Динамическая нагрузка

9. ДИНАМИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА

9.1 Расчет равноускоренно движущегося тела

Если при нагружении конструкции в ее элементах возникают такие ускорения, что возникает сила инерции, пренебречь которой нельзя, то нагрузка называется динамической.

Подъем груза с ускорением.

Груз весом Q ( рис. 9.1,а ) подвешивают на тросе сечением А, изготовленном из материала с удельным весом . Поднимем груз с ускорением а. Согласно принципу Даламбера, в этом случае задачу можно рассматривать как статическую, если к действующим силам прибавить силы инерции Fин=-ma, где - мас-

Рис. 9.1 са груза, g – ускорение силы тяжести.

Если а=0 - это статический случай ( рис. 9.1б ) и силы инерции равны нулю, то .

Здесь - вес части троса ниже сечения.

Если а¹0, то,

Обозначим КД = ( 9.1 )

- динамический коэффициент и получим . Аналогично , . Динамический коэффициент показывает, во сколько раз динамические усилия, нагрузки и перемещения больше, чем статические. Условие прочности в этом случае запишется

.

Подъем балки с ускорением. Рассмотрим два варианта подъема длинного стержня (балки). При этом не будем затрагивать вопросы техники безопасности при подъемно-транспортных работах.

Первый вариант – трос крепится посередине длины балки ( рис. 9.2 ).

Рис. 9.3

Рис. 9.2

В самом начале перемещения, когда балка изгибается, ее различные сечения имеют различные ускорения а, поэтому интенсивность сил инерции по длине балки неравномерна ( рис.Однако при достаточной жесткости балки и большой высоте подъема можно считать ее равномерной. Рис. 9.4

Интенсивность статической нагрузки .

С учетом ( 9.1 ) интенсивность динамической нагрузки . Таким образом, расчетная схема балки имеет вид ( рис. 9.4,а ).

Эпюры изгибающих моментов представлены на рис. 9.4б.

Максимальный изгибающий момент .

Второй вариант – трос раздваивается и крепится к концам балки

( рис. 9.5,а ). Также считаем ускорения а равномерными по длине балки и интенсивность динамической нагрузки . Расчетная схема име-ет вид ( рис. 9.5,б ). Эпюра изгибающих моментов показана на рис.9.5,в.

Рис. 9.5

Максимальный изгибающий момент равен , то есть такой же, как и в первом случае. Однако, вследствие угла a наклона троса, возникает продольная сила, сжимающая балку . С уменьшением угла a сжимающая сила растет. С точки зрения прочности второй вариант менее предпочтителен, так как возникает продольно – поперечный изгиб. Чтобы удовлетворить условиям безопасности и прочности, используют траверзы – специальные конструкции, которые позволяют так крепить изделие при подъеме, чтобы .

9.2 Расчет тонкостенного вращающегося кольца

Рассмотрим относительно тонкое кольцо ( рис. 9.6 ) со средним диаметром D=2R, площадью поперечного сечения А, изготовленное из материала с удельным весом , вращающееся вокруг своей оси с угловым скоростью w. При вращении возникает центробежная сила инерции . Проведем два радиальных сечения кольца I-I и II-II, наклоненные к горизонтальной плоскости под углами и . Рассмотрим участок кольца между этими сечениями.

. Вес этого участка. . Масса вырезанного участка .

Сила, действующая на этот участок

.

Найдем вертикальную составляющую этой силы

Разрежем кольцо горизонтальной плоскостью. Мысленно отбросим нижнее полукольцо и заменим его действие продольными силами, действующими в сечении. Спроек-

Рис. 9.6 тируем все силы, действующие на

верхнее полукольцо, на вертикальную ось.

, отсюда и .

Так как линейная скорость , то из условия прочности , имеем .

Вращение рамы вокруг оси ( рис. Рассмотрим раму, вращающуюся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью w. Центробежные силы инерции, возникающие в единичном участке длины. . Расчетная Рис. 9.7

схема рамы приведена на рис. 9.8,а.

Здесь и - интенсивности динамической нагрузки на ригеле и стойке. Эпюра на ригеле приведена на рис 9.8,б. Найдем продольные силы.

.

Эпюра продольных сил приведена на

рис. 9.8,в. Эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 9.8,г. Тогда условие прочности запишется

Рис. 9.8

9.3. Приближенная теория удара

Удар - это взаимное движение тел в результате их соприкосновения, связанное с резким изменением скоростей точек этих тел за весьма малый промежуток времени. Удар состоит из двух фаз ( рис. 9.9): фазы сближения тел и фазы восстановления ( расхождения тел) . Импульс силы удара равен; . Его легко вычислить, так как он равен изменению количества движения. Но отдельно вычислить Fmax очень сложно,

Рис. 9.9 поэтому обычно применяют приближенную теорию удара, вводя следующие допущения:

1) напряжения прямо пропорциональны перемещениям;

2) удар не упругий, и после удара ударяющее тело и безмассовая система движутся вместе;

3) эпюры перемещений упругой системы от груза Q, падающего с высоты h, в любой момент времени подобна эпюре перемещений той же системы от груза Q, действующего статически ( рис. 9.10 ); 4) местными напряжениями и потерями энергии на контактные деформации

Рис. 9.10 пренебрегаем.

Выведем формулу для динамического коэффициента. Пусть груз Q па-дает с высоты h и соприкасается с упругой системой, затем движется с ней и в тот момент, когда система перемещается на максимальную величину , они останавливаются. В момент остановки скорость системы равна нулю, то есть кинетическая энергия системы равно нулю, и полная энергия будет равна потенциальной энергии деформации. Эта энергия будет равна работе внешних сил . При статическом действии

силы потенциальная энергия деформации равна .

Так при ударе груза Q и действии силы F деформации системы одинаковы, то и величины потенциальной энергии деформации тоже одинаковы. Приравнивая эти выражения, получим

; ; .

Решение последнего уравнения . Знак минус не подходит, так как динамическое перемещение больше статического. Разделим обе части этого уравнения на и найдем динамический коэффициент при ударе

Условие прочности при ударе запишется .

При внезапном приложении нагрузки h = 0, и KД = 2.

Примеры расчетов на удар. Сжимающий удар ( рис. 9.11 ).

Статическое перемещение -.

Динамический коэффициент .

Динамические напряжения .

Рис. 9.11

Изгибающий удар в середину однопролетной балки ( рис. 9.12 ).

Статический прогиб
Динамические напряжения

. Рис. 9.12

Более точные результаты получаются, если учесть массу ударяемой системы. Пусть груз весом Q1 падает с высоты h на систему весом Q2.

Тогда .

Если ударяемая система является системой с распределенной массой, то необходимо привести массу к точке удара. Для этого используется коэффициент приведения b, показывающий, какую часть массы системы нужно приложить в данной точке невесомой системы, чтобы инерционность этих систем была бы одинаковой. При продольном ударе b = 1/3, при изгибающем ударе в середину пролета балки b = 17/35. При этом динамический коэффициент запишется : .