О параметризации функций рисковых
предпочтений инвестора для CC-VaR
Вычислительный центр им. РАН, г. Москва
*****@***ru
Ключевые слова: функции рисковых предпочтений инвестора, семейства функций, корректные и некорректные семейства, доход, инвестиционная сумма, средний относительный доход.
Введение
На финансовых рынках действует неписаное правило, по которому увеличение риска инвестиции должно адекватно вознаграждаться повышением доходности. Разумеется, это правило условно в той мере, в какой само понятие риска является неоднозначным. Предлагаемая работа ставит целью соотнести этот финансовый принцип с континуальным критерием VaR (см., например, [1,2,3]) в случае, когда функция рисковых предпочтений инвестора является элементом однопараметрического семейства функций. При этом параметр должен отражать рисковые предпочтения инвестора, и желательно, например, чтобы увеличение параметра сопровождалось ростом доходности.
Задача оптимизации портфеля по континуальному критерию VaR (CC-VaR) состоит в выполнении неравенств P{q ³ f(e)} ³ 1–e для всех eÎ[0,1], где P{M} – вероятность множества M, q – случайный портфельный доход инвестора, f(e) – монотонно возрастающая и непрерывная функция, задаваемая инвестором и определяющая его рисковые предпочтения.
Рассматривается ситуация, когда инвестор выбирает функцию рисковых предпочтений из параметрического семейства функций f(e;l), eÎ[0,1], с параметром l > 0. Большие значения параметра l приписываются более толерантным к риску инвесторам. Принимается, что f(0; l) º 0 для всех l > 0, и для наглядности функции нормируются условием f(1;l) º 1 (если они ограниченны).
1. Постановка задачи и условия корректности семейств
Проблема состоит в выяснении условий, при которых доходность оптимального портфеля является монотонно возрастающей функцией параметра l. Алгоритм нахождения оптимального портфеля в теоретической континуальной схеме приводится, например, в [1,2] и использует известную из математической статистики процедуру Неймана-Пирсона (см., например, [4]). Для среднего дохода и инвестиционной суммы справедливы соответственно формулы
, 
.
Здесь функция g(e) является ценовой функцией, определяемой соотношением функций p(x) и c(x) – прогнозной плотности вероятности и плотности рыночных цен базового актива, и такой что g'(e)³0, g"(e)£0. Функции g(e) с такими свойствами назовем допустимыми. Относительный доход r(l) оптимального портфеля представляется в виде
.
Более привычная для участников рынка, но менее удобная для анализа доходность инвестиции равна относительному доходу за вычетом единицы.
Корректным (C) назовем семейство, для которого при любой допустимой функции g(e) оптимальный относительный доход r(l) является монотонно возрастающей функцией l. Некорректным (W) назовем семейство, не являющееся корректным, т. е. семейство, для которого существуют пара (l1, l2), l1 < l2, и такая допустимая функция g(e), что r(l1) > r(l2).
Анализ свойств семейства функций f(e;l) удобно проводить на основании нормированных функций fn(e;l) = f(e;l)/R(l). Семейства функций рисковых предпочтений предполагаются кусочно-аналитическими. Это позволяет интегрировать и дифференцировать их по параметрам, а также дифференцировать по параметру интегралы от них. Некоторые особенности для функций допускаются при e = 0, 1, а также для их поведения при стремлении l к нулю. Также возможно переключение на уровне (условно) l = 1 функций семейства с одного аналитического выражения на другое при сохранении свойства непрерывности по l.
Достаточное условие C. Для любого l существует кусочно-непрерывная функция e'(l)Î(0,1), такая что ¶fn(e;l)/¶l < 0 при eÎ(0,e'(l)) и ¶fn(e;l)/¶l > 0 при eÎ(e'(l),1).
Достаточное условие W. Для семейства функций f(e;l) существуют l и e'(l) > 0, такие что ¶fn(e,l)/¶l > 0 при всех eÎ(0, e'(l)).
Необходимое условие C. Для семейства функций f(e;l) смешанная производная ¶2fn(e,l)/(¶e¶l) < 0 при любом l и e = 0.
Если производные ¶fn(e,l)/¶l претерпевают скачок (при сохранении непрерывности функции), то вместо производных следует анализировать разности. В этом случае условия корректности и некорректности записываются иначе следующим образом.
Достаточное условие C'. При любых l1 и l2, l1 < l2, для семейства f(e;l) существует e'(l1, l2) Î (0,1), такое что Dfn(e; l1, l2) < 0 при eÎ(0, e') и Dfn(e; l1, l2) > 0 при e Î (e',1).
Достаточное условие W'. Для семейства функций f(e; l) существуют l1 и l2, l1 < l2, а также e'(l1, l2) Î (0,1), такие что Dfn(e; l1, l2) > 0 при 0 < e < e'.
2. Примеры корректных семейств
Корректным является, например, семейство функций
f(e) = el, eÎ[0,1], l > 0
Проверим это. Имеет место
, 
.
Образуем частную производную
.
Эта производная как функция от e имеет ровно два корня на отрезке [0, 1]. Одним из них служит e = 0, второй нуль находится на интервале (0, 1) в точке e = e' = e–1/(1+l). При этом на интервале (0, e') эта производная отрицательна. Действительно, дифференцируя ее по e, находим смешанную производную
.
Вычисляя ее в точке e = e', получаем неравенство
,
доказывающее корректность семейства. Рис. 1 иллюстрирует обнаруженное свойство fn(e,l).
Рис. 1. График ¶fn(e;l)/¶l при l = 2.0.
Корректными являются также и семейства:
;
и, как вариант, 
, 0 < n < 1, n = l/(l+1).
3. Примеры некорректных семейств
Некорректным является, например, семейство функций, образующееся по правилу:
(1) f(e;l) = ae + (1–a)el, l > 1, a = const, 0 < a < 1.
Проверим это. Имеем
, 
.
Поведение первой частной производной fn(e,l) по l в окрестности e = 0 определяем дифференцированием по l и e:
При l > 1 формула допускает подстановку e = 0:
.
При l > 1 и aÎ(0,1) в некоторой окрестности e = 0 функция ¶fn(e;l)/¶l положительна и потому выполняется достаточное условие некорректности семейства. Иллюстрация этого приводится на рис. 2.
Рис. 2. График функции ¶fn(e;l)/¶l с a = 0.2 при l = 5.0
В целях проверки достаточности условий W и W' в качестве допустимых применяются функции g(e) = 1 – (1–e)m с подходящим образом подобранным значением параметра m > 1. С их же помощью демонстрируется и корректность семейств. Иногда для этих же целей удобно использовать кусочно-гладкие функции g(e) = {me, 0 £ e £ 1/m; 1, 1/m < e £ 1}, m > 1.
Некорректными являются также и семейства, получающиеся модификацией (1):
a = a/ln(k + ml), aÎ[0,1]; m > 0, k + m > e;
a = a(d + l)–n, aÎ[0,1]; d > 0, {0 < n < 1 || n ³ 1&(d + 1)n–1´(d + 1 – 2n) > a}.
При l < 1 во всех некорректных случаях функции можно образовать, например, по правилу:
f(e; l) = fcs(e; 1/l), fcs(e;n) = 1–f(1–e;n), n > 0.
Литература
1. Финансовая инженерия и континуальный критерий VaR на рынке опционов // Экономика и математические методы. 2005. Т. 41, №4. С. 88-98.
2. Основные теоретические схемы применения континуального критерия VaR. М., ВЦ РАН. 20с.
3. Agasandian G. A. Optimal Behavior of an Investor in Option Market / International Joint Conference on Neural Networks. The 2002 IEEE World Congress on Computational Intelligence (Honolulu, Hawaii, Mai 12-17, 2002). P. .
4. Математические методы статистики. М.: Мир, 19с.
