2.3. Деформации и напряжения
В точках интегрирования элемента деформации и напряжения вычисляются с помощью уравнений (2.1-1) и (2.2- 4):
{eel} = [B] {u} - {eth} , (2.3-1)
{s} = [D] {eel}, (2.3-2)
где {eel} - деформации, вызывающие напряжения (выходная величина EPEL);
[B] - матрица деформации-перемещения в точке интегрирования;
{u} - вектор узловых перемещений;
{eth} - вектор температурных деформаций;
{s} - вектор напряжений (выходная величина S);
[D] - матрица упругости.
Напряжения в узлах и в центре элемента вычисляются по значениям напряжений в точках интегрирования, см. раздел 13.6.
2.3.1. Функции деформаций
Три значения главных деформаций e0 представляют собой корни кубического уравнения, определяемого компонентами вектора деформаций:
ex - e0 | 1/2 exy | 1/2 exz | ||
1/2 exy | ey - e0 | 1/2 eyz | = 0 | (2.3-3) |
1/2 exz | 1/2 eyz | ez - e0 |
Главные деформации обозначаются через e1, e2, e3 (выходные величины выводятся в виде параметра EPEL с соответствующими номерами 1, 2 и 3). Главные деформации упорядочены таким образом, что e1 является наибольшей положительной деформацией, а e3 - наибольшей отрицательной.
Интенсивность деформаций eI (выходная величина INT) представляет собой абсолютную величину наибольшей из трех разностей: e1 - e2, e2 - e3 или e3 - e1, т. е.
eI = MAX (|e1 - e2|, |e2 - e3|, |e3 - e1|). (2.3-4)
Деформации Мизеса, или эквивалентные деформации eе (выходная величина EQV) вычисляются по формуле
eе = (Ѕ [(e1 - e2)2 + (e2 - e3)2 + (e3 - e1)2]) Ѕ. (2.3-5)
2.3.2. Функция напряжений
Три значения главных напряжений s0 представляют собой корни кубического уравнения, определяемого компонентами вектора напряжений:
sx - s0 | 1/2 sxy | 1/2 sxz | ||
1/2 sxy | sy - s0 | 1/2 syz | = 0 | (2.3-6) |
1/2 sxz | 1/2 syz | sz - s0 |
Главные напряжения обозначаются через s1, s2, s3 (выходные величины - S1, S2 и S3). Главные напряжения упорядочены таким образом, что s1 представляет собой наибольшее положительное напряжение, а s3 - наибольшая отрицательное.
Интенсивность напряжения sI (выходная величина SINT) представляет собой абсолютную величину наибольшей из трех разностей: s1 - s2, s2 - s3 или s3 - s1, т. е.
sI = MAX (|s1 - s2|, |s2 - s3|, |s3 - s1|). (2.3-7)
Напряжения Мизеса, или эквивалентные напряжения sе (выходная величина SEQV) вычисляются по формуле
sе = (Ѕ [(s1 - s2)2 + (s2 - s3)2 + (s3 - s1)2])1/2, (2.3-8)
Эквивалентные напряжения связаны с эквивалентными деформациями следующим соотношением:
sе = 2 Îe G, (2.3-9)
где G = Е /+ n)) - модуль сдвига,
Е – модуль Юнга (вводится как параметр ЕХ командой МР),
n - коэффициент Пуассона (вводится в виде PRXY или NUXY командой МР).
2.3.3. Напряжения на поверхности элемента
Вывод поверхностных напряжений можно осуществить для "свободных" поверхностей двумерных и трехмерных элементов. Термин "свободная поверхность" означает, что такая поверхность не связана с другими элементами и на ней отсутствуют предписанные перемещения или узловые силы, направленные по нормали к поверхности. Для вычисления напряжений на поверхности трехмерных шестигранных твердотельных элементов выполняются следующие шаги:
Вычисляются деформации e’x, e'y, e'xy на поверхности в точках интегрирования Гаусса 2x2 с помощью соотношения:
{e'} = [B'] {u'} - {(eth ')}, (2.3-10)
в котором символом (') обозначена принадлежность деформаций к поверхностной системе координат.
2. Для каждой точки задаются значения напряжений:
s’z = - P, (2.3-11)
s'xz = 0, (2.3-12)
s'yz = 0, (2.3-13)
где P - приложенное давление. Уравнения (2.3-12) и (2.3-13) справедливы в том случае, если поверхность, для которой вычисляются напряжения, является свободной.
3. В каждой точке используются шесть уравнений, задающих материальные свойства элемента:
{s'} = [D'] {e'}, (2.3-14)
чтобы найти оставшиеся неизвестными компоненты вектора деформаций и напряжений (ez', exz', eyz', s'x, s'y, s'xy).
4. Результаты усредняются по всем точкам интегрирования Гаусса.
2.3.4. Выходные величины для оболочечного элемента
Для упругих оболочечных элементов усилия и моменты на единицу длины (в принятом для оболочек формате) определяются следующими формулами:
Tx = t (sx, top + 4sx, mid + sx, bot) / 6 (2.3-15)
Ty = t (sy, top + 4sy, mid + sy, bot) / 6 (2.3-16)
Txy = t (sxy, top + 4sxy, mid + sxy, bot) / 6 (2.3-17)
Mx = t2 (sx, top - sx, bot) /
My = t2 (sy, top - sy, bot) /
Mxy = t2 (sxy, top - sxy, bot) /
Nx = t (sxz, top + 4sxz, mid + sxz, bot) / 6 (2.3-21)
Ny = t (syz, top + 4syz, mid + syz, bot) / 6 , (2.3-22)
где Tx, Ty, Txy – нормальные и сдвигающее усилия на единицу длины (выходные величины ТХ, ТУ, ТХУ),
Mx, My, Mxy – изгибающие моменты на единицу длины (выходные величины МХ, МУ, МХУ),
Nx, Ny – перерезывающие усилия на единицу длины (выходные величины NХ, NУ),
t – толщина в средней точке элемента, вычисленная по нормали к срединной плоскости,
sx и т. д. – нормальные напряжения (выходные величины SХ и т. д.),
sxу и т. д. – сдвиговые напряжения (выходные величины SХУ и т. д.).
Следует заметить, что формат оболочечных обозначений и соглашения, относящиеся к моментам в узлах элемента, находятся в явном противоречии друг с другом. Например, для консольной балки со связанными узлами на свободном конце, ориентированной вдоль оси х и состоящей из оболочечных элементов, расположенных в плоскости х–у, при деформировании в направлении оси z чисто изгибающей нагрузкой имеет место следующее соотношение:
Mx b = FMY, (2.3-23)
где b - ширина балки,
FMY - момент, прикладываемый на свободном конце балки; вводится в виде параметра VALUE командой F с меткой Lab = МY (а не MX).
Использование функций формы оболочечного элемента имеет результатом постоянные поперечные деформации и напряжения по толщине оболочки. Для некоторых оболочечных элементов введено изменение этих величин таким образом, что они достигают максимума в 3/2 от постоянного значения на срединной поверхности и равны нулю на внутренней и наружной поверхностях; см. Главу 14.
Напряжения sz на поверхностях оболочечного элемента принимаются равными (с противоположным знаком) давлению, приложенному к соответствующей поверхности, и линейно меняются между этими значениями.
