Теория функции комплексного переменного. Методические указания по выполнению контрольной работы

МИНистерство ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Теория функции комплексного

переменного

Методические указания по выполнению контрольной работы

Волгоград

2011

УДК 517.53/.55(07)

Т 33

Теория функции комплексного переменного: методические указания по выполнению контрольной работы / Сост. , ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2011. – 22 с.

Содержат решение типовых задач контрольной работы.

Предназначены студентам-заочникам специальностей 140211.65 «Электроснабжение» и 151001.65 «Технология машиностроения».

Ил. 9. Библиогр.: 3 назв.

Рецензент:

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Ó Волгоградский

государственный

технический

университет, 2011

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Извлечение корня. Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

, ,

2. Элементарные функции комплексного переменного. Значения показательной функции комплексного переменного вычисляются по формуле

. (1)

Показательная функция обладает следующими свойствами:

,

где и - любые комплексные числа;

, , т. е.

является периодической функцией с основным периодом .

Тригонометрические функции и - периодические с действительным периодом и имеют только действительные нули и соответственно.

.

Функции и определяются равенствами

.

Гиперболические функции определяются равенствами:

, , , .

Имеют место тождества , или ; , , .

Пользуясь этими равенствами можно получить ряд формул, связывающих гиперболические функции.

, ,

Логарифмическая функция , где , определяется как функция, обратная показательной, причем

Значение функции, которое получается при , называется главным значением и обозначается

, где .

Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:

, ,

.

Функции , , , определяются как обратные к функциям , , , соответственно. Так, если , то w называется арккосинусом числа z и обозначается . Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмическую:

, , , .

Значения, соответствующие главному значению логарифма, обозначаются теми же символами со строчной буквы (, , , ); они называются главными значениями.

Задача 1

Найти все значения корня

Корень n-ой степени из комплексного числа Z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

,

где j - аргумент комплексного числа Z, обозначается j=argZ; k принимает значения k=0,1,…,n-1;

Z¹0

Z=-i27

x+iy=-i27, т. е.

x=0, y=-27

Изобразим комплексное число на плоскости и отметим угол j на чертеже, угол j откладываем от положительного направления оси OX до радиус-вектора, соединяющего начало координат и число Z.

Рис. 1

Сначала найдем модуль числа Z, который находится по формуле:

, или тогда подставим в формулу найденные и j и 3 значения k, в нашем примере k будет 0, 1, 2.

k = 0

k = 1

k = 2

.

Изобразим решение на окружности с центром в точке О(0;0) и радиусом 3.

Рис. 2

Задача 2

Представить в алгебраической форме

Гиперболическая функция ch Z определяется равенствами

, а значение показательной функции вычисляется по формуле

найдем значения x и y из условия

подставим числовые значения x и y в формулу, получим:

, аналогично запишем , тогда,

Задача 3

Представить в алгебраической форме

Arctg 1

Воспользуемся формулой

Рассмотрим

По условию Z=1Þ x+iy=1Þ x=1, y=0

Тогда подставим данные задачи в формулу и получим:

.. Пусть 1+i=Z1, 1-i=Z2

Найдем по формуле

, к=0, ±1, ±2,…

Изобразим Z1 на координатной плоскости

Рис. 3

Изобразим Z2 на координатной плоскости

Рис. 4

Итак, после вычислений получили:

Задача 4

Вычертить область, заданную неравенствами

,

,т. е.

|x|£1 |y|<2

Неравенство на графике представляет собой бесконечную вертикальную полосу с границами и , а неравенство представляет бесконечную горизонтальную полосу с границами и , причем имеем строгое неравенство, поэтому на чертеже отметим эти линии пунктиром. При наложении этих решений, т. е. решая совместно систему получим такую область:

Рис. 5

Задача 5

Определить вид кривой

 

Управление вида определяет на комплексной плоскости кривую, параметрические уравнения которые имеют вид

x=x(t), y=y(t) в нашем случае имеем

x(t)=t2-2t+3

y(t)=t2-2t+1

x(t)=t2-2t+1+2

y(t)=(t-1)2

, т. е. можно записать , а значит . Это уравнение задает прямую y=x-2

Задача 6

Проверить, что V является мнимой частью аналитической функции. Восстановить аналитическую в окрестности точки Z0 функцию t(Z) по известной мнимой V(x;y) и значению f(Z0)

V=2xy+x, f(0)=0

Если f(2) - аналитическая функция Þ выполняются условия Коши – Римана

Найдем частные производные первого порядка для заданной функции

Имеем

, следовательно

. Отсюда интегрируя это равенство по переменной x находим:

, находим

. Теперь снова дифференцируем функцию U по переменной y, а далее найдем производную по переменной x для функции V.

Найдем , для этого проинтегрируем по переменной y

Отсюда U=x2-y2-y+c

.Подставим полученную функцию U и данную функцию V, получим выражение, которое затем преобразуем.

Значит f(Z)=(x2-y2-y+c)+i(2xy+x)=x2-y2-y+c+2ixy+ix=x2+2ixy+(iy)2+ +ix+ i2y+c = (x+iy)2+i(x+iy)+c= z2+iz+c, т. е.

f(z)=z2+iz+c

Воспользуемся частными условиями

f(0)=0

f(0)=02+i×0+c=0Þ c=0

Итак, мы получили

f(z)=z2+iz

Задача 7

Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой

|Z|=1 – это окружность Рис. 6

с центром в точке (0;0) и радиусом равным 1

ImZ ³0 Þ X ³0 Þ

Уравнение |Z|=1 запишем в параметрической форме

Параметр t изменяется в пределах . Найдем дифференциалы от функции, заданной параметрически:

, т. е.

Задача 8

Найти все лорановские разложения данной функции по степеням Z

Представим функцию f(z) в виде

, тогда

Пусть z=0 , подставляя в полученное уравнение найдем значение А .

Пусть , тогда

Пусть z=15 , тогда

Функция f(z) имеет три особых точки:

Z1=0; ; Z3=15. Она аналитична в областях

а) б) в) |z|>15

а) в круге имеем:

Рис. 7

здесь ,

т. е.

-

здесь , т. е. |z|<15

Следовательно

б) в кольце

Рис. 8

|z|<15

Следовательно в кольце

в) в области |z|>15 имеем:

Рис. 9

Следовательно

Задача 9

Определить тип особой точки

Z0=0 – особая точка Найдем нули знаменателя

Z0 – устранимая особая точка

Задача 10

Для данной функции найти изолированные особые точки и определить их тип

Z5=0; Z4-1=0

(Z2-1)(Z2+1)=0

(Z-1)(Z+1)(Z-i)(Z+i)=0

Z1=1; Z2=-1; Z3=i; Z4=-i

Z1, Z2, Z3, Z4, Z5 – изолированные особые точки

Z=1 – устранимая особая точка

z=-1-устранимая особая точка

z=1 – устранимая особая точка

z=-1 – устранимая особая точка

Задача 11

Найти оригинал по заданному изображению:

.

Разобьем дробь на сумму простейших дробей, используя метод неопределённых коэффициентов:

=;

.

Составим равенства при одинаковых степенях p :

0=A+B

3=-6A-B+C

-2=10A-C. Решая полученную систему уравнений получим : A= C=4.

Задача 12

Операционным методом решить задачу Коши:

Решение:

Пусть

Правая часть уравнения по таблице оригиналов и изображений будет иметь вид:

Подставим в уравнение и получим:

Разложим полученную дробь на сумму простейших дробей:

Получим , значит

Задача 13

Решить систему дифференциальных уравнений:

;

При x(0)=0, y(0)=1.

Решение:

Пусть

Находим, что

Система операторных уравнений примет вид:

подставим во второе уравнение, получим:

Найдем коэффициенты A и B:

Значит ,

Аналогично находим Y, подставим значение X в первое операторное уравнение

, т. е.

Ответ:

Рекомендации по изучению теоретического материала.

К выполнению контрольной работы следует приступать только после овладения соответствующих разделов курса «математика». Студентам рекомендуется изучать материал в следующем порядке:

1. Ознакомиться с тематикой дисциплины. Просмотреть рекомендуемую литературу.

2. Выбрать 1-2 учебника (методических указаний или пособий) в качестве основных.

3. Изучить материал по учебникам, выбранным из указанных: усвоить основные термины, теоремы, формулы; разобраться в решениях задач, которые приводятся в литературе.

4. Изучая материал курса, составить его краткий конспект.

5. Ответить на вопросы, поставленные после разобранного материала (ответы на вопросы Вы найдёте в содержании данного пособия).

И только после изучения теоретических и практических основ курса следует приступать к выполнению контрольной работы.

Требования к оформлению и выполнению контрольной работы.

1. Контрольную работу выполняют в отдельной тетради в клетку, имеющей поля.

2. На обложке тетради должен быть приклеен титульный лист, заполненный по форме: название работы, кем выполнена, номер группы, И НОМЕР ВАРИАНТА!

3. Номер варианта контрольной работы совпадает с порядковым номером студента в списке группы.

4. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в контрольной работе.

5. Условия задач необходимо переписывать полностью перед каждой задачей.

6. После выполнения каждой задачи оставлять не менее четырёх клеток.

7. Работу выполнять синими чернилами, аккуратно, разборчиво.

8. Чертежи следует выполнять карандашом с использованием чертёжных инструментов, соблюдая масштаб.

9. Решение задач должно сопровождаться краткими, но обоснованными пояснениями, необходимыми по содержанию задачи формулами, развёрнутыми расчётами. Формулы должны быть приведены в обще принятой в литературе, в том числе и в данном пособии, символике.

10. Контрольная работа должна быть выполнена в срок в соответствии с учебным планом. Контрольная работа, не содержащая номер варианта, не учитывается и возвращается студенту. Контрольная работа, выполненная не по своему варианту, не рецензируется и возвращается студенту.

Список литературы

1.  Чудесенко заданий по специальным курсам высшей математики - М.: «Высшая школа», 1999.

2.  Письменный лекций по высшей математике. 2001.

3.  Пантелеев функции комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. - М.: «Высшая школа», 2001.

Составители:

Алевтина Алексеевна Кулеша

Лариса Алексеевна Крапивина

Теория функции комплексного переменного

Методические указания по выполнению контрольной работы

Под редакцией авторов

Темплан 2011 г., поз. № 29К.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1,4. Уч.-изд. л. 1,27.

Тираж 100 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1.

Отпечатано в КТИ

, каб. 4.5