объединении открытых множеств.

5. Теорема о пересечении открытых множеств.

6. Теорема об объединении замкнутых множеств. Формула двойственности.

7. Теорема о пересечении замкнутых множеств. Формула двойственности.

Лекция №5

Строение открытых, замкнутых и совершенных множеств на прямой.

1. Строение открытых множеств на прямой.

2. Строение замкнутых множеств на прямой.

3. Строение совершенных множеств на прямой.

4. Множество Кантора и его свойства.

Лекция №6

Функции с ограниченным изменением.

1. Верхняя и нижняя грани множества значений функции. Колебание функции.

2. Монотонные функции.

3. Функции с ограниченным изменением.

4. Классы функций с ограниченным изменением.

Лекция №7

Спрямляемые кривые.

1. Свойства функций с ограниченным изменением.

2. Аддитивность полной вариации.

3. Спрямляемые кривые.

Лекция №8

Мера открытых множеств. и замкнутых множеств.

1. Мера открытых множеств.

2. Мера замкнутых множеств.

Лекция №9

Мера Лебега и её свойства.

1. Внутренняя и внешняя меры произвольного множества.

2. Мера Лебега и её свойства.

3. Отделимость замкнутых множеств.

Лекция №10

Операции над измеримыми множествами.

1. Аддитивность меры.

2. Операции над измеримыми множествами.

Лекция №11

Измеримые функции.

1. Понятие измеримой функции. Характеристические функции.

2. Свойства измеримых функций.

3. Последовательности измеримых функций.

4. Сходимость почти везде.

5. Сходимость по мере.

6. Теоремы и .

Лекция №12

Интеграл Лебега.

1. Строение верхних и нижних сумм Лебега.

2. Свойства верхних и нижних сумм Лебега.

3. Определение интеграла Лебега.

Лекция №13

Свойства интеграла Лебега.

1. Свойства интеграла Лебега.

2. Предельный переход под знаком интеграла.

3. Сравнение интегралов Римана и Лебега.

Лекция №14

Метрические пространства.

1. Понятие метрического пространства.

2. Полные метрические пространства.

3. Банаховы пространства.

4. Гильбертово пространство.

Лекция №15

Сжимающие отображения.

1. Определение сжимающего отображения

2. Теорема Банаха о сжимающих отображениях.

3. Применение теоремы Банаха.

РАЗДЕЛ 3. Практикум по решению задач

1. Примеры решения задач.

1. Доказать равенство:

Решение. Пусть принадлежит левой части равенства. По определению объединения

множеств принадлежит по крайней мере одному из четырёх множеств. Пусть, например, Тогда и, следовательно, принадлежит правой части равенства. Аналогично рассматриваем случаи и Если , то принадлежит всем множествам, поэтому принадлежит правой части.

Обратно. Пусть принадлежит правой части. Тогда принадлежит по крайней мере одному из множеств Пусть, например, Если , то и принадлежит левой части равенства. Пусть теперь . Если то и, следовательно, принадлежит левой части. Пусть, наконец, В этом случае и принадлежит левой части. Равенство доказано.

2. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех

положительных рациональных чисел и множеством всех натуральных чисел.

Решение. Каждому рациональному числу , где и дробь несократима, поставим в соответствие число - «вес» числа . Далее все положительные рациональные числа запишем в порядке возрастания их «веса», а в случае равенства веса меньшее число предшествует большему. Получили последовательность Этим самым мы показали, что множество всех положительных рациональных чисел – счётное, т. е. установили взаимно однозначное соответствие.

3. Найти взаимно однозначное отображение отрезка на отрезок

Решение. Взаимно однозначное отображение отрезка на отрезок можно осуществить, например, с помощью линейной функции . При этом будем считать, что точка переходит в 0, а в 1. Получим систему уравнений

Решая систему, найдём Таким образом, .

4. Какова мощность множества всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональны

и координаты центра которых – рациональные числа?

Решение. Каждая окружность на плоскости определяется упорядоченной тройкой чисел

- где и абсцисса и ордината центра окружности, радиус окружности. По условию - рациональные числа, т. е. принимают счётное множество значений. На основании теоремы:

«если элементы некоторого множества можно занумеровать с помощью конечного числа индексов, каждый из которых принимает счётное множество значений, то множество счётное» делаем вывод о счётности множества окружностей.

2. Тексты задач для самостоятельного решения.

1. Доказать равенства: а) б)

2. Установить взаимно однозначное соответствие:

а) между множеством натуральных чисел и множеством всех целых чисел;

б) между множеством натуральных чисел и множеством всех нечётных чисел;

3. Найти взаимно однозначное отображение:

а) интервала на всю числовую прямую; б) числовой прямой на интервал ;

4. Какова мощность множества:

а) всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты?

б) всех рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе?

5. Найти замыкание множества всех точек вида:

а) где и всевозможные целые числа, причём

б) где и всевозможные натуральные числа,

в) и всевозможные целые числа, отличные от нуля.

6. Найдите полное изменение функции на отрезке . Найдите для функции две монотонные функции и такие, что на .

а)

б)

в)

Постройте графики функций

7. Проверьте, являются ли метриками следующие функции:

а) ;

б) ;

в)