Лабораторная работа 1.
Принципы построения имитационных моделей 
и 
1. Цель лабораторной работы
- изучить принципы построения имитационных моделей: принцип и принцип особых состояний средствами интегрированной статистической системы Statistica;
- приобрести навыки построения имитационных моделей на примере моделирования работы простейших систем.
2. Задание к работе
2.1. Рассчитать траекторию процесса Z(t), происходящего в дифференцирующем фильтре (рис. 1), в моменты времени t=1,2,…,N (=0,01). Рассчитать значения производной детерминированной функции x(t) (в соответствии с вариантом, табл. 1), подаваемой на вход фильтра, используя принцип 
(см. п. 3 пояснения к работе).
| |
| |
|
|
Рис. 1. Структурная схема дифференцирующего фильтра.
2.2. Рассчитать значения производной детерминированной функции x(t), подаваемой на вход фильтра, в моменты времени t=1,2,…,N, используя аналитическую формулу (аналитический метод). Построить графики исходной функции x(t) и производных x’(t), рассчитанных имитационным методом и аналитическим. Сопоставить результаты вычисления производных аналитическим и имитационным методами. Сделать выводы.
Таблица 1.
Вар. | X(t) | N | Z(0) |
1. | sin2(t) +cos(t) | 1000 | 0,5 |
2. | cos2(t) +sin(t) | 1000 | 0,5 |
3. | tg2(t) | 100 | 0,5 |
4. | arctg2(t) | 100 | 0,5 |
5. | arcsin2(t) | 100 | 0,5 |
6. | arccos2(t) | 100 | 0,5 |
7. | Sin2(t) | 1000 | 0,5 |
8. | Cos2(t) | 1000 | 0,5 |
9. | sin2(t) +cos(t) | 1000 | 1 |
10. | cos2(t) +sin(t) | 1000 | 1 |
11. | tg2(t) | 100 | 1 |
12. | arctg2(t) | 100 | 1 |
13. | arcsin2(t) | 100 | 1 |
14. | arccos2(t) | 100 | 1 |
15. | Sin2(t) | 1000 | 1 |
16. | Cos2(t) | 1000 | 1 |
17. | sin2(t) +cos(t) | 1000 | 2 |
18. | cos2(t) +sin(t) | 1000 | 2 |
19. | tg2(t) | 100 | 2 |
20. | arctg2(t) | 100 | 2 |
21. | arcsin2(t) | 100 | 2 |
22. | arccos2(t) | 100 | 2 |
23. | Sin2(t) | 1000 | 2 |
24. | Cos2(t) | 1000 | 2 |
2.3. Вычислительная система состоит из двух компьютеров. Из предварительного обследования получена информация, что интервал времени между двумя последовательными поступлениями заданий в вычислительную систему подчиняется равномерному закону распределения в некотором интервале (в соответствии с вариантом, табл. 2). Перед каждым компьютером допустима очередь заданий, длина которой не ограничена. Реализовать имитацию работы вычислительной системы для оценки ее эффективности. Время выполнения задания также равномерно распределено в заданном интервале (в соответствии с вариантом). Смоделировать обработку 100 заданий. Оценить характеристики изучаемой вычислительной системы: определить среднее время нахождения задания в очереди; вероятность простоя одного компьютера, вероятность простоя всей системы.
2.4. Осуществить моделирование системы 100 раз. Рассчитать характеристики работы системы по результатам 100 экспериментов.
2.5. Сделать выводы. Оценить эффективность работы вычислительной системы.
Таблица 2.
Вар. | Интервалы поступления заданий | Интервалы обработки заданий |
1. | (1, 11) | (1, 19) |
2. | (1, 13) | (1, 19) |
3. | (1, 7) | (1, 13) |
4. | (1, 5) | (1, 5) |
5. | (1, 7) | (1, 5) |
6. | (1, 9) | (1, 3) |
7. | (1, 3) | (1, 5) |
8. | (1,15) | (1, 19) |
9. | (1, 9) | (1, 5) |
10. | (1, 13) | (1, 15) |
11. | (1,3) | (1,7) |
12. | (1,11) | (1,15) |
3. Пояснения к работе
Процесс, происходящий в фильтре (рис. 1), описывается дифференциальным уравнением:
В уравнении:
K - коэффициент усиления;
х(t) – входной сигнал.
Доказано, что:
Преобразуем математическую модель фильтра (1) к виду, позволяющему применить принцип 
t. В простейшем случае достаточно уравнение (1) аппроксимировать конечно-разностным уравнением:
Что соответствует итерационной формуле:
(3).
Задав начальное условие Z(t0)=Z0 можно построить траекторию процесса, происходящего в фильтре, с целью получения текущего значения производной любой детерминированной функции x(t), подаваемой на вход.
Пример: Пусть шаг =0,01; x(t)=sin(t)+cos(t); Z(0)=0,5; N=1000.
Вычислим К=1/=100. В табл. 3 приведены результаты вычислений. В последнем столбце табл. 3 приведены значения производной, вычисленные аналитически, по формуле: x’(t)=cos(t)-sin(t). На рис. 2 приведены графики исходной функции x(t) и производных x’(t), рассчитанных имитационным методом и аналитическим.
Таблица 3.
i | t |
|
|
| x'(t) |
0 | 0,01 | 1,00995 | 0,5 | 50,9949834 | 0,98995 |
1 | 0,02 | 1,019799 | 1,00995 | 0, | 0,979801 |
2 | 0,03 | 1,029546 | 1,019799 | 0, | 0,969555 |
3 | 0,04 | 1,039189 | 1,029546 | 0, | 0,959211 |
4 | 0,05 | 1,048729 | 1,039189 | 0, | 0,948771 |
5 | 0,06 | 1,058165 | 1,048729 | 0, | 0,938237 |
6 | 0,07 | 1,067494 | 1,058165 | 0, | 0,927608 |
7 | 0,08 | 1,076716 | 1,067494 | 0, | 0,916887 |
8 | 0,09 | 1,085831 | 1,076716 | 0, | 0,906074 |
9 | 0,1 | 1,094838 | 1,085831 | 0, | 0,895171 |
… |
=
Рис. 2
Пояснения к п.2
Пусть рассматриваемая система – библиотека, в которой работает один библиотекарь. Задан интервал прихода между читателями (равномерный 2-6). Задан интервал обслуживания (равномерный 3-4). Реализовать моделирование работы библиотеки по обслуживанию 100 читателей. Рассчитать среднее время ожидания в очереди и вероятность простоя библиотекаря.
1 шаг. Выберем входные, промежуточные и выходные переменные
входные и промежуточные переменные:
Т инт. прих. – интервал между приходом читателей;
Т инт. обс. – интервал облуживания читателя
Т прих. – момент прихода очередного читателя;
Т нач. обс. – момент начала обслуживания очередного читателя;
Т ок. обс. – момент окончания обслуживания очередного читателя;
выходные переменные:
Т ож. – время ожидания читателя в очереди;
Т простоя – время простоя библиотекаря до прихода очередного читателя;
Т ож. ср. – среднее время ожидания читателя в очереди;
Т простоя – суммарное время простоя библиотекаря;
Р простоя – вероятность простоя библиотекаря.
В табл. 2. и рис. 6 приведены данные ручного моделирования обслуживания первых четырех читателей для иллюстрации принципа особых состояний моделирования системы. Интервалы прихода читателей и интервалы обслуживания заданы произвольно.
Таблица 2. Имитационное моделирование обслуживания читателей
Номер шага (читателя) | T инт. прихода | T инт. обсл | T прихода | T начала. обс. | T ок. обс. | T ожидания в очереди | T простоя библиот. |
1 | 3 | 4 | 3 | 3 | 7 | 0 | 3 |
2 | 5 | 3 | 8 | 8 | 11 | 0 | 1 |
3 | 2 | 4 | 10 | 11 | 15 | 1 | 0 |
4 | 3 | 4 | 13 | 15 | 19 | 2 | 0 |
… | |||||||
100 |
Рис. 6.
2 шаг. Разработка блок-схемы алгоритма имитации СМО (рис. 7)
3 шаг. В соответствии с разработанной блок-схемой составляется программа имитации работы СМО на любом языке программирования с использованием любых программных средств.
4 шаг. Расчет показателей эффективности СМО с помощью разработанной программы имитации.
5 шаг. Анализ полученных результатов, оценка эффективности СМО.
Рис. 7. Блок-схема алгоритма имитации работы СМО
Моделирование последовательности значений случайных величин с заданным законом распределения реализуется на основе использования случайных величин, имеющих равномерное распределение в интервале (0, 1).
Для генерации случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале (0,1) в системе Statistica необходимо либо:
- в электронной таблице данных Spreadsheet выделить блок (либо переменную var), который должен быть заполнен случайными числами (которая будет содержать случайные числа);
- выбрать в меню Edit/Fill StandardizeBlock/Fill Random Values;
либо:
- в спецификации (Specs) переменной в поле Long Name-Formula with Functions задать функцию: =rnd(1);
либо:
- программно, используя Statistica Basic (встроенный в систему Statistica язык программирования): v2:= rnd(1)*5+2; в результате в переменной v2 - равномерно распределенные случайные числа в диапазоне 2-7.
5. Вопросы к лабораторной работе
1. Суть принципа и принципа особых состояний 
.
2. В каких случаях при построении имитационной модели применяется принцип , в каких случаях принцип особых состояний ?
3. В каких случаях при моделировании системы предпочтительнее использовать аналитические методы, в каких случаях – имитационные методы?
4. Какие показатели эффективности систем массового обслуживания Вы знаете?
Литература
1. Бусленко сложных систем. – М.: Наука, 1978. – 399 с.
2. Введение в имитационное моделирование и язык СЛАМ II: Пер. с англ. – М.: Мир, 1987. – 646 с.
3. , Яковлев систем: Учеб. для вузов – М.: Высш. шк., 2001. – 343 с.
4. Хачатурова методы системного анализа: учеб. пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 20с.
