Пример выбора решения с использование теоремы Гермейера-Вателя

УДК 519.6

ПРИМЕР ВЫБОРА РЕШЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

ТЕОРЕМЫ ГЕРМЕЙЕРА – ВАТЕЛЯ1

ФГОУ ВПО МГУП, г. Москва, Россия

Теорема Гермейера-Вапозволяет принять решение при необходимости достижения взаимовыгодного компромисса. При этом можно найти устойчивое коллективное решение, необходимость которого возникает при условии, что имеется общая цель у нескольких партнеров, стремящихся достичь и своих локальных целей, отличных от общей цели и противоречащих им. Оба критерия, формализующие эти цели, стремятся к максимуму.

----

Моисеев н. н. Математические задачи системного анализа.- М.: Наука, 1981.

Предположим, что имеются два предприятия, расположенные на берегу одного водоема и использующие для производства аккумулированные в нем водные ресурсы. Оба предприятия для уменьшения своих затрат на водоподготовку заинтересованы в том, чтобы степень чистоты водных ресурсов была достаточной. Этого можно достичь, вложив определенные средства в очистку водоема. Очевидно, что степень чистоты водоема зависит от объема вложенных средств. Каждое предприятие заинтересовано в том, чтобы уменьшить свою долю расходов на очистку, поскольку в этом случае сэкономленные средства оно может направить на развитее производства и получение за счет этого дополнительной прибыли.

Таким образом, общая цель может быть описана следующим образом

Р = f(И) → max, (1)

при ограничении

И = Х1 +Х2 (2)

где Р – повышение степени чистоты водоема; И – инвестиции в очистку, вкладываемые предприятиями; Х1 – доля 1-го предприятия; Х2 – доля 2-го предприятия.

Собственные локальные цели каждого предприятия:

D1 = f (У1) → max, (3)

D2 = f (У2) → max. (4)

При этом

Х1 + У1 = С1; (5)

Х2 + У2 = С2, (6)

где С1, С2 - свободные средства соответственно 1-го и 2-го предприятия; У1, У2 - средства, направляемые на развитие соответственно 1-го и 2- го предприятия; D1, D2 - дополнительная прибыль соответственно 1-го и 2-го предприятия.

В соответствии с (5) и (6):

Х1= С1 - У1;

Х2 = С2 - У2.

Следовательно, каждое предприятие заинтересовано в увеличении как степени чистоты воды Р, так и дополнительной прибыли D:

D1 = f (У1) → max;

Р = f(С1 – У1 , С2 – У2 ) → max,

то есть налицо противоречие.

В условиях взаимозависимости двух предприятий любое индивидуальное решение без учета действий другого будет неоправданным или необоснованным. В этом случае необходимо некоторое коллективное решение, которое должно быть вза­имовыгодным и эффективным.

Доказательство существования и правило отыскания в данной конфликтной ситуации вза­имовыгодного и эффективного решения дано в теореме Гермейера-Вателя.

Для достижения компромисса необходимо провести свертку вышеукзанных критериев с использованием весового коэффициента, показывающего степень заинтересованности предприятий в достижении общей цели - ג.

Если известна величина Х2 = С2 - У2 , то 1-е предприятие может разделить С1 в необходимой ему пропорции, определяемой ג.

В этом случае скалярный свернутый критерий

К = min{ ג f (У1), Р = f(С1 – У1 , С2 – У2)}, (7)

то есть новый критерий определяется как наименьшее из чисел ג f (У1) и

Р = f(С1 –У1 , С2 – У2).

Предприятие заинтересовано в максимальном значении критерия К→ мах.

В соответствии с теоремой, величина К достигает максимума при значении У*1., при котором ג f (У1), = Р (С1 – У1 , С2 – У2).

Выбор решения можно показать на примере.

Пусть требуется принять решение об инвестициях 1-го предприятия в очистку водоема

Исходные данные

1. 1-е предприятие располагает финансовыми средствами в размере С1= 100 у. е.

2. Зависимость дополнительного дохода 1-го предприятия от вложенных в его развитие средств У1(

Дополнительный доход 1-го предприятия, нормированный по С1	0	0,30	0,60	0,80	0,96	1,00
Вложенные в развитие пред-приятия средства У1 , у. е.	0	20	40	60	80	100

3. Зависимость степени повышения чистоты воды от инвестиций

Инвестиции (И), у. е.	0	20	40	60	80	100	120
Повышение степени чистоты воды в водоеме	0	0,10	0,12	0,20	0,30	0,50	0,70

4. 2-е предприятие вкладывает в очистку водоема Х2 =20 у. е.

5. Принять l = 0,5.

Решение

Найдем следующие зависимости.

1. Зависимость У1 =l (Д1)

Дополнительный доход 1-го предприятия, нормированный по С1	0	0,30	0,60	0,80	0,96	1,00
l Д1,	0	0,15	0,30	0,40	0,48	0,50
Вложенные в развитие предприятия средства У1 у. е.	0	20	40	60	80	100

2. Зависимость Р= f(У1)

Инвестиции, у. е.	0	20	40	60	80	100	120
Повышение степени чистоты воды	0	0,10	0,12	0,20	0,30	0,50	0,70
У2, у. е.	120	100	80	60	40	20	0

При построении зависимости Р= f(У1) использованы формулы (2) и (5), из которых следует

У1= Х2 + С1 – И.

Следовательно, в соответствии с исходными данными Х2= 20 у. е. и С1=100 у. е.

У1= 120 – И.

Величина ג f (У1), монотонно возрастает вместе с ростом У1. Повышение степени чистоты Р будет монотонно убывающей функцией У1, поскольку, чем больше денег будет истрачено на развитие предприятия, тем меньше останется на очистку воды.

На основании данных зависимостей У1 = l (Д1 ) и Р = f(У1) с использованием зависимости (7) можно определить значения свернутого скалярного критерия К как минимального из двух величин lД1 и Р

Вложенные в развитие пред-приятия средства У1 , у. е	0	20	40	60	80	100
l Д1,	0	0,15	0,30	0,40	0,48	0,50
Повышение степени чистоты воды Р	0,70	0,50	0,30	0,20	0,12	0,10
Значения критерия К	0	0,15	0,30	0,20	0,12	0,10

Отсюда следует зависимость К = f(У1)

Вложенные в развитие пред-приятия средства У1 , у. е.	0	20	40	60	80	100
Значения критерия К	0	0,15	0,30	0,20	0,12	0,10

Величина У*1 определяется при максимальном значении критерия К. Она равна 40 у. е. Следовательно в соответствии с (5) искомая величина Х1 = С1-У1 = 100 –40 = 60 у. е. Инвестиции в очистку водоема составят 60 + 20 = 80 у. е., что позволит повысить степень чистоты водоема на 0,30.

Покажем, что эта точка У*1, которая определяет величину инвестиций, является точкой устойчивого коллективного решения. Для этого решим задачу определения величины инвестиций с позиций 2-го предприятия при тех же исходных данных, определяющих зависимость степени повышения чистоты воды от инвестиций, и зная величину Х1 = 60 у. е., определенную на первом этапе решения.

Дополнительные данные

1. 2-е предприятие располагает финансовыми средствами в размере С1= 40 у. е.

2. Зависимость дополнительного дохода 2-го предприятия от вложенных в его развитие средств У2

Дополнительный доход 2-го предприятия, нормированный по С2	0	0,33	0,62	0,83	0,97	1,00
Вложенные в развитие предприятия средства У2 , у. е.	0	10	20	30	40	60

Принять l =0,6.

Решение

Найдем следующие зависимости.

1.  Зависимость У2 =l (Д2 )

Дополнительный доход 2-го предприятия, нормированный по С2	0	0,33	0,62	0,83	1,00
l Д2,	0	0,20	0,37	0,50	0,60
Вложенные в развитие предприятия средства У2 у. е.	0	10	20	30	40

2. Зависимость Р = f(У2)

Инвестиции, у. е.	0	20	40	60	80	100
Повышение степени чистоты воды Р	0	0,10	0,12	0,20	0,30	0,50
У2, у. е.	100	80	60	40	20	0

При построении зависимости Р = f(У2) использованы формулы (2) и (5), из которых следует

У2= Х1 + С2 – И.

Следовательно, в соответствии с исходными данными Х1= 60 у. е. и С2=40 у. е.

У2= 100 – И.

Поскольку У2 находится в пределах от 0 до 40, то зависимость Р = f(У2) представим в следующей таблице, используя указанные выше данные

Повышение степени чистоты воды Р	0,50	0,40	0,30	0,25	0,20
У2, усл. ед.	0	10	20	30	40

На основании данных зависимостей У2 =l (Д2 ) и Р = f(У2) с использованием зависимости (7) можно определить значения свернутого скалярного критерия К как минимального из двух величин l Д2 и Р

Вложенные в развитие пред-приятия средства У2 , у. е.	0	10	20	30	40
l Д1,	0	0,20	0,37	0,50	0,60
Повышение степени чистоты воды Р	0,50	0,40	0,30	0,25	0,20
Значения критерия К	0	0,20	0,30	0,25	0,20

Отсюда следует зависимость К = f(У1)

Вложенные в развитие предприятия средства У2 , у. е.	0	10	20	30	40
Значения критерия К	0	0,20	0,30	0,25	0,20

Величина У*2 определяется при максимальном значении критерия К. Она равна 20 у. е. Следовательно, в соответствии с (5) искомая величина Х2 = С2-У2 = 40–20 = 20 у. е. Инвестиции в очистку водоема составят 60 + 20 = 80 у. е., что совпадает с решением, принятым 1-м предприятием.

Таким образом, теорема позволяет принять согласованное взаимовыгодное решение в случае, если у двух партнеров имеется единая общая цель и противоречащие ей локальные индивидуальные цели