Лекция № 5 (02.03.10)

Лекция № 5 (02.03.10)

5.4.2. Фундаментальная система решений

Определение. Фундаментальной системой решений (сокращённо ФСР) данной однородной линейной системы уравнений называется любой базис её подпространства решений.

5.4.3. Размерность подпространства решений

Лемма 1. При элементарных преобразованиях над строками матрицы линейно зависимые столбцы переходят в линейно зависимые.

Доказательство.

Пусть A = (a1, a2, …, an) − векторная запись данной матрицы. После совершения нескольких элементарных преобразований матрицу А мы привели к матрице В. Пусть aj1, aj2, …, ajk − линейно зависимые столбцы данной матрицы, где 1 ≤ j1 < j2 < … < jk ≤ n. Тогда из определения линейной зависимости следует, что λ1aj1 + … + + λkajk = 0 для некоторых коэффициентов λ1, … λk, не все из которых равны нулю.

Последнее равенство можно представить по-другому:

0∙a1 +…+ 0∙aj1−1 + λ1aj1 + … + λkajk +…+ 0∙an = 0 −

в результате получили линейное соотношение между всеми столбцами данной матрицы А. По теореме о сохранении линейных соотношений столбцы матрицы В связаны тем же соотношением (то есть с теми же коэффициентами), что и в данной матрице А:

0∙b1 +…+ 0∙bj1−1 + λ1bj1 + … + λkbjk +…+ 0∙bn = 0;

следовательно, λ1bj1 + … + λkbjk = 0 (получили линейную зависимость столбцов матрицы В).

Лемма 2. При элементарных преобразованиях над строками матрицы линейно независимые столбцы переходят в линейно независимые.

Доказательство. Пусть aj1, aj2, …, ajk − линейно независимые столбцы данной матрицы А. Проведем доказательство методом от противного. Все элементарные преобразования обратимы. Допустим, что bj1, bj2, …, bjk линейно зависимы, тогда по лемме 1 имеем, что соответствующие столбцы данной матрицы А тоже линейно зависимы, что противоречит условию леммы.

Лемма 3. При элементарных преобразованиях над строками матрицы базис системы столбцов переходит в базис системы столбцов.

Доказательство. Пусть bj1, bj2, …, bjk − система столбцов, получившаяся после проведения элементарных преобразований на месте базисных столбцов aj1, aj2, …, ajk данной матрицы А. Докажем, что эта система является базисом системы всех столбцов матрицы В.

1. Эта система является подсистемой системы всех столбцов матрицы В.

2. По лемме 2 эти новые столбцы линейно независимы, как и сооветствующие (базисные) столбцы матрицы А.

3. Каждый столбец bj матрицы В линейно выражается через столбцы bj1, bj2 , …, bjk . Докажем это. Если j – одно из чисел j1, j2 , …, jk , то доказываемое утверждение триви­ально. Если же нет, то имеет место равенство

aj = μ1aj1 + … + μkajk,

равносильное равенству

aj – μ1aj1– … – μkajk = 0.

Дополняя его, как и выше, нулями, получим линейное соотношение между столбцами матрицы А , а тогда

bj = μ1bj1 + … + μkbjk

(т. к. линейные соотношения между столбцами сохраняются).

Предложение 1. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками.

Доказательство следует из определения ранга и леммы 3.

Предложение 2. Ранг ступенчатой матрицы равен числу её главных столбцов, числу главных элементов и числу ненулевых строк.

Доказательство. Доведём данную матрицу элементарными преобразованиями над строками до главной ступенчатой матрицы В (мы можем отбросить нулевые строки, что также не влияет на ранг) и запишем главные столбцы:

bj1 = , bj2 = , …, bjk = ,

причем высота столбцов и их количество равно r − рангу матрицы. При этом в процессе преобразований ранг меняться не будет, и места главных столбцов также не изменятся. Вычислим теперь произвольную линейную комбинацию:

λ1bj1 + … + λkbjk = λ1+ λ2+ … + λr= .

Из этого равенства легко доказываются все пункты определения базиса.

Итак, bj1, bj2 , …, bjk − базис. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь однородную систему линейных уравнений:

(1)

Решения системы (1) образуют линейное подпространство L решений в Rn.

Теорема. Размерность подпространства решений однородной линейной системы уравнений равна числу её свободных неизвестных.

(dim L = числу свободных неизвестных = n – число главных неизвестных = n – r, где r – ранг матрицы данной системы.)

Доказательство. Главные неизвестные обозначим y1, y2, …, yr . Свободные – z1, z2, …, zn–r .

Запишем выражения главных неизвестных через свободные:

y1 = l11z1 + … + l1, n–r zn–r ;

… … … …

yr = lr1z1 + … + lr, n–r zn–r .

Составим теперь n – r частных решений. Для этого придадим свободным неизвест­ным указанные ниже значения (первый столбец соответствует первому решению x1, etc.), а значения главных неизвестных вычислим по вышеприведённым формулам:

z1 = 1	z1 = 0	…	z1 = 0
z2 = 0	z2 = 1	…	z2 = 0
…	…	…	…
zn−r−1 = 0	zn−r−1 = 0	…	zn−r−1 = 0
zn−r = 0	zn−r = 0	…	zn−r = 1
x1	x2	…	xn−r

Из построенных решений, рассматриваемых, как обычно, как векторы простран­ства Rn, можно составить матрицу:

B = (x1, x2, …, xn−r).

Мы докажем, что эти решения являются базисом подпространства решений. Возь­мём линейную комбинацию:

a1 x1 + a2 x2 + … an–r xn−r.

Теперь переставим строки так, чтобы сначала шли главные неизвестные, а потом свободные. Тогда

a1 x1 + a2 x2 + … an–r xn−r = a1+ a2+ … + an–r =.

Последний вектор также является решением системы (т. к. L – подпространство), но с переставленными номерами неизвестных.

Из предыдущего равенства легко доказывается линейная независимость.

Предположим, что x Î L, то есть является решением системы (1). Тогда для чисел z1, z2 , …, zn−r (значений свободных неизвестных для этого решения) вектор

x* = z1 x1 + z2 x2 + … zn–r xn−r =

также является решением системы (1).

У решений x и x* совпадают значения свободных неизвестных, а, следовательно, совпадают значения и главных неизвестных. Отсюда следует, что x1, x2, …, xn−r − базис подпространства, QED.

5.4.4. Связь между решениями однородной и неоднородной линейных систем уравнений

Теорема. Множество всех решений линейной неоднородной системы можно полу­чить, если ко множеству всех решений линейной однородной системы прибавить одно и то же частное решение неоднородной системы.

Доказательство.

(1)

(2)

Пусть S – множество всех решений системы (1), L – множество всех решений сис­темы (2).

x* = Î Rn − частное решение системы (1).

S, L Í Rn, L ≤ Rn.

Теперь нужно доказать следующее равенство:

S = L + x* = {z + x*, z Î L}.

Для этого перепишем системы (1) и (2) в векторном виде:

x1a1 + … + xnan = b (1*);

x1a1 + … + xnan = 0 (2*).

Докажем сначала, что L + x* Í S. Пусть y Î L + x*. Для проверки нашего утвержде­ния подставим y = z + x* (где z Î L) в соотношение (1*):

y1a1 + … + ynan = (z1 + x*1)a1 + … + (zn + x*n)an = (z1a1 + … + znan) +

+ (x*1a1 + … + x*nan) = 0 + b = b.

Остаётся доказать, что L + x* Ê S. Пусть y Î S. Докажем, что вектор z = = y − x* Î L. Для того чтобы это доказать, нужно подставить z в соотношение (2*):

z1a1 + … + znan = (y1 − x*1)a1 + … + (yn − x*n)an = (y1a1 + … + ynan) −

− (x*1a1 + … + x*nan) = b − b = 0.

Следовательно, y = z + x* Î L + x*, QED.