Задачи и упражнения

Задачи и упражнения

Решить матричную игру (то есть найти цену игры и оптимальные стратегии игроков):

1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) Решить игру «чет-нечет»

Ответы:

1) 7/5; X=(0,8; 0,2); Y=(0,6; 0,4) 2) 3, (2,1) 3) 7/2; X=(0,25;075); Y=(0,5; 0,5); 4) 2, (1,2),(2,2) 5) 5, (1,1),(1,2) 6) 7/5; X=(0,8;0,2;0); Y=(0,6;0;0,4); 7) 3; (2,1); 8) 2; (1,2); (1,3); 9) 0,2; X=(0,4; 0,6; 0);

10) 1; X=(0,5; 0,5) 11) 1/7; X=(5/7; 2/7) 12) 6/7; X=(3/14; 11/14)

13) 0; (1/2, ½)

Примеры бесконечных антагонистических игр

Пример 1. (Одновременная игра преследования на плоскости.) Пусть и S2 — множества на плоскости. Игра Г заключается в следующем. Пусть 1 выбирает некоторую точку , а игрок 2 — точку . При совершении выбора игроки 1 и 2 не имеют информации о действиях противника, поэтому подобный выбор удобно интерпретировать как одновременный. Точки , являются в этом случае стратегиями игроков 1 и 2 соответственно. Таким образом, множества стратегий игроков совпадают с множествами и S2 на плоскости.

Целью игрока 2 является минимизация расстояния между ним и вторым игроком (игрок 1 преследует противоположную цель). Поэтому под выигрышем v(х, у) игрока 1 в этой игре будем понимать евклидово расстояние р(х, у) между точками и , т. е. v(х, у) = р(х, у), и . Выигрыш игрока 2 полагаем равным выигрышу игрока 1, взятому с обратным знаком (игра антагонистическая).

Задача 1. Пусть множества и S2 заданы следующими соотношениями:

Решить игру.

Задача 2. Пусть множества и S2 заданы следующими соотношениями:

Решить игру.

Пример 2. (Поиск на отрезке.) Простейшей игрой поиска с бесконечным числом стратегий является следующая игра.

Игрок 2 (прячущийся) выбирает точку , а игрок 1 (ищущий) выбирает одновременно и независимо точку . Точка у считается «обнаруженной», если , где . В этом случае игрок 1 выигрывает величину + 1, во всех остальных случаях его выигрыш полагается равным 0. Игра антагонистическая.

Таким образом, функция выигрыша имеет вид

Выигрыш игрока 2 полагается равным [-].

Задача 3. Решить описанную выше игру для .

Пример 3. Пусть - дважды дифференцируемая на области своего определения функция. Если соответствующая ей игра имеет седловую точку в чистых стратигиях, то последняя может быть найдена из системы дифференциальных уравнений:

Задача 4. Игра на единичном квадрате имеет функцию выигрыша

Найти ситуацию равновесия в этой игре.

Пример 4. (Шумная дуэль.) Каждому из двух дуэлянтов разрешается выстрелить только один раз. Предполагается, что оба они имеют «шумные» пистолеты, так что каждый знает, когда выстрелил его противник. Предполагается также, что функция меткости (вероятность попадания при стрельбе в момент времени t) игрока i определена на [0, 1], непрерывна, монотонно возрастает по t и . Если игрок 1 поражает игрока 2, то первый получает выигрыш +1; если игрок 2 поражает игрока 1, то игрок 1 получает (-1), если оба игрока стреляют одновременно и с одинаковым результатом (успешным или нет), то выигрыш игрока 1 равен 0.

Структура информации в этой игре (тот факт, что оружие шумное) принимается во внимание при составлении функции выигрыша . Если х<у, то вероятность того, что игрок 1 поразит противника, равна и выигрыш игрока 1 равен ; вероятность того, что игрок 1 промахнется, равна . Если игрок 2 еще не стрелял и знает, что игрок 1 больше не может выстрелить, то игрок 2 будет увеличивать свои шансы на успех, ожидая пока не станет равным 1. Таким образом, если игрок 1 промахнется в момент х, и , то он наверняка будет поражен игроком 2. Следовательно:

Продолжая аналогичным образом, окончательно имеем:

Решить игру.

Задача 5. (Конкретизация шумной дуэли). Пусть

А)

Б) (решать с использованием EXCEL)

Решить игру.