Для измерения смещения сооружения способом направлений необходимо установить не менее трех опорных пунктов I, II, III (рис. 4.3.17). При этом один из них, например III, желательно расположить так, чтобы направления с него на наблюдаемые точки (1, 2, 3, 4) были примерно перпендикулярны к направлению ожидаемого смещения сооружения, а угол засечки был не менее 30°.
В первом цикле на каждом из двух-трех опорных пунктов наблюдения измеряют способом круговых приемов горизонтальные углы между направлением, принятым за начальное, и направлениями на контрольные знаки (рис. 4.3.17). Постоянство значения угла между направлениями на ориентирные пункты служит контролем измерения горизонтальных углов.
Рис. 4.3.17. Способ отдельных направлений
Для определения величины и направления смещения по способу отдельных направлений сначала вычисляют значения частных поперечных смещений 
(рис. 4.3.18) контрольного знака. Величина частного поперечного смещения знака с каждого опорного пункта определяется по расстоянию и изменению ориентирного направления между циклами измерений по формулам:
, (4.3.42)
где 
,… – разности горизонтальных углов между направлениями на контрольные знаки в пунктах I, II,…;
,… – соответствующие горизонтальные расстояния от пунктов I, II
и т. д. до контрольного знака, которые достаточно определить с точностью порядка 1 : 1000.
По составляющим смещений вычисляют величину полного смещения знака между циклами из первой пары пунктов наблюдения:
(4.3.43)
где угол засечки
.
Аналогично определяют значение полного смещения 
из второй комбинации засечки (пункты II и III).
Из двух значений 
и 
находят среднее, принимаемое за окончательное значение величины смещения между циклами:
. (4.3.44)
Точность определения составляющих (частных) смещений из первой комбинации в каждом цикле оценивают по формулам:
, (4.3.45)
где 
– средняя квадратическая погрешность (СКП) измерения горизонтальных углов.
По таким же формулам определяют СКП частных поперечных смещений из второй комбинации. Точность определения полного смещения из каждой комбинации можно оценить по формулам:
(4.3.46)
Затем определяют СКП среднего значения полного смещения в i-м цикле:
. (4.3.47)
В каждом цикле измерений должна контролироваться устойчивость опорных знаков. Для этой цели используют обратные засечки, трилатерацию и т. д. Во всех циклах ориентирные направления должны быть одни и те же. Смещения сооружения определяются только с устойчивых пунктов. Если стабильность положения опорного пункта, расположенного на продолжении оси сооружения, не вызывает сомнения, то величина смещения может быть получена именно с этого пункта, два других будут служить для контроля. Основной недостаток способа – низкая точность измерений смещений при значительных расстояниях, что требует большого числа приемов измерения углов. При большом числе контролируемых знаков и расстояниях более 500 м способ направлений считается нерентабельным.
Способ угловых засечек [176, 188, 228 и др.] используется при контроле смещений сооружений гидроузлов в случаях «недоступных расстояний» при небольших линиях визирования. Прямую засечку применяют при определении смещений оползней, точек низовой грани плотины. Наилучшее применение она нашла при контроле вертикальных и горизонтальных смещений контрольных знаков тонкостенных арочных плотин небольшой и средней высоты. Обратная засечка используется при контроле земляных плотин.
Способ основан на измерении линий и углов, т. е. является разновидностью триангуляционного способа, и определении координат отдельных контрольных знаков на сооружении с ближайших опорных пунктов I, II, III (рис. 4.3.19),
а также привязки последних к более отдаленным неподвижным пунктам.
На рисунке все опорные пункты и контрольные знаки образуют специальную тригонометрическую сеть с малыми длинами сторон, в которой с большой точностью измеряются углы, решаются треугольники и вычисляются координаты пунктов. Горизонтальные смещения (величина и направление) определяются по разности координат двух циклов аналитическим путем. Предельные длины линий визирования должны находиться в зависимости от требуемой точности определения смещений и погрешности измерения направлений.
Способ створных засечек (малых углов) применяется для контроля смещений отдельных характерных контрольных знаков на гребне арочных плотин, а также для контроля смещений опорных пунктов створа при размещении их в зоне возможных деформаций грунта.
На ряде плотин прямолинейной формы определение смещений производят совместным методом триангуляции и створа. Триангуляцией определяют смещения опорных пунктов, створными методами – смещения контрольных пунктов относительно опорных. Триангуляционные измерения занимают много времени.
В работе [89] предлагается определять смещения опорных пунктов створа методом измерения малых углов с исходных пунктов, заложенных в створе
с опорным. При этом возникают два случая:
1. Опорный пункт створа А (рис. 4.3.20) расположен по одну сторону от исходных пунктов В, С, Е и Р.
2. Опорный пункт створа А расположен между исходными пунктами В, С, Е и Р (рис. 4.3.21).
В первом случае по измеренным малым углам первого цикла наблюдений 
(рис. 4.3.20) находят величины нестворностей пунктов E и F относительно створов АВ и АС по формулам:
 |
где
– расстояния между соответствующими пунктами;
=
.
По измеренным малым углам второго цикла измерений 
находят аналогично величины нестворностей 
и 
.
 |
Рис. 4.3.20. Схема измерения смещения опорного пункта створа «А»
способом малых углов (расположение по одну сторону
от исходных пунктов)
Рис 4.3.21. Схема измерения смещений опорного пункта «A»
способом малых углов (расположение между
исходными пунктами)
 |
Составляющие
величины смещения e определяют из подобных треугольников по формулам:
Во втором случае составляющие 
(рис. 4.3.21) величины смещения e определяют как разность нестворностей второго и первого циклов по формулам:
 |
где
– расстояния между соответствующими пунктами;
– измеренные малые углы первого цикла;
– измеренные малые углы второго цикла.
При наблюдениях данным способом могут возникнуть три частных случая.
Первый частный случай. Малые углы 
измеряют только с опорного пункта на исходные пункты, расположенные по одну сторону от опорного (рис. 4.3.20) ВЕ >АЕ, FC >AF.
Составляющие определяют в этом случае из формул:
 |
Второй частный случай. Малые углы 
измеряют только с удаленных исходных пунктов АЕ >ВЕ, АF >FС (рис. 4.3.20). В этом случае определяют по формулам:
Третий частный случай. Малые углы измеряют с ближних исходных пунктов Е и F на опорный пункт створа, расположенный между исходными пунктами (рис. 4.3.21) АЕ >АВ, АF >АС.
Составляющие 
находят из формул:
 |
Определение величин смешений можно проводить также в иной комбинации в зависимости от расположения опорных и исходных пунктов [89].
Величину смешения e и угол 
, образованный этой величиной с осью X (рис. 4.3.22), а также величины смещения по осям координат Х и Y можно определить графически или аналитически. При графическом определении величин смещений на листе бумаги по измеренным углам 
прочерчивают направления с точки А, расположенной в начале координат, на исходные пункты В и С. Линейные величины 
и т. д., вычисленные в миллиметрах, изображают в виде векторов, откладываемых в натуральном или увеличенном масштабе. Величина е определяется по правилу перпендикуляров от векторов . Перпендикуляры либо пересекутся в одной точке А', либо образуют фигуру погрешностей (при числе створов больше двух), в центре тяжести которой намечают точку А'. Вектор 
будет графически выражать полную величину и направление смещения. По е и находят смещения по осям координат X и Y.
Рис. 4.3.22. Схема определения величин смещений
При аналитическом методе по 
… и углам 
… величины 
определяют по формулам:
.
Средние квадратические погрешности определения величин смещения по осям координат находят по формулам:
Первый случай
Второй случай
.
Первый частный случай
Второй частный случай
Третий частный случай
где
; (4.3.60)
m – средняя квадратическая погрешность измерения малого угла.
Из формул (4.3.55) – (4.3.60) видно, что средние квадратические погрешности смещений зависят от углов 
и могут меняться в широких пределах. Наибольшая точность величин смещений получается при расположении створов по осям координат.
Экспериментальные и производственные работы по определению величин смещений опорных пунктов створа методом измерения малых углов, проведенные автором на Уч-Курганской ГЭС, показали, что при одинаковой точности определения величин смещений, сроки работ, по сравнению с методом триангуляции, предназначенной для этих же целей, сокращаются в 5 – 6 раз.
Наилучшие результаты метод измерения малых углов для определения смещений опорных пунктов створа дает в сочетании с методом триангуляции при работах по изучению деформаций плотин в зависимости от изменения гидростатической нагрузки. В этом случае метод малых углов позволяет проводить замеры с необходимой частотой и высокой точностью, а также получать величины смещений в короткие сроки. Определение смещений исходных створных пунктов осуществляется и методом триангуляции. Такие наблюдения проводятся через более длительные сроки.
Способ триангуляции. При возведении гидротехнических сооружений на сжимаемых основаниях практически не представляется возможным установить в натуре неподвижные опорные пункты створа. В этих случаях для контроля горизонтальных перемещений сооружений по первой схеме контроля (от наружных пунктов) применяется комбинированный способ, представляющий собой комбинирование способа створных измерений с гидротехнической триангуляцией, трилатерацией или линейно-угловыми сетями.
До широкого внедрения в практику геодезических работ обратных отвесов и точных светодальномерных измерений, триангуляция являлась практически единственным оптимальным способом определения смещений опорных пунктов створа, развала бортов водохранилищ и других исследований, о чем свидетельствуют многочисленные материалы международных конгрессов по большим плотинам и материалы наблюдений деформаций на большинстве советских гидроузлах, построенных в х годах. И, несмотря на свои недостатки (существенная зависимость точности от длин сторон и боковой рефракции), до сих пор используется на некоторых из них как в силу приспособленности геодезической аппаратуры и преемственности результатов предыдущих измерений, так и в силу экономических факторов. Необходимо заметить, что триангуляция, по сравнению с трилатерацией, по точности может конкурировать только при небольших линиях визирования, что встречается на гравитационных плотинах высотой до 50 м, построенных в пересеченной или горной местности, где воронка оседания грунта небольшая, а следовательно, удаление исходных пунктов для контроля смещений незначительное. До сих пор триангуляция в сочетании с угловыми засечками применяется при контроле смещений наружных знаков и на арочных плотинах.
Типовая схема триангуляции для контроля неподвижности опорных пунктов створа приведена на рис. 4.3.1. По этой схеме смещения опорных пунктов створа Т2 и Т28, расположенных на самих сооружениях, производятся от исходных пунктов, расположенных на коренных берегах.
Проект триангуляционной сети гидроузла составляют по карте крупного масштаба. При этом геометрическое построение сети должно удовлетворять требованиям триангуляции I класса (углы треугольников должны быть не менее 40°, в геодезических четырехугольниках и системах – не менее 30°). При проектировании следует стремиться к тому, чтобы избежать линий с большими углами наклона, что усложняет работы и может привести к снижению точности.
После составления проекта сети выполняют расчет, цель которого – определить необходимую точность измерения углов на пунктах. Точность измерения базиса в сети триангуляции предварительно не рассчитывают, так как она обусловлена применяемыми приборами или оборудованием (светодальномер, БП-2).
Расчет точности угловых измерений может быть выполнен двумя способами: по традиционным формулам предрасчета точности триангуляционных сетей (этот способ в настоящее время утратил свое значение) или с помощью современных программ уравнивания линейно-угловых сетей на компьютере.
Используя применяющиеся на практике программы уравнивания сетей на компьютере, можно также предварительно вычислить точность измерения углов в сети триангуляции. Так, при уравнивании параметрическим способом с помощью матрицы весовых коэффициентов определяют погрешности координат пунктов, а также длин сторон сети. Заложив в программу необходимые для предрасчета точности данные (с этой целью по карте или схеме надо определить примерные координаты пунктов) и приняв погрешность измерения угла на пункте, например 
, получают с помощью компьютера погрешности положения определяемых пунктов. Взяв из них наибольшую, вычисляют заданную погрешность измерения углов на пунктах сети по формуле
, (4.3.61)
где М – заданная погрешность смещения опорного пункта створа, назначенная с учетом погрешности определения смещения сооружения;
– погрешность смещения пункта, полученная из расчета на компьютере при 
.
Предрасчету точности с помощью компьютера следует отдать предпочтение, так как этот способ позволяет достаточно быстро определить не только необходимую точность измерений, но и оценить различные схемы построения сетей.
По выбирают оборудование для угловых измерений и находят число приемов измерения угла на пункте.
Производство высокоточных триангуляционных работ достаточно хорошо освещено в нормативной и технической литературе [123, 134, 131, 149, 176, 188, 224, 2и др.]. Следует однако учитывать и специфику триангуляционных работ на гидроузлах, а именно:
- сравнительно короткие по сравнению с государственными сетями длины сторон, что предъявляет особые требования к центрирующим устройствам приборов и приспособлений;
- значительные углы наклона линий, что вынуждает вводить поправки за наклон прибора;
- повышенное влияние внешних воздействий на процесс измерений (рефракции и конвекции воздуха на границах земляной и водной сред, вибрационное воздействие от работы оборудования и водных потоков, влияние изменений положения опорных знаков створа, расположенных на самих сооружениях вследствие действия на них силовых и температурных воздействий), что вынуждает тщательно подбирать время для измерений и проводить работы в сжатые сроки и в одно и то же время года;
- многократные циклы измерений по одной и той же схеме, что, с целью устранения ряда погрешностей измерений, заставляет использовать постоянно одни и те же приборы и приспособления.
Обработку измерений разных циклов рекомендуется проводить также по одинаковой методике, благодаря чему исключаются некоторые систематические погрешности измерений и уравнивания, повторяющиеся от цикла к циклу, и сокращается объём уравнительных вычислений (при постоянстве схемы сети) во втором и последующих циклах.
Гидротехнические триангуляции для измерения горизонтальных смещений обычно строятся в виде локальных сетей, состоящих из треугольников и четырехугольников; в них измеряются один или несколько базисов с высокой степенью точности (1 : 800 000 – 1 : 1 000 000). Измерение коротких базисов (100 – 200 м) с высокой точностью вынуждает располагать их на местности, пригодной для высокоточных базисных измерений, увеличивает число пунктов триангуляции, стоимость и сроки проведения работ. Местные условия не всегда позволяют найти место для измерения базиса большой длины, что сказывается на величине противолежащего ему угла, а в итоге ухудшается геометрическая связь фигур. Эти факторы существенно влияют на выбор этого способа измерений.
В связи с тем, что перемещения и деформации гидротехнических сооружений, а также опорных пунктов створа небольшие по величине по сравнению с линиями; в специальной триангуляции имеется возможность производить определения смещений опорных пунктов из триангуляции, в которой базис измеряется с точностью порядка 1 : 1 000 – 1 : 2 000 и принимается за постоянную величину для всех циклов измерений. Такая особенность триангуляционных построений, разработанная и использованная автором на Иркутской, Усть-Камено-горской и Уч-Курганской ГЭС [88, 91, 92, 93, 104], является специфической особенностью измерений деформаций. Действительно, исходя из рис. 4.3.23,
на котором:
А и В – неподвижные исходные пункты;
С – опорный пункт створа, изменяющий свое положение во времени;
– величина смещения пункта С;
– погрешность измерения базиса;
– погрешность смещения,
можно записать
. (4.3.62)
Если принять < 100 мм, то при 
= 1 : 1 000, погрешность смещения составит < 0,1 мм. Для определения величины смещения такая точность достаточна.
Рис. 4.3.23. Схема действия погрешности измерения базиса
на погрешность определения смещения пункта
В описанном способе базис и исходный дирекционный угол должны быть постоянными величинами во всех циклах измерений. По разным причинам это постоянство может быть нарушено. Для схем с одним базисом высокоточное измерение его не является надежной гарантией неподвижности исходных базисных пунктом, так как возможны перемещения последних в направлении, перпендикулярном линии базиса. Для определения неподвижности исходных пунктов необходимо иметь более жесткий критерий. Таким критерием является неизменность углов в треугольниках, состоящих из исходных пунктов, за время между циклами измерений.
Если углы в треугольнике, составленном из исходных пунктов, в повторном цикле не изменили своего значения больше предельной заданной величины, то пункты либо остались неподвижными, либо сместились так, что образовался подобный треугольник. Однако последний случай маловероятен (это будет доказано далее в разделе, посвященном обработке результатов измерений) и можно считать, что условие неизменности углов в исходном треугольнике гарантирует неподвижность пунктов.
Для большей гарантии неподвижности исходных пунктов наиболее приемлемой схемой является геодезический четырехугольник. В этом случае появляется возможность при смещении одного из исходных пунктом определить эти смещения и не потерять связь циклов по измерению перемещений сооружений, так как смещения опорных пунктов створа могут быть определены от любой стороны сети, состоящей из неподвижных пунктов. Все эти выводы верны при условии, если исходные пункты закреплены достаточно надежно в скальных и полускальных грунтах, или число сместившихся исходных пунктов незначительно по отношению к числу неподвижных. Поэтому способ триангуляции с постоянным, измеренным с точностью 1 : 1 000 – 1 : 2 000 базисом, был принят автором для определения смещений опорных пунктов створов на вышеназванных ГЭС.
Этот способ позволяет легче и надежнее выбирать места для закладки исходных пунктов; строить фигуры с хорошей геометрической связью либо ориентировать сеть на достижение наибольшей точности в нужном направлении; сокращает сроки и объем полевых работ.
Если исходные пункты расположены в деформирующихся грунтах, где возможны их смещения, то для определения смещений опорных пунктов створа строятся сложные сети с большим количеством пунктов. Выявление их неподвижности зачастую не может решиться критерием неизменности углов в треугольниках между циклами. Наиболее правильно для таких сетей иметь избыточные высокоточные угловые и линейные измерения. Это позволяет более надежно определять неподвижность пунктов.
Создание сетей трилатерации для контроля горизонтальных смещений гидротехнических сооружений начало развиваться с появлением точных светодальномеров, а затем и точных электронных тахеометров. Такие сети создают как самостоятельные на новых объектах, так и заменяют триангуляционные сети на тех эксплуатируемых гидроузлах, где последние не обеспечивают точности контроля или требуют значительных временных и денежных затрат.
Сеть трилатерации может быть создана также взамен триангуляционной сети для определения подвижек береговой поверхности и контроля горизонтальных смещений пунктов вблизи плотины, с которых, как и в триангуляционной сети, способом линейных засечек могут быть получены координаты точек низовой грани плотины.
При длинах сторон свыше 200 м и применении современных точных светодальномеров и электронных тахеометров (точность измерения линий до 1 000 м составляет 1 – 2 мм) способ имеет ряд преимуществ по сравнению с триангуляцией:
- более высокая точность определения смещений;
- меньшие затраты времени на выполнение работы. В то время, как угловые измерения ограничены периодом благоприятной видимости, светодальномерные измерения можно практически выполнять в течение всего дня.
Работы по созданию сети трилатерации и триангуляции аналогичны.
Предвычисление точности сети может быть выполнено с помощью компьютера по тому же известному комплексу программ CREDO DAT, как и в триангуляции.
Развитие линейно-угловых сетей для целей контроля горизонтальных смещений гидротехнических объектов в настоящее время является самым перспективным направлением в схемах с наружной установкой геодезической КИА. Это связано прежде всего с появлением точных и высокоточных электронных тахеометров, позволяющих достаточно точно и быстро производить комплекс полевых работ и получать запись результатов измерений на электронных носителях. В линейно-угловых сетях измеряют все стороны и углы.
Схема линейно-угловой сети обычно схожа со схемой триангуляционной или трилатерационной сети, показанной на рис. 4.3.1 и 4.3.3, б.
При проектировании линейно-угловой сети следует иметь в виду следующее [188]:
- линейно-угловая сеть по сравнению с другими геодезическими построениями является наиболее жесткой. При этом конфигурация сети может быть и не идеальной, в то время как жесткость триангуляции и трилатерации во многом зависит от геометрической конфигурации сети;
- линейно-угловые сети примерно в 1,5 раза точнее триангуляции и трилатерации, если измерения в сети примерно равноточные.
Совместное уравнивание линейно-угловых сетей приводит к повышению точности элементов сети, если соотношение ошибок угловых и линейных измерений лежит в пределах
. (4.3.63)
Если это условие не соблюдается, целесообразно выполнить только угловые или только линейные измерения в зависимости от того, какая из двух величин – 
меньше (т. е. измерения точнее).
В ряде случаев можно измерить не все стороны сети, а только их часть. Необходимый объем измерений в сети выбирают исходя из заданной погрешности определения координат пунктов или сторон сети. Расчет ожидаемой точности элементов сети, а также ее уравнивание выполняют с помощью компьютера по тем же программам, что и для триангуляции и трилатерации.
По полученным данным составляют ведомость смещений пунктов, а в случае необходимости аналогичную ведомость изменения длин сторон.
Способ полигонометрии часто используют при контроле горизонтальных смещений криволинейных по форме плотин, а также при контроле горизонтальных смещений туннелей и кольцевых сооружений [176, 188].
Положение опорных пунктов контролируют из показаний обратных отвесов или из измерений внешней триангуляционной, трилатерационной или линейно-угловой сети.
В полигонометрических ходах, прокладываемых в потернах арочных плотин между расположенными в береговых штольнях опорными пунктами отсутствует возможность азимутальной привязки хода. В этих случаях при уравнивании используются только координатные условия, что при незначительных величинах допускаемых погрешностей в определении горизонтальных смещений плотины требует высокоточных угловых измерений в ходе.
При проложении ходов по гребню или бермам от одного берега к другому, как правило, производится азимутальная привязка.
Достоинство полигонометрии в том, что она позволяет получить взаимное положение точек хода, расположенных близко друг от друга, с высокой точностью. Однако погрешности измерений смещений в слабых местах ходов, и особенно в ходах с большим числом точек, быстро возрастают.
В ходах по гребню земляных плотин и бермам из-за значительных ветровых воздействий измерения углов и линий выполняют точными электронными тахеометрами, а в потернах бетонных арочных и арочно-гравитационных плотин – инварными проволоками.
Предвычисление погрешностей измерения углов и линий производят в зависимости от заданной допустимой погрешности 
определения положения контрольных точек с использованием приводимых ниже формул [188]. Наибольшую погрешность в положении после уравнивания будет иметь точка, расположенная в середине хода. Для нее погрешности координат 
, вызванные погрешностями угловых и линейных измерений, равны:
; (4.3.64)
; (4.3.65)
; (4.3.66)
; (4.3.67)
; (4.3.68)
где 
– погрешности измерений углов и линий; n – число сторон в ходе; L – длина замыкающей хода; 
– длина диагонали, соединяющей точку хода с центром тяжести его; 
– коэффициент случайного влияния при измерении линии (для инварной проволоки = 0,0003, для инварной ленты = 0,0005); 
– коэффициент систематического влияния; для инварных проволок и лент 
; 
.
При азимутальной привязке действуют формулы (4.3.64) – (4.3.66) (ход вытянутый с равными сторонами) или (4.3.64), (4.3.65) и (4.3.67) (ход произвольной формы), при координатной привязке – формулы (4.3.65) и (4.3.68) (ход с примерно равными сторонами).
При расчетах сначала по 
вычисляют , а затем – 
по формулам (4.3.64) – (4.2.68). Уравнивание ходов производят по CREDO DAT или другим аналогичным программам.
На длинных прямолинейных земляных плотинах и плотинах с небольшими углами поворота (до 
), когда измеряются только смещения вдоль потока, целесообразно применение способа вытянутого полигонометрического хода с высокоточным измерением углов и измерением сторон с точностью порядка 1 : 1 000 (способ углового хода) [85, 87]. Такое допущение возможно как и в случае с рассмотренным выше способом триангуляции с постоянным, измеренным с точностью порядка 1 : 1 000 – 1 : 2 000 базисом, по той причине, что нам нужны не координаты пунктов, а смещения.
Способ можно применять как при наличии видимости между опорными пунктами [87] с измерением примычных углов, так и без нее [85]. Первый случай предпочтительней, так как точность определения смещений контрольных пунктов выше.
При отсутствии прямой видимости между пунктами А и H (рис. 4.3.24) смещение пунктов на плотине в повторном цикле определяют по приращению дирекционного угла 
и расстоянию S
. (4.3.69)
Рис. 4.3.24. Способ полигонометрии передачей дирекционного угла
через вспомогательные точки без точного измерения линий
Передача дирекционного угла производится путем измерения угла 
при вершине вспомогательного пункта F (рис. 4.3.24).
Как показано в работе [87], погрешность в передаче дирекционного угла через пункты 
будет малой по сравнению с погрешностями дирекционных углов в ходе, и ею можно пренебречь.
Рассмотрим случай определения смещений пунктов полигонометрии, когда пункты А и Н являются неподвижными. Пусть в первом цикле измерены углы 
и определены с точностью порядка 1 : 1 000 стороны 
, передан дирекционный угол на сторону 
. Пусть ко второму циклу измерений пункты 1 и 2 сместились на величины 
. В этом случае углы приняли значения , стороны по малости изменения углов своей длины практически не изменили. Тогда
;
,
где
. (4.3.71)
Рассмотрим случай, когда опорные пункты А и Н являются подвижными,
и за их смещениями ведется контроль другими способами.
Пусть точка А (рис. 4.3.25) переместилась в А', а точка 1 – в 1'.
Тогда
; 
.
Дальнейшие вычисления производятся по формулам (4.3.70) и (4.3.71). Дирекционный угол стороны FН определяется по формуле
. (4.3.73)
Средняя квадратическая погрешность смещения 
определяется по формуле
=
= 
(4.3.74)
где 
При 
получим
. (4.3.75)
Контроль неподвижности точек А и Н (см. рис. 4.3.24) выполняется различными способами:
а) линейными засечками;
б) угловыми прямыми и обратными засечками;
в) методом триангуляции, трилатерации, линейно-угловых сетей.
При наличии видимости между пунктами A и H (рис. 4.3.26) строить пункты 
нет необходимости. В этом случае за дирекционный угол, равный 
, принимается направление АН первого цикла измерений. В каждом цикле измеряют углы 
Контроль неподвижности точек А и Н, если это необходимо, выполняется другими способами измерений, описанными выше.
Рис. 4.3.26. Способ полигонометрии без точного измерения линий
и прямой видимости между конечными пунктами
Для определения величины смещения производят подсчет невязок замкнутых фигур А12Н и А'1'2'Н'. Невязки распределяют поровну на все углы.
Из триангуляции, трилатерации или линейно-угловой сети находят смещения опорных пунктов А и Н
; 
. (4.3.76)
Затем вычисляют смещения 
и углы 
; 
; (4.3.77)
(4.3.78)
Величину смещения каждого пункта определяют по формулам:
где
или в общем виде
. (4.3.80)
Вычислив 
, определяют невязку 
, сравнивают ее с допустимой, вычисляемой по формуле
, (4.3.81)
или упрощенной
(4.3.82)
где 
– средняя длина сторон.
Невязку распределяют пропорционально длинам линий и вычисляют исправленные смещения.
