Типовой расчёт № 2
Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производной
Образец выполнения типового расчёта № 2.
Задание 1. Вычислить приращение функции 
в точке 
, соответствующее приращению аргумента 
.
Решение:
Воспользуемся формулой: 
. Для данной функции получим: 
.
Ответ: 
.
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. 
Решение:
.
. 2.2. 
.
Решение:
Используем правило дифференцирования сложной функции: 
.
.
Заметим, что этот результат можно было получить, представив функцию в виде 
.
2.3. 
.
Решение:
Воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: 
. Получим 
.
2.4. 
.
Решение:
Снова используем формулу производной сложной функции: . Получим: 
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию 
.
Решение:
Продифференцируем обе части данного уравнения по переменной 
, учитывая при этом, что 
является функцией аргумента. Получим:
. Из полученного равенства выразим производной
: 
, откуда 
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Решение:
Используем правило дифференцирования функции, заданной параметрически: 
. Получим: 
.
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 
.
Решение:
Используем приближённое равенство: 
, верное при малых значениях 
. Откуда: 
.
Преобразуем сначала исходное выражение: 
. Положим 
, , 
. Производная равна: 
, 
. Окончательно имеем: 
.
Задание 6. Найти вторую производную функции 
.
Решение:
Сначала находим первую производную: 
.
Вычисляем вторую производную: 
.
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке 
.
Решение:
Запишем уравнение касательной: 
. В нашем случае 
, 
. Подставляем в уравнение: 
, откуда 
- уравнение касательной.
Запишем уравнение нормали: 
. Подставив в это уравнение числовые данные: 
, откуда 
- уравнение нормали.
Задание 8. Найти производную функции 
с помощью логарифмического дифференцирования.
Решение:
Запишем общую формулу логарифмической производной: 
. В нашем случае: 
Задание 9. Исследовать функцию и построить ее график: 
Решение.
Функция определена и непрерывна в интервале (0;+¥). В граничной точке 
области определения функция имеет бесконечный разрыв, так как 
.
Так как в точке функция имеет бесконечный разрыв, то прямая является вертикальной асимптотой. Найдем уравнение наклонной асимптоты 
(если она существует).
;
.
(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).
Итак, 
и уравнение асимптоты 
. Таким образом, график имеет в качестве асимптот оси координат.
Найдем производную функции и критические точки:
. Стационарная критическая точка: 
. Исследуем знак производной на интервалах(0;е) и (е;¥).
Составим таблицу:
Экстремум функции: 
.
Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:
, 
при 
.
Определим знак второй производной в интервалах 
и 
|
|
 |
 |
Составим таблицу:
y(
)=3/(
) » 0,33
График пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек пересечения с осью ординат нет. Строим эскиз графика функции:
|
 | |
| |
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке 
.
Решение:
Найдём область определения функции: 
. Далее, продифференцируем функцию: 
. Найдём критические точки: 
. Одна из них, 
, принадлежит рассматриваемому промежутку. Определим значение функции в границах отрезка и в этой точке:
. Таким образом, 
.
Вариант № 1.
Задание 1. Вычислить приращение функции 
в точке 
, соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. 
. 2.2. 
. 2.3. 
. 2.4. .
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию 
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 
.
Задание 6. Найти вторую производную функции 
.
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке 
.
Задание 8. Найти производную функции 
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию 
и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке 
.
Вариант № 2.
Задание 1. Вычислить приращение функции 
в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. 
. 2.2. 
. 2.3. 
. 2.4. 
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 
.
Задание 6. Найти вторую производную функции 
.
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке .
Задание 8. Найти производную функции 
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию 
и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке 
.
Вариант № 3.
Задание 1. Вычислить приращение функции 
в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. 
. 2.2. 
. 2.3. 
. 2.4. 
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 
.
Задание 6. Найти вторую производную функции .
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке .
Задание 8. Найти производную функции 
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию 
и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке 
.
Вариант № 4.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента 
.
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. 
. 2.2. 
. 2.3. 
. 2.4. 
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 
.
Задание 6. Найти вторую производную функции 
.
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке 
.
Задание 8. Найти производную функции 
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию 
и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке 
.
Вариант № 5.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. 
. 2.2. 
. 2.3. 
. 2.4. 
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 
.
Задание 6. Найти вторую производную функции 
.
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке .
Задание 8. Найти производную функции 
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию 
и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке 
.
Вариант № 6.
Задание 1. Вычислить приращение функции 
в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. 
. 2.2. 
. 2.3. 
. 2.4. 
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 
.
Задание 6. Найти вторую производную функции 
.
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке 
.
Задание 8. Найти производную функции 
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию 
и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке 
.
Вариант № 7.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. 
. 2.2. 
. 2.3. 
. 2.4. 
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 
.
Задание 6. Найти вторую производную функции 
.
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке .
Задание 8. Найти производную функции 
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию 
и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Вариант № 8.
Задание 1. Вычислить приращение функции 
в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. 
. 2.2. 
. 2.3. 
. 2.4. 
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 
.
Задание 6. Найти вторую производную функции 
.
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке .
Задание 8. Найти производную функции 
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию 
и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке 
.
Вариант № 9.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента 
.
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. 
. 2.2. 
. 2.3. 
. 2.4. 
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 
.
Задание 6. Найти вторую производную функции 
.
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке 
.
Задание 8. Найти производную функции 
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию 
и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке .
Вариант № 10.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. 
. 2.2. 
. 2.3. 
. 2.4. 
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 
.
Задание 6. Найти вторую производную функции 
.
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке .
Задание 8. Найти производную функции 
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию 
и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке 
.
Вариант № 11.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию .
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения .
Задание 6. Найти вторую производную функции .
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Задание 8. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Вариант № 12.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения .
Задание 6. Найти вторую производную функции .
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Задание 8. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Вариант № 13.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения .
Задание 6. Найти вторую производную функции .
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Задание 8. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Вариант № 14.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения .
Задание 6. Найти вторую производную функции .
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Задание 8. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Вариант № 15.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения .
Задание 6. Найти вторую производную функции .
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Задание 8. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
