АСОИУ

ТОАзУ

7-е занятие по MATLAB

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

Преобразования формы моделей линейных динамических систем.

Цель работы: изучение различных форм представления линейных моделей динамических систем управления. Анализ динамических свойств исходных и преобразованных моделей. Закрепление навыков в применении функций системы MATLAB для анализа переходных характеристик линейных динамических систем.

I. Каноническое описание динамических систем в форме Фробениуса.

Если имеется описание объекта управления как "вход-выход", то это значит, что объект задается дифференциальным уравнением высокого порядка (1) или соответствующей рациональной передаточной функцией (2).

(1)

(2)

где — выходная координата объекта, — входное управляющее воздействие.

Полагая , уравнение (1) может быть приведено к следующей системе дифференциальных уравнений первого порядка:

(3)

Систему (3) можно представить в матричной форме вида:

(4)

где Х — n-мерный вектор состояния, U — скалярный вектор управления, матрицы

A, В имеют вид в так называемой форме Фробениуса:

(5)

При этом уравнение выхода системы (4) для системы (3) будет вида

где матрица . Размерность матриц соответственно равны n´n, n´1, 1´n.

Задание 1.

¾  модель объекта с передаточной функцией представить в пространстве состояний (ss) с описанием в форме Фробениуса.

¾  построить переходные (step) и импульсные (impulse) характеристики по передаточной функции и для системы вида (4), представленной в форме Фробениуса.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

¾  проанализировать переходные характеристики при различных коэффициентах передаточной функции или, что равносильно при различных коэффициентах матрицы А: и т. д.

¾  анализ переменных состояния произвести при различных матрицах С: [0 1 0], [0 0 1].

¾  с помощью step решить систему (3) и построить графики изменения переменных состояния.

¾  систему (3) решить численно с помощью ode45 и построить переходную функцию (т. е. когда на входе действует единичная функция). Построить также графики изменения переменных состояния.

¾  систему (3) решить с помощью lsim построить переходную функцию и изменения переменных состояния.

¾  сравнить результаты анализа переходных функций для всех проведенных способов, построив эти функции в одной системе координат с временным сдвигом.

II. Представление в пространстве состояний объекта управления

с передаточной функцией, имеющей полином в числителе.

Запишем передаточную функцию:

(6)

Дифференциальное уравнение для объекта управления с учетом (6) можно представить в операторной форме:

(7)

Тогда левую и правую части приравняем и с обратными полиномами получим следующие соотношения:

(8)

(9)

Вводя обозначения и т. д., получим следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка:

(10)

Система (10) имеет описание в форме Фробениуса с матрицами А, В вида

(11)

Операторная связь выходной координаты объекта управления с имеет вид:

(12)

или, переходя к новым переменным состояния, получим

(13)

По соотношению (13) и по решению системы (10) можно найти решение дифференциального уравнения n-го порядка.

Задание.

¾  по передаточной функции составить и решить систему вида (10). Составить уравнение выхода и построить переходные характеристики.

¾  сравнить представление (10) для заданной передаточной функции с представлением системы MATLAB по команде ss. Сравнить также переходные характеристики на основе решения ode45 и step.

¾  получить решение системы (10) с помощью lsim для различных входных воздействий (экспоненциальных, тригонометрических, тригонометрических с однополупериодным выпрямлением и их комбинаций) и сравнить результаты (в графическом виде) при непосредственном использовании передаточной функции по команде tf.

¾  вычислить с помощью команды eig корни характеристического уравнения полученной системы и полюса заданной передаточной функции.

III. Представление в пространстве состояний объекта управления

по рекуррентным соотношениям.

Приводимые ниже рекуррентные соотношения позволяют преобразовывать дифференциальные уравнения высокого порядка с производными в правых частях к нормальным системам дифференциальных уравнений первого порядка.

Задание.

Дифференциальное уравнение 4-го порядка

(14)

привести к системе диф. уравнений первого порядка с матрицами вида

(15)

по следующим рекуррентным соотношениям общего вида:

(16)

где — коэффициенты левой части дифференциального уравнения n-го порядка (см. уравнение 14), — коэффициенты правой части дифференциального уравнения, соответственно при первом управлении и при втором. Порядок дифференциального уравнения 14 равен 4, т. е. n=4.

Задание.

¾  по уравнению (14) составить систему дифференциальных уравнений с матрицами вида (15) при "ручном" или пошаговом расчете матрицы В.

¾  сформировать уравнение выхода.

¾  сравнить переходные характеристики по передаточной функции для (14) и полученной системы с матрицами вида (15) по соотношениям (16). Передаточную функцию следует формировать с помощью команды tf как функцию с двумя входами.

¾  сравнить переходные характеристики полученной системы с матрицами вида (15) по соотношениям (16) и по команде ss относительно сформированной передаточной функции.

¾  вычислить корни характеристического уравнения сформированной системы и полюса сформированной передаточной функции.

¾  вычислить корни характеристического уравнения сформированной системы и корни системы, полученной по команде ss.