Практика 9, 10

Практика 9, 10

Постоянная рента постнумерандо

Наращенная сумма S p-срочной ренты с m-разовым начислением процентов в году по номинальной ставке j определяется по формуле

,

где R − годовой член ренты. Переходя к пределу при , получим наращенную сумму p-срочной ренты с непрерывным начислением процентов по годовой ставке :

.

Современная величина A p-срочной ренты с m-разовым начислением процентов в году по номинальной ставке j определяется по формуле

где R − годовой член ренты. Переходя к пределу при , получим формулу для современной величины p-срочной ренты с непрерывным начислением процентов по годовой ставке :

.

Один из неизвестных параметров ренты R, n, j или можно определить, если формулы для наращенной суммы или современной величины разрешить относительно неизвестного параметра.

При расчете срока ренты n следует принимать во внимание следующие обстоятельства. Расчетное значение n, как правило, будет дробным числом. Округлению до ближайшего меньшего числа подлежит число периодов ренты np. В результате такого округления будет возникать недоплата, которую компенсируют либо увеличением первого (последнего) взноса, либо увеличением размера члена ренты.

Если заданной является современная величина A, то положительное значение n существует лишь для или .

Ставку процентов j или находят как результат приближенного решения соответствующего уравнения одним из методов: дихотомии, линейной интерполяции, Ньютона-Рафсона. При определении процентной ставки методом линейной интерполяции исходят прежде всего из заданного коэффициента наращения или коэффициента привидения ренты. Иначе − по известным параметрам S или A, а также R и n определяют ; . Далее вычисление процентной ставки j производится так:

а) при известных S, R и

,

где и − нижнее и верхнее значения предполагаемой процентной ставки; и

− значения коэффициентов наращения при использовании процентных ставок и .

б) при известных A, R и

.

Задачи аудиторной работы

1. В течение 30 лет создается пенсионный фонд. На поступающие средства начисляются сложные проценты по ставке 8,5% годовых. Сумма годовых взносов составляет 200 $. Определите величину фонда для следующих ситуаций: а) взносы и начисление процентов в конце года; б) взносы в конце каждого полугодия, начисление процентов в конце года; в) взносы и начисление процентов в конце каждого квартала; г) взносы в конце каждого полугодия, непрерывное начисление процентов по годовой ставке 8,5%.

(Ответ: а) 24842,95 $; б) 25360,09 $; в) 26987,01 $; г) 27195,25 $)

2. Банк рассматривает условия предоставления кредита своему клиенту в размере

2,8 млн. руб. под 10% годовых. На какой срок банк может выдать кредит, если клиент обязуется его погашение производить ежегодными выплатами в конце каждого года в сумме 0,72 млн. руб.? На сколько нужно увеличить годовые выплаты, чтобы не было недоплаты?

(Ответ: 5,167 года; 0,738633 млн. руб.)

3. Пенсионер получил наследство и хотел бы заключить договор с пенсионным фондом с условием получения 500 руб. в конце каждого месяца на протяжении 5 лет. Какая сумма обеспечит получение такого дохода при 24% годовых?

(Ответ: 18218 руб.)

4. В течение 12 лет создается фонд. Взносы в него поступают в конце года в размере

8 тыс. $. В течение первых 4 лет на поступившие средства начислялись 8% годовых, в последующие 4 года − 8,25% годовых и в последние 4 года − 8,75% годовых. Определите величину фонда.

(Ответ: 85 $)

5. На счет в банк, в течение 6 лет, в конце года поступает 15 тыс. $ и начисляется 9,5% годовых. Имеет смысл перейти к ежемесячным взносам в банк (в конце каждого месяца), если это приведет к 5% увеличению суммы счета к концу шестого года. Целесообразно ли увеличение частоты взносов?

(Ответ: нет)

6. В аренду сдается оборудование стоимостью 1 млн. $ сроком на 4 года. Остаточная стоимость оборудования в конце аренды оценивается в 500 тыс. $. На профилактический осмотр и ремонт арендодатель тратит дополнительно по 200 $ в конце второго и третьего годов. Какую годовую арендную плату следует брать в конце каждого года, чтобы обеспечить норматив рентабельности в 15% годовых?

(Ответ: 71 $)

7. Решено за 15 лет создать некоторый фонд. Взносы в конце каждого года составляют 10 тыс. $, на поступающие средства начисляется 10,5% годовых. Первые 8 лет взносы поступали согласно намеченному плану. Затем было решено изменить порядок взносов: в конце 10-го и в начале 14-го внести в фонд по равной сумме , так чтобы к концу 15-го года получить намеченную ранее сумму фонда. На суммы проценты начисляются по той же ставке, что и ранее. Чему равно значение ?

(Ответ: 33585,95 $)

8. Предполагается путем ежегодных взносов постнумерандо по 100 млн. руб. в течение семи лет создать фонд в размере 1 млрд. руб. Какова должна быть годовая процентная ставка?

(Ответ: 11,709%)

9. Некто, в возрасте 30 лет, решил создать фонд по дополнительной оплате к пенсии. Для этого было решено в течение 30 лет в конце каждого года вносить в банк по 500$ под 6% годовых. Какую сумму можно будет снимать со счета ежемесячно, в конце каждого месяца, после достижения возраста в 60 лет, чтобы на протяжении 20 лет полностью исчерпать накопленный фонд? На остаток средств в фонде начисляется

6% годовых.

(Ответ: 279,59 $)

Задачи для самостоятельного решения

1. Пенсионер накопил в банке к моменту выхода на пенсию 30000 руб. В конце каждого месяца ему начисляют пенсию в размере 2000 руб. Банк обеспечивает по пенсионному вкладу 14% годовых. Сколько лет пенсионер будет получать в конце каждого месяца по 3000 руб.? При необходимости скорректировать первую выплату.

(Ответ: 3,0496 года; 3385 руб.)

2. Родители решили накопить за 18 лет на образование ребенка 50000 $. Банк обеспечивает 6% годовых по вкладу. Сколько денег нужно вносить в конце каждого месяца?

(Ответ: 132 $)

3. На банковском счете накапливается 1000 у. е. с помощью постоянных взносов по

25 у. е. в конце каждого квартала. На поступившие взносы начисляется ежемесячно 1%. Найти срок накоплений с целым количеством кварталов. При необходимости выполнить коррекцию: а) всех взносов; б) последнего взноса.

(Ответ: 6,65 лет; 25,83 у. е.; 57,18 у. е.)

4. Задолженность в 1 млн. $ планируется погасить следующим образом: в течение трех лет в конце года выплачивается по 2 тыс. $, а остальной долг гасится равными суммами в конце пятого и седьмого годов. На остаток долга начисляется 7,5% годовых. Чему равно значение ?

(Ответ: 765,63431 $)

5. У вас имеется 50000 руб. и вы решили накопить через 3 года 100000 руб. Вы вложили деньги в банк под 12% годовых. Какую сумму вам необходимо вносить ежемесячно? Сколько лет вам пришлось бы копить эти деньги дома?

(Ответ: 697 руб.; 3,556 года)

6. Эксперты негосударственного пенсионного фонда предполагают, что на протяжении ближайших пяти лет эффективная годовая процентная ставка будет равна 10%. На протяжении следующего пятилетия ожидается годовая процентная ставка 6%. Человек покупает десятилетнюю ренту с выплатой в конце каждого года 1000 руб. Подсчитайте ее стоимость.

(Ответ: 6407 руб.)

7. Авиационная фирма может продать покупателю свою продукцию по одному из двух вариантов оплаты: а) через год выплачивается 20 млн. $, затем с интервалом через год еще 4 платежа по 30 млн. $; б) через год выплачивается 30 млн. $, затем с интервалом через полгода 8 платежей по 10 млн. $. Какой из вариантов более приемлем для покупателя, если он имеет возможность разместить денежные средства в банке под

8% годовых?

(Ответ: Вариант б))

8. Долг в сумме 370 тыс. $ погашается в течение 5 лет равными платежами с годовой выплатой по 85 тыс. $. Чему равна эффективность займа в виде годовой ставки сложных процентов, если платежи производятся в конце года?

(Ответ: 4,805%)