3.11. Количество электричества, протекающего в контуре
при изменении магнитного потока
3.11.1. Тонкое кольцо радиусом r = 1 м, обладающее электрическим сопротивлением R = 0,273 Ом в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. Плоскость кольца составляет с вектором индукции угол a = 300. Магнитное поле внезапно пропадает, какое количество электричества протечёт, при этом, по кольцу?
|
Решение
1. Определим изменение магнитного потока магнитного потока, пронизывающего рамку, при исчезновении поля
. (1)
2. Величина ЭДС индукции, возникающая при изменении магнитного потока
. (2)
3. Индукционный ток, возникающий в кольце
(3)
3.11.2. Проволочное кольцо радиусом r = 0.1 м находится в магнитном поле с индукцией В = 1 мкТл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости кольца. Кольцо поворачивают на 1800 вокруг оси, совпадающей с его диаметром, и перпендикулярной В. Какое количество электричества протечёт по кольцу, если сопротивление кольца равно R = 10 -3 Ом
Решение
1. При поворачивании кольца по нему потечёт индукционный ток
, (1)
. (2)
3.11.3. Круговой виток с током, замкнутый на баллистический гальванометр, внесли в пространство между полюсами постоянного магнита. Гальванометр, при этом, зафиксировал протекание в цепи заряда Q = 10 мкКл. Найти величину магнитного потока, ели цепь обладает сопротивлением R = 10 Ом.
Решение
1. Воспользуемся уравнением (1) предыдущей задачи
, (1)
где 2pr2B = Ф - магнитный поток.
2. Уравнение (1) с учётом введённых обозначений можно переписать следующим образом
. (2)
3.11.4. Катушка, замкнутая на баллистический гальванометр, находится в межполюсном пространстве электрического магнита. Катушка содержит N = 100 витков диаметром d = 3,57 см, с общим сопротивлением R = 1 Ом. Сопротивление гальванометра равно r = 10 Ом. При включении питания электромагнита по цепи прошёл электрический заряд Q = 100 мкКл. Определить величину индукции магнитного поля.
|
Решение
1. Определим площадь поперечного сечения катушки
. (1)
2. Магнитный поток через катушку при расположении её плоскости перпендикулярно вектору магнитной индукции поля электромагнита
. (2)
3. Запишем далее уравнение индукционного тока, возникающего при появлении магнитного поля
, (3)
. (4)
3.11.5. Круговой виток радиусом r = 1м расположен перпендикулярно магнитному полю с индукцией В = 0,1Тл. В разрыв витка вставлен гальванометр с внутренним сопротивлением R = 100 Ом. Какой заряд пройдёт через гальванометр при повороте контура на 900?
|
Решение
1. Определим величину магнитного потока через контур, расположенный нормально к вектору индукции В
. (1)
2. Когда плоскость контура будет параллельна В, то Ф2 = 0, т. е. DФ = pr2B.
3. Воспользуемся далее уравнением (1) задачи 3.11.3
. (2)
3.11.6. На расстоянии а = 1 м от длинного прямолинейного проводника по которому течёт постоянный ток силой I = 1000 А находится кольцо радиусом r = 1 см. Кольцо расположено так, что через его поверхность проходит максимальный магнитный поток. Определить количество электричества, которое протечёт по кольцу при внезапном исчезновении тока в проводнике. Электрическое сопротивление кольца равно R = 10 Ом.
|
Решение
1. Определим величину магнитной индукции на удалении а от проводника
, (1)
2. Магнитный поток пронизывающий поверхность кольца, при расположении его плоскости перпендикулярно вектору магнитной индукции В
. (2)
3. Индукционный ток в кольце в этом случае определится уравнением
.
3.12. Самоиндукция и взаимоиндукция
3.12.1. Ток силой I = 1 А течёт по катушке индуктивностью L = 10 мкГн. При отсоединении катушки от источника, сила тока уменьшилась до нулевого значения за время Dt @ 100 мкс. Определить среднюю величину ЭДС самоиндукции <ei>.
Решение
1. ЭДС самоиндукции в цепи с индуктивностью определяется уравнением
. (1)
3.12.2. Сила тока в катушке с индуктивностью L = 10 мГн линейно увеличивается на DI = 0,1 A за Dt = 1 c. Определить среднее значение ЭДС самоиндукции <ei>.
Решение
1. В соответствии с уравнением (1) предыдущей задачи
. (2)
3.12.3. Сила тока в катушке с индуктивностью L = 2 мГн изменяется по закону i(t) = I0sin(2pnt), где I0 = 10 A - амплитудное значение силы тока, n = 50 Гц - частота питающей катушку сети. Определить среднее значение ЭДС самоиндукции за время, в течение которого сила тока в катушке меняется от минимального до максимального значения.
Решение
1. Определим период изменения силы тока в индуктивности
. (1)
2. Сила тока меняется от 0 до I0 за время, равное четверть периода, поэтому
. (2)
3.12.4. Катушка с собственным сопротивление R1 = 0,5 Ом и индуктивностью L = 4 мГн соединена параллельно с сопротивлением R2 = 2,5 Ом, по которому течёт постоянный ток силой I = 1 A. Определить количество электричества, индуцированного в катушке при отключении цепи от источника питания.
|
Решение
1. ЭДС самоиндукции в цепи определится как
. (1)
2. Индукционный ток
. (2)
3. Количество электричества, индуцированное в цепи при её отключении от источника питания
. (3)
3.12.5. Соленоид представляет собой диэлектрический каркас в виде цилиндра длиной l = 0,5 м и площадью основания s = 4×10 - 4 м. На цилиндр в один слой виток к витку намотан провод радиусом d = 2×10 -4 м. Определить индуктивность соленоида.
Решение
1. Индуктивность соленоида, содержащего N витков, определяется как
, (1)
где n = N/l - количество витков, приходящееся на единицу длины соленоида, V = ls - объём каркаса соленоида
. (2)
2. Подставим значение n и V в уравнение (1)
. (3)
3.12.6. Соленоид длиной l = 1 м и сечением s = 2×10 - 3 м обладает индуктивностью L = 1,6 мГн. Определить число витков n, приходящееся на 1 см его длины.
Решение
1. Запишем уравнение индуктивности соленоида
, (1)
где n - приведённое к длине число витков, V = ls - объём каркаса.
2. Определим из уравнения приведённое число витков n
. (2)
3.12.7. Какое количество витков провода диаметром d = 0,4 мм в один слой намотано на цилиндрическую катушку с диаметром основания D = 0,02 м, имеющую индуктивность L = 1 мГн?
Решение
1. Запишем уравнение индуктивности соленоида
, (1)
и выразим из него длину соленоида
. (2)
2. Число витков соленоида определится как
. (3)
3.12.8. Соленоид выполнен на немагнитном цилиндрическом каркасе, на который намотано1 N = 750 витков провода. Индуктивность соленоида составила L1 = 25 мГн. Для увеличения индуктивности соленоида до L2 = 36 мГн обмотку при сохранении её длины намотали более тонким проводом. Определить число витков N2.
Решение
1. Запишем уравнение индуктивности соленоида для двух случаев
, 
. (1)
2. Поделим почленно уравнения (1) друг на друга и найдём количество витков более тонкого провода N2
. (2)
3.12.9.Соленоид индуктивностью L = 4 мГн содержит N = 600 витков. Найти величину магнитного потока Ф при силе тока, протекающего по обмотке I = 12 А.
Решение
1. Индуктивность соленоида может быть выражена через, пронизывающий его магнитный поток
, (1)
откуда
. (2)
3.12.10. Индуктивность катушки без сердечника составляет L = 20 мГн. Определить величину потокосцепления y, когда по обмотке течёт ток силой I = 5 А.
Решение
1. Потокосцепление контура определяется уравнением
. (1)
3.12.11. Индуктивность соленоида L = 3 мГн без сердечника обеспечивается N = 1000 витками провода. Определить величины потокосцепления y и магнитного потока Ф при протекании по обмотке тока силой I = 1 А.
Решение
1. Потокосцепление соленоида определится уравнением (1) предыдущей задачи
. (1)
2. Потокосцепление, т. е. полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками катушки соленоида равен
. (2)
3.12.12. Соленоид площадью поперечного сечения s = 5×10 - 4м2 содержит N = 1200 витков провода, создающих в центральной внутренней области магнитное поле с индукцией В = 0,01 Тл при силе тока I = 2 А. Определить индуктивность соленоида.
Решение
1. Определим величину магнитного потока и потокосцепление
, 
, (1)
откуда следует, что
. (2)
3.12.13. Соленоид, образованный цилиндрическим немагнитным каркасом с площадью поперечного сечения s = 10 - 3м2, на который намотано N = 1000 витков проволоки. При пропускании по катушке тока генерируется магнитное поле с индукцией B = 1,5 Тл. Определить среднюю величину ЭДС индукции <ei>, возникающей в соленоиде при уменьшении силы тока до нуля за t = 500 мкс.
Решение
1. Определим величину магнитного потока через поперечное сечение соленоида
. (1)
2. Средняя величина ЭДС индукции определится как
. (2)
3.13. Экстратоки замыкания и размыкания
|
3.13.1. В цепи, содержащей индуктивность L = 0,1 Гн, с активным сопротивлением R = 20 Ом течёт постоянный ток I=50 A. При отключении индуктивности от источника и замыкании концов катушки ток уменьшается до величины i за время t = 10 мс. Определить значение силы тока i.
Решение
1. Кода перемычка находится в положении 2, в цепи индуктивности течёт постоянный ток силой I. При коммутации концы катушки замыкаются, при этом сила тока за время t по экспоненциальному закону уменьшается до нуля
. (1)
3.13.2. Источник тока замкнули на катушку с индуктивностью L = 1 Гн и активным сопротивлением R = 10 Ом. Определить, за какое время сила тока в цепи достигнет величины 0,9 первоначального значения.
Решение
1. Запишем уравнение изменения силы тока в функции времени для цепи, содержащей индуктивность L с активным сопротивлением R для заданных условий
, (1)
, (2)
, (3)
откуда
. (4)
3.13.3. В цепи, состоящей из индуктивности L = 1 Гн с активным сопротивлением R = 10 Ом, источник тока отключается без разрыва цепи (схема к задаче 3.13.1). Найти время t, в течение которого сила тока в цепи уменьшится до 10 - 3 первоначального значения.
Решение
1. Используя уравнение (1) задачи 3.13.1 и заданные условия, получим
(1)
, (2)
откуда
. (3)
3.134.. Цилиндрическая катушка диаметром D = 0,1 м состоит из однослойной обмотки медного провода (r = 1,7×10 -8Ом/м) диаметром d = 10 - 4 м. По обмотке пропускают постоянный ток силой I = 10 А. Какое количество электричества Q протечёт через обмотку при замыкании её концов?
|
Решение
1. В начальном состоянии переключатель находится в положении 1, т. е. через обмотку протекает постоянный ток, сечение катушки пронизывает постоянный по величине и направлению магнитный поток. При переводе переключателя в положение 2 сила тока, вследствие наличия в цепи индуктивности L исчезает не мгновенно, а по экспоненциальному закону
, (1)
где R - активное сопротивление, t - время, в течение которого сила тока изменяется от I до 0.
2. Количество электричества Q за время t определится как
. (2)
3. Подставим в уравнение (2) значение силы тока i из уравнения (1), с учётом того, что при t = ∞ сила тока стремится к нулю, а при t =0 сила тока составляет I
. (3)
4. Подставим в уравнение (3) пределы интегрирования
. (4)
5. Запишем далее уравнения индуктивности и активного сопротивления катушки далее индуктивность катушки
, (5)
, (6)
где r - удельное сопротивление провода, l0 - длина проводника, s0 - сечение провода, d - диаметр провода, N - число витков соленоида, ls - длина обмотки, ss - площадь поперечного сечения катушки.
6. Подставим уравнения индуктивности и активного сопротивления в уравнение (4)
. (7)
7. Выразим длину катушки через её диаметр и число витков
. (8)
8. Подставим длину катушки в уравнение (7)
. (9)
9. Отношение длины катушки к числу витков равно диаметру катушки
, в этом случае уравнение (9) примет вид
, (10)
. (11)
3.13.4. Энергия магнитного поля
3.14.1. Найти магнитную энергию W, запасаемую в соленоиде когда по обмотке течёт ток силой I = 10 А, который обуславливает магнитный поток Ф = 1 Вб.
Решение
1. Энергия, запасаемая магнитным полем определяется уравнением
. (1)
2. Выразим далее величину магнитного потока через индуктивность соленоида и силу протекающего по катушке тока
. (2)
3. Подставим значение магнитного потока в уравнение энергии
. (3)
3.14.2. Соленоид содержит N = 103 витков провода, по которому течёт постоянный ток силой I = 1 А. Магнитный поток через поперечное сечение соленоида составляет Ф = 0,1 Вб. Определить энергию магнитного поля W.
Решение
1. Каждый виток катушки соленоида будет вносить свой вклад в энергетику магнитного поля, численно определяемый уравнением (3) предыдущей задачи. Энергия, вызванная всеми N витками, запишется следующим очевидным образом
. (1)
3.14.3. Индуктивность в виде железного кольца и N = 200 витков, провода, намотанного в один слой. При силе тока I = 2,5 А магнитный поток в железе составляет Ф =0,5 мВб. Определить энергию магнитного поля W.
Решение
1. В соответствие с уравнением (1) задачи (3.14.2)
. (1)
3.14.4. На цилиндр из немагнитного материала длиной l =1 м и площадью поперечного сечения s = 10 - 3 м2 намотан провод, так что на каждом сантиметре длины уместилось 10 витков в один слой. Определить энергию магнитного поля W, при пропускании по обмотке постоянного тока I = 2 A.
Решение
1. Определим индуктивность катушки
, (1)
где n = 103 м - 1 - приведённое число витков, m0 = 4p×10 - 7 Ф/м - магнитная постоянная, V = sl - объём соленоида.
2. Запишем уравнение магнитной энергии, запасаемой в соленоиде
. (2)
|
3.14.5. Соленоид имеет стальной железный сердечник, по обмотке которого пропускается постоянный ток силой I = 1 А. На каждом сантиметре длины цилиндрической катушки умещается 5 витков провода. Найти объёмную плотность энергии магнитного поля в сердечнике.
Решение
1. Определим напряжённость магнитного поля
. (1)
2. По приведенной зависимости B = f(H), найдём величину магнитной индукции
. (2)
3. Объёмная плотность энергии магнитного поля в железном сердечнике определится уравнением
. (3)
3.14.6. Известно, что в железном образце при создании поля с магнитной индукцией В = 1,3 Тл объёмная плотность энергии составляет v = 200 Дж/м3. Найти магнитную проницаемость железа.
Решение
1. По графику В = f(H) предыдущей задачи найдём, что напряжённость поля в образце составляет Н @ 1750 А/м.
2. Используя далее уравнение взаимосвязи индукции и напряжённости магнитного поля, определим проницаемость железа
. (1)
3.14.7. Индукция магнитного поля в стальном образце равна В = 1 Тл. Определить объёмную плотность энергии магнитного поля в образце.
|
Решение
1. По приведённому графику зависимости индукции магнитного поля от напряжённости определим величину Н = 850 А/м.
2. Используя уравнение (3) задачи 3.14.5 определим объёмную плотность энергии магнитного поля
. (1)
3.14.8. Обмотка электромагнита с индуктивностью L = 1 Гн и активным сопротивлением R = 10 Ом подключена к источнику постоянного напряжения. Найти время, в течение которого в обмотке выделится количество тепла, численно равное энергии магнитного поля, сосредоточенного в сердечнике.
Решение
1. Количество тепла, выделяемое при прохождении электрического тока по проводнику, определяется уравнением
, (1)
где t - время, в течение которого выделяется тепло, I - сила тока.
2. Энергия магнитного поля в цепи, содержащей индуктивность, определится уравнением
. (2)
3. Приравняем уравнения (1) и (2), поскольку по условию количество выделившегося тепла численно равно величине энергии поля
.
3.14.9. Соленоид длиной l = 1 м с площадью поперечного сечения s = 10 - 3 м2 обладает индуктивностью L = 0,1 Гн. Объёмная плотность энергии магнитного поля при этом составляет v = 0,1 Дж/м3. Ток, какой силы протекает по обмотке соленоида?
Решение
1. Объём соленоида V = ls входит в уравнение плотности энергии магнитного поля
, (1)
откуда
. (2)
3.14.10. По катушке тороида с воздушным сердечником течёт ток силой I = 10 А. Объёмная плотность энергии магнитного поля составляет при этом v @ 30 Дж/м3. Определить приведённое число витков n, обеспечивающих заданный режим.
Решение
1. Плотность энергии магнитного поля тороида может быть определена уравнением
, (1)
где В - индукция магнитного поля, m0 = 4p×10 - 7 Гн/м - магнитная постоянная.
2. Индукция магнитного поля тороида
, (2)
где N - число витков катушки, l - длина катушки.
3. Подставим значение величины магнитной индукции из уравнения (2) в уравнение (1) с учётом того, что (N/l) = n
. (3)
Использованные литературные источники
, Воробьёв по физике: Учеб. пособие для студентов втузов. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 19с. ил. задачи по общей физике: Учеб. пособие. - 2-е изд. перераб. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит. 19с., ил. И., , М., Харитонов по физике: Учеб.: пособие под ред. . - 2-е изд., перераб. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит. 19с., ил. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» . В 2 кн. Кн. 1. - М.: Олимп «Издательство АСТ», 19с., ил. Савельев вопросов и задач по общей физике: Учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений. - М.: Астрель», АСТ», 20с., ил. Гофман , формулы, задачи физики. Наукова Думка, 19с., ил. , , Мазанько задач по физике: Учеб. пособие под ред. . - 2-е изд. перераб и испр. - М.: Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит. 19с., ил. , , Таюрский вокруг нас: Качественные задачи по физике. - 3-е изд, тспр. - М.: Дом педагогики. 19с., ил.