Факультативное занятие «Применение свойства ограниченности функций»

Факультативное занятие «Применение свойства ограниченности функций»

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами составляет значительную часть школьного курса математики, но временные рамки урока не позволяют рассмотреть все вопросы.

Кроме того, обязательным минимумом содержания обучения математике, заданным государственным стандартом для основной школы, определен учебный материал для обязательного рассмотрения, но не для обязательного усвоения (например, нестандартные методы решения уравнений и неравенств, методы решения уравнений  и неравенств с параметром и т. д.).

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятиями уравнений и неравенств, их изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию – линию уравнений и неравенств. Существует три основных направления развертывания данной линии в школьном курсе математики.

Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Уравнения и неравенства являются основной частью математических средств, используемых при решении текстовых задач.

Теоретико-математическая направленность раскрывается в двух аспектах: в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем, и в изучении обобщенных понятий и методов относящихся к линии в целом.

Линия уравнений и неравенств также тесно связана с функциональной линией. С одной стороны – применение методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции. С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств.

В курсе алгебры, изучаемом нами под редакцией Мордковича, функционально-графическая линия выбрана приоритетной. Весь материал строится по жесткой схеме:функция-уравнения-преобразования.

В ЕГЭ достаточно часто встречаются задания, решаемые с помощью применения свойств функций. Поэтому целесообразно этот материал вынести на курсы по выбору. Но все-таки я предпочитаю некоторые такие задания рассматривать на уроках, начиная с 9 класса.

Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств

-Использование свойства ограниченности.

-Использование области определения функции.

-Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств.

-Использование понятия области изменения функции.

-Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций.

СЛАЙД 2.

Мое выступление появящено лишь одному из нестандартных методов решения уравнений и неравенств основанному на свойстве ограниченности функций, входящих в уравнение (неравенство). Предлагаемые мной задачи можно рассматривать на уроках, отведенных для подготовки учащихся к ЕГЭ (три-четыре урока), или использовать по одной – две задачи на уроке, также данный материал можно использовать на факультативном занятии (или на занятии элективного курса).

Уже в 9 классе при изучении свойства ограниченности обращаю внимание на важность этого свойства и возможность его использования при

-нахождение наименьшего и наибольшего значения функции;

-нахождении множества значений функции.

СЛАЙД3.

Рассматриваются решения некоторых заданий. Предварительно следует повторить основные определени. СЛАЙД 4.

На СЛАЙДАХ 5-9 рассматриваются задания на нахождение наименьшего или наибольшего значений функции.

СЛАЙД 10.

Применение свойства ограниченности функций к решению уравнений и неравенств.

1. МЕТОД МАЖОРАНТ (МЕТОД ОЦЕНКИ)

Основная идея метода мажорант состоит в следующем:

Пусть мы имеем уравнение и существует такое число М, что для любого х из области определения имеем . Тогда уравнение равносильно системе

Пример 1.1. Решите уравнение .

Решение. Оценим обе части уравнения.

При всех значениях х верны неравенства .

Следовательно, данное уравнение равносильно системе .

Полученная система не имеет решений, так как не удовлетворяет второму уравнению.

Ответ:

Пример 1.2. Решить уравнение .

Решение. Оценим обе части уравнения.

Поскольку , равенство выполняется тогда и только тогда, когда .

Решением первого уравнения системы являются значения . При этих х найдем .

Следовательно, решение системы.

Ответ: .

Пример 1.3. Решить неравенство .

Решение.

Пусть , тогда неравенство примет вид .

Поскольку и , исходное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда .

Обратная замена: х + 1 = 0 .

Ответ: - 1.

Пример 1.4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения.

Решение.

Перепишем уравнение в виде . При всех значениях х выражение поэтому .

При всех значения х выражения и . Поэтому .

Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4.

Получаем систему:

Ответ: при

2. «ВСТРЕЧА НА КРАЮ»

Разновидностью метода мажорант являются задачи («встреча на краю») в которых множества значений левой и правой частей уравнения или неравенства имеют единственную общую точку, являющуюся наибольшим значением для одной части и наименьшим для другой. 

Как начинать решать такие задачи? Прежде всего – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду: путем разложения на множители, избавлением от модулей, логарифмов и т. д. Затем необходимо ещё раз внимательно прочитать задание, попробовать нарисовать графический образ функций входящих в задачу.

Пример 2.1. Решить уравнение .

Решение. Корень уравнения легко угадать – это x = 1. Но доказать его единственность из соображений монотонности не удается, потому что ни левая, ни правая части уравнения не являются монотонными функциями. Здесь используется другая идея. Преобразуем уравнение:   . Наибольшее значение правой части полученного уравнения равно 1 и принимается в точке x = 1. Выражение под логарифмом равно , при x > 0; (напомним вывод этого известного неравенства: ). Поэтому левая часть достигает при x = 1 своего наименьшего значения, которое также равно 1. Вывод: равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 1, т. е. при x = 1.

Пример 2.2. Решить уравнение .

1 способ.

Решение: Заметим, что левая часть уравнения не превосходит единицы, в то время как правая часть не меньше единицы. Следовательно, исходное уравнение имеет решение, только если обе его части равны единицы. Это возможно только при .

Ответ: .

2 способ. Данное уравнение можно решить графически. Для этого построим в одной системе координат графики правой и левой частей уравнения, т. е график функции и график функции . Из рисунка видно, что исходное уравнение имеет решение, только при .

Ответ: .

Пример 2. 3. Решить уравнение .

Решение.

Так как при любом значении х:

то данное уравнение выполняется только в том случае, если выполняется система . Первое уравнение системы имеет единственный корень х = 1, но этот корень не удовлетворяет второму уравнению. Поэтому система решений не имеет.

Ответ: Æ

Пример 2. 4. Решить уравнение .

Решение:

Так как , то левая часть уравнения принимает значение от до 2. Для правой части (в силу неравенства для суммы двух взаимно обратных чисел) выполнено .

Поэтому уравнение имеет решения, если и только если одновременно выполнены два условия . Решая эту систему, получаем

Ответ:

Пример 2.5. Найдите все значения параметра а при каждом из которых неравенство имеет решение.

Решение.

Оценим обе части неравенства. Для этого преобразуем правую часть неравенства, выделив полный квадрат . Квадратичная функция принимает наименьшее значение в вершине, оно равно 4 и достигается при , то есть при .

Множество значений левой части неравенства составляет промежуток , следовательно, наибольшее значение равно 4.

Значит, неравенство выполняется в случае равенства обоих частей, и только в том случае если (то есть происходит «встреча на краю»).

Ответ:

Пример 2.6. Найдите все значения параметра а при которых уравнение

имеет решение.

Решение.

Оценим обе части уравнения.

Найдем множество значений левой части исходного уравнения: так как , то , тогда, следовательно, наименьшее значение равно 5.

В правой части данного уравнения – квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви направлены вниз.

Выделив, полный квадрат получаем: . Следовательно, наибольшее значение правой части равно 5 и достигается в вершине при , то есть при .

Итак, исходное уравнение имеет решение при .

Ответ: 5.

Пример 2.7. Решить уравнение .

Решение.

Левая часть уравнения не больше 2, так как , значит . Равенство возможно при условии .

Правая часть должна быть положительна, так как , а значит .

Кроме того, .

Тогда равенство обеих частей уравнения возможно лишь при условии .

Отсюда находим, что .

Ответ: .

Пример 2.8. Решите уравнение .

Решение.

Для решения уравнения оценим его части: и . Поэтому равенство возможно только при условии.

Сначала решим второе уравнение.

Получаем: , , , или . Корни этого уравнения и .

Проверим справедливость первого равенства, подставив эти корни.

При получаем: (верное равенство).

Для имеем: (неверное равенство).

Итак, данное уравнение имеет единственный корень .

Ответ: 0.