Физические теории главного магнитного поля Земли

Физические теории главного магнитного поля Земли

1.  Гипотезы о природе магнитного поля Земли (МПЗ)

Все выдвинутые к настоящему времени гипотезы об источниках земного магнетизма можно разделить на 2 группы:

1 – Научные

2 – Фантастические, т. е. предлагающие для Земли как планеты некие особые, свои, новые «законы природы».

2.  Ядро, как источник магнитного поля Земли

В. Эльзассер (1939 г.) предположил, что внутри ядра вследствие градиентов (тепловых, плотностных и пр.) возникает вихревое движение, первоначально радиальное (т. е. в меридиональных плоскостях). Под влиянием силы Кориолиса вихревые кольца «ложатся» в плоскости, параллельные экваториальной. Различие температур во внешних и внутренних частях этих вихрей (ближе и дальше от оси вращения) обусловливает появление термоЭДС, а железо-никелевый состав ядра (с возможными добавками кремния, окиси магния или серы) с металлической проводимостью (0,09–0,7) ×103 Ом–1×м–1 – обеспечивает появление токов. При этом сам факт существования вихрей вещества есть источник неоднородностей в ядре, служащих как бы проводником тока в виде контура. Определенная система подобных токов способна создать наблюдаемое на Земле поле центрального диполя.

Аналогичные соображения и в гипотезе (1947). Ему тоже потребовались вихри в ядре: образование токов связывалось с явлением индукции при вихревом движении металлических масс ядра в магнитном поле. В этом процессе поле должно все время себя самоподдерживать – регенерироваться. И как процесс, подобный ситуации с динамомашиной, он получил название динамоэффекта.

Начальное поле, «запускающее» эффект, Френкелем просто постулировалось, однако это не очень-то и важно: хотя бы космическое магнитное поле или поле гиромагнитного эффекта уже достаточны для запуска и поддерживания динамо. Естественно, что равновесный уровень регенерации в динамо обеспечивается мощностью его энергетического источника, т. е. (например) интенсивностью радиоактивного распада в ядре, обеспечивающего необходимые конвективные движения в ядре.

В настоящее время динамо-теория является основной при решении проблемы природы МПЗ, поэтому остановимся на ней.

Простое, или униполярное динамо

Итак, как Эльзассеру, так и Френкелю необходимо наличие вихря жидкой массы ядра.

Представим вихрь в виде вращающегося твердого проводящего диска; пусть этот диск находится в магнитном поле, параллельном оси его вращения. Радиус диска – а; начальное поле – Во – считаем его однородным; диск вращается со скоростью w.

Тогда в точке А диска возникает электрическое поле:

,

где – линейная скорость точки А, равная .

Полная разность потенциалов между осью вращения диска и его образующей будет

Если теперь каким-то образом суметь снять это напряжение (посредством контактов k и l) и подать его в подходящий проводящий контур и

в правильном направлении, то и получим собственно то, что называется динамо. Действительно, если проводимость контура равна s, то ток в контуре станет:

. Это есть начальный ток контура.

Итак, пусть имеет место ситуация, приведенная на рисунке, тогда появившийся в контуре ток J0 вызовет появление магнитного поля b. Если оно сонаправлено с В0 , то поле, действующее на плоскости диска, возрастет; возрастет на величину DUt и ЭДС:

Тогда в каждый момент имеет место:

(1)

(Магнитное поле в центре кругового витка радиуса R с током J – в системе СГСМ : ).

Тогда, принимая грубо поле b в контуре (его радиус равен а):

а само поле В0 ничтожно малым, перепишем (1) :

(2) (приняли: m = 1).

Из этого уравнения видно, что динамо действительно будет «генерировать» магнитное поле только в том случае, если в (2) скобка справа положительна:, т. е. регенерация начинается лишь при

В условиях Земли, принимая: а =1/2 Rядра, получим: .

Такая модель, реализуясь, могла бы обеспечить необходимую величину поля b, однако понять, как она в сплошном жидком ядре реализуется – особенно в смысле внешнего по отношению к вихрям, замыкания электрической цепи в виде контура. Кроме того, сама реализация динамо должна действовать разрушительно на вихри, по крайней мере – не давать им располагаться параллельно экваториальной плоскости.

Более строгий учет современных представлений о строении Земли, а именно – учет того, что ядро Земли имеет “ядрышко” – твердую внутренность, – проведен в модели Э. Булларда (1954): он исходит из того, что ядрышко вращается вокруг оси медленней мантии. Разность скоростей проявляется (и «соответствует») скорости западного дрейфа. А вихревые кольца в жидкой части ядра располагаются в меридиональных плоскостях. В принципе, оказалось, что подход Булларда дает удовлетворительное объяснение дипольной части поля, подводит к пониманию векового хода и недипольной части.

Математическое обоснование теории динамо-эффекта

Описание вихрей и токов очень сложно и общего решения не имеет. Объединение гидродинамики и электромагнетизма есть магнитная гидродинамика. Именно на нее опирается теория динамо-эффекта.

Итак, принимая m = 1 и отсутствие токов смещения, для ядра можем записать:

(1)

, (2)

причем:

(3)

, (4)

где s – проводимость ядра, v – скорость движения жидкой массы ядра.

Подставляя (3) в (1), получаем

Выполним операцию rot на его обеих частях и учтем (2). Получим:

Учитывая теперь равенство из векторного анализа:

,

(согласно (4): )

получим:

, (5)

т. е. вместо четырех уравнений (1–4) получили одно – для v и B, главных неизвестных динамо.

В качестве второго уравнения для них прибавим из гидродинамики уравнение Навье-Стокса:

, (6)

где r – плотность жидкости, а – сумма всех (внутренних и внешних) сил, действующих на единицу объема жидкости. Принимая жидкость несжимаемой, добавим:

.

(Кроме того: – указывающее, что скорость зависит и от координаты).

Что это за силы Fi в ядре:

1.  Вязкое трение в жидкости. Эта сила может быть записана: . – Это – внутренняя сила.

2.  Сила инерции: Fин = .

3.  Сила тяжести: F2 = rg.

4.  Сила Кориолиса: .

5.  Сила типа Архимедовой (за счет разности давлений): F4 = – Ñ p.

6.  При наличии токов – электродинамическая сила; ее можно выразить:

.

Теперь уравнение Навье-Стокса можно «раскрыть»:

, (7)

где – кинематический коэффициент вязкости. Соответственно, коэффициент из (5) назван магнитной вязкостью nт .

В сумме уравнения (5) и (7) составляют систему уравнений магнитной гидродинамики (Не решены в общем виде до сих пор). Их рассмотрение

упрощается если допустить движение жидкости в ядре медленным, а диаметр вихрей – большим. (Пусть это: v0 = 0,1 см/с, L = 3×108 см ).

Принимая: r = 10 г/см3 ,

10-3 < n < 109 ,

B = 50 Э (так принято в модели Булларда),

w = 7×10-5 рад/с (скорость вращения Земли).

Тогда имеем:

Сила инерции: @ 3×10-10 дин.

Сила Кориолиса: @ 10-4 дин.

Электродинамическая сила: @ 8×10-6 дин .

Вязкое трение:

Принимая эти оценки как основу, можно считать существенными лишь часть сил: Кориолиса и электродинамическую. Тогда (7) станет:

. (8)

Рассмотрим отдельные частные случаи:

1.  Движение в жидком ядре в отсутствие магнитного поля

Если движение масс вызвано лишь тепловым различием плотности, то (8) станет: . Это означает: давление в жидкости и тяжесть уравновешиваются силами Кориолиса. Анализ показывает, что здесь движения возможны лишь в плоскостях, перпендикулярных оси вращения Земли. В принципе, это вытекает и из соображений симметрии, но было проверено следующим опытом (опыт Р. Хайда).

Опыт состоит в следующем (см. рис. 134):

Рассматривается система из трех соосных сосудов.

В сосуде В налита вода с примесью замутняющего порошка (порошок позволит наблюдать вихри в сосуде).

В сосуде А – горячая вода. В сосуде С – лед.

С вращением этой системы наблюдалось сначала появление хаотично расположенных вихрей в сосуде В, а затем, с увеличением w, все они «укладывались» в горизонтальные плоскости. В итоге, формировалась картина вихрей, подобная той, что приведена на рис 134,б.

(Необходимо, однако, заметить, что в условиях Земли роли Кориолисовых и эелктродинамических сил в выполаживании вихрей противоположны и, будучи равновеликими, эти силы, в итоге, не выводят вихри в экваториальную плоскость).

2. Движение в жидком ядре в присутствии магнитного поля В0 . Ламинарное движение жидкости, перпендикулярное магнитному полю В0.

А. Жидкость – идеальный проводник (s=¥) и ее вязкость пренебрежима мала, так что: .

Уравнения (5) и (7) станут:

, (5”)

. (7”)

Тогда в качестве решений этой системы получаем:

, (9)

, (10)

т. е. плоские волны, распространяющиеся в направлении z (z || ), или – гидродинамическая и электромагнитная волны. Это – магнитогидродинамические волны (МГД-волны), или волны Альфвена (Альвена). Они, по существу, – поперечные: движение жидкости (базовое) происходит в направлении х, а движение волны – вдоль z. Необходимую для этого упругость жидкости (обязательную для существования именно поперечных волн) обеспечивают электромагнитные силы.

Уравнение силовой линии для электромагнитной волны при этом окажется[1]:

,

т. е. силовая линия поля , будет совершать волнообразное движение с той же скоростью, что и v и b, но со сдвигом по фазе в 90о. Получается, что силовые линии исходного поля В0 целиком увлекаются потоком жидкости: перемещаются вместе с нею и совершают такие же колебательные движения. Получили случай вмороженных силовых линий; это означает, что силовые линии эл/м. поля как бы “механически” крепко связаны с данной абсолютно проводящей жидкостью.

Б. Проводимость s жидкости – конечная.

Это означает, что магнитной вязкостью теперь пренебрегать нельзя.

В принципе, решения уравнений гидромагнитной динамики здесь подобны тому, что имели в случае А. Имеем:

, где .

Опять должны существовать МГД-волны, но теперь они уже – затухающие. Очевидно, энергия тратится на выделение джоулева тепла.

В 1949 году С. Ландквист наблюдал волны Альфвена в сосуде со ртутью, помещенном в сильное магнитное (доЭ) поле.

Вращение проводящей сферы (шара) в постоянном магнитном поле (Ян., 315)

Булларда, объясняющая геомагнитное поле эффектом самовозбуждения, по существу выводит поле решением уравнений магнитной гидродинамики для конкретного случая вращения жидкого проводящего шара радиусом d, в постоянном магнитном поле.

Скорость вращения элемента жидкости:, где w = сonst – угловая скорость вращения шара, – расстояние элемента от оси вращения.

Задав таким образом способ вращения (движения) жидкости, для пары {(5) + (7)} уравнений магнитной гидродинамики можем оставить только полевую часть ():

(здесь DВ – вектор). (1)

Чтобы решить его, сведем его к линейному. Для этого введем сферическую систему координат. Тогда для v имеем лишь одну координату:

, и для произведения – две:

.

Подставляем все это в (1), преобразуем, получаем:

.

Решение уравнения ищем методом Фурье: полагая В периодической функцией долготы l и принимая, что затухание процесса во времени подчиняется “формуле”: B ~exp(-pt) [ если р – комплексное, то то процесс – колебательный], – запишем для В:

(m – целое число). (2)

Подставляя (2) в (1), получим:. Обозначив: , имеем: .

Чтобы решить его, придется представить вектор В1 как сумму двух векторов BT и BS: B1 = BT + BS. При этом BT направлен перпендикулярно вектору r, т. е. всюду идет по касательной к сфере радиуса r. Вектор BS перпендикулярен к BT. Вектор BT назван тороидальным вектором. Вектор BS – полоидальным вектором. Анализ показывает, что эти вектора взаимосвязаны:. Практически оказалось, что BT это – поле, “лежащее” на поверхности сферы радиуса r.

BS – поля, лежащие в главных сечениях шара.

Анализ решения дает многообразные варианты распределения полей BT и BS для проводящего шара (рис.136 и137 на с.318-319 в кн. Яновского).

К теории геомагнитных инверсий

Первая попытка сделана Э. Буллардом. Он показал, что униполярное динамо инверсировать не может. Возможны лишь слабые колебания напряженности поля В.

С Ранкорн, однако, показал, что уравнения магнитной гидродинамики не исключают инверсий МПЗ. Согласно Ранкорну, направление магнитного момента системы токовых контуров определяется исключительно видом (картиной) скоростей жидкости в ядре Земли, оно может изменяться с изменением этой картины на противоположное. В принципе, Ранкорн дал лишь чисто формальный ответ на вопрос о процессе самообращения. – Истинная картина условий в ядре еще неизвестна.

Одно из решений этого вопроса дается моделью двойного (биполярного) динамо, предложенная Т. Рикитаки. Такая модель может самовозбуждаться, но, кроме того, иногда будет находиться в неустойчивом состоянии, вследствие чего будет переходить в состояния с новым (как по величине, так и по направлению) полем В. Вращения дисков w1 и w2 происходят в поле В, параллельном осям дисков.

Теория процесса генерации и регенерации поля в модели, данная Рикитаки, сводится к решению уравнений движения дисков и их электромагнитного состояния. Эти уравнения, в соответствии с законами механики и электродинамики, есть:

,

где L1 и L2 – индуктивности дисков 1 и 2; G1 и G2 – их моменты инерции; M1,2 и M2,1 – взаимные индуктивности контура А с диском 2 и контура Б с диском 1; R1 и R2 – сопротивления контуров А и Б; Мw1 и Мw2 – моменты вращения дисков за счет внешних сил.

Решение системы этих уравнений показало, что действительно, если вращение дисков модели поддерживается за счет внешней энергии, то в результирующем поле, кроме общего колебательного процесса, может происходить произвольное число циклов самообращения.

[1] Магнитное поле b, складываясь векторно с полем В0, исказит его, и его силовые линии, представляющие собой (без движения жидкости) прямые линии поля В0, параллельные оси z, после возникновения движения будут как-то изменяться по форме (в пределах соотношения величин полей b и B0 ). Дифференциальное уравнение силовой линии в этом случае должно иметь вид: , где a – угол, составляемый касательной к силовой линии с осью y (силовая линия, значит, лежит в плоскости yz). Подставляя сюда величину b из (10) и интегрируя, получаем уравнение силовой линии.