Комплексные числа

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Методические указания к практическому занятию

по дисциплине «Математика»

РПК «Политехник»

Волгоград

2008

УДК

К 63

Комплексные числа: Методические указания к практическому занятию по дисциплине «Математика» / Сост. ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2008. – 22 с.

Рассматриваются основные задачи на применение комплексных чисел и методы их решения. На основе решенных задач составлены задания для самостоятельной работы. Приводится теоретический материал, используемый при решении задач: основные понятия, геометрическое изображение, формы записи и действия над комплексными числами.

Предназначены для студентов специальности 230103.51 «Автома-тизированные системы обработки информации и управления (по отраслям)».

Рецензент

Библиогр.: 2 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

© Волгоградский
	государственный
	технический
	университет, 2008

ВВЕДЕНИЕ

Число – основное понятие математики, сложившееся в ходе длительного исторического развития. Практическая деятельность человека с одной стороны и внутренние потребности математики – с другой определили развитие понятия числа. Мнимые числа впервые появились в труде Дж. Кардано «Великое искусство» (1545 г.). Решая систему уравнений , , он нашел корни и . Первый кто увидел пользу от введения мнимых величин был Р. Бомбелли. Он определил арифметические операции над такими величинами и подошел к созданию теории комплексных чисел. Л. Эйлер распространил понятие логарифма на любые комплексные числа (1738 г.). А. Муавр решил задачу об извлечении корня натуральной степени из любого комплексного числа (1736 г.). У Гамильтон построил теорию комплексных чисел, исходя из пар действительных числе. Механика, электротехника и многие другие науки используют комплексные числа для решения современных задач. Попытки найти обобщение понятия комплексного числа привели к разработке теории гиперкомплексных чисел.

Практическое занятие

Тема: Комплексные числа.

Продолжительность занятия:

специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управления (по отраслям)» -2 часа;

специальность 151001.51 «Технология машиностроения» -2 часа;

специальность 140212.51 «Электроснабжение (по отраслям)» -2 часа;

Цель занятия: Научить студентов применять комплексные числа при решении задач.

Порядок проведения:

1.Повторить теоретический материал;

2.Разобрать предложенные примеры;

3.Выполнить самостоятельно индивидуальные задания;

4.Ответить на контрольные вопросы.

Студент должен знать:

- понятие и форму записи комплексного числа, действия над комплексными числами.

Студент должен уметь:

- применять комплексные числа при решении задач.

1. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация

Комплексными числами называются числа вида , где и - действительные числа, а число , определяемое равенством , называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:

1)  два комплексных числа и называются равными, если и ;

2)  суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число ;

3)  произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число .

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Действительное число называется действительной частью комплексного числа , а действительное число - мнимой частью.

Любое действительное число содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: . Числа 0, 1 и записываются соответственно в виде , и .

При комплексное число обращается в чисто мнимое число .

Комплексное число называется комплексно сопряженным с числом и обозначается , т. е. .

Комплексные числа вида и называются противоположными.

Модулем комплексного числа называется число :

(1)

Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицательное число:, причем тогда и только тогда, когда .

Комплексное число можно изображать точкой плоскости с координатами (рис.1). При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью.

Каждой точке плоскости с координатами соответствует один и только один вектор с началом в точке и концом в точке . Поэтому комплексное число можно изобразить в виде вектора с началом в точке и концом в точке .

Из геометрической интерпретации комплексного числа вытекают следующие свойства.

1.Длина вектора равна .

2.Точки и симметричны относительно действительной оси.

3.Точки и симметричны относительно точки .

4.Число геометрически изображается как вектор, построенный по правилу сложения векторов, соответствующих точкам и (рис.2).

5.Расстояние между точками и равно (рис. 3).

Угол между действительной осью и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называется аргументом комплексного числа (см. рис. 1). Если отсчет ведется против движения часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по движению часовой стрелки, - отрицательной.

Аргумент комплексного числа записывается так:

или (2)

Для числа аргумент не определен.

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно; любое комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное . Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка называется главным значением аргумента.

Из определения аргумента тригонометрических функций следует, что если , то имеют место равенства

, (3)

Справедливо и обратное утверждение, т. е. если выполняются оба равенства (3), то . Таким образом, все значения аргумента можно находить, решая совместно уравнения (3).

Значения аргумента комплексного числа можно находить и так:

1)  определить, в какой четверти находится точка (использовать геометрическую интерпретацию числа );

2)  найти в этой четверти угол , решив одно из уравнений (3) или уравнение

; (4)

3)  найти все значения аргумента числа по формуле

.

Указание 1

1.Построить радиусы-векторы, соответствующие комплексным числам: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) (рис. 4).

2.Найти действительные числа и из условия равенства двух комплексных чисел: .

Решение. Выделим в обеих частях равенства действительные и мнимые части данных комплексных чисел:

.

Теперь, используя равенство комплексных чисел, составим систему

решив которую получим , .

3.Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1) Здесь , . По формуле (1) получим ; , так как вектор, изображающий данное число, лежит на положительной полуоси .

2) Здесь , ; находим ; , так как вектор, изображающий данное число, лежит на отрицательной полуоси .

3) Здесь , (точка, изображающая данное число, лежит в I четверти); ; ; .

4) Здесь , (IV четверть); ; ; .

4. Найти все значения аргумента комплексных чисел: 1) ; 2) .

Решение. 1) Здесь , ; находим .

2) Здесь , ; находим .

Задание

1.Постройте радиусы-векторы, соответствующие комплексным числам: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

2.Даны числа: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 3; 6) -3; 7) ; 8) . Назовите числа, сопряженные и противоположные данным.

3.На координатной плоскости дан круг с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис.5). Какие числа соответствуют точками , , , , , , лежащим в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в этот круг?

4.Дана точка, изображающая число . Какие числа изображают точки, симметричные данной относительно: 1) действительной оси; 2) мнимой оси; 3) начала координат?

5.Найдите действительные числа и из условия равенства двух комплексных чисел: 1) ; 2) ; 3) .

6.Пользуясь условием равенства двух комплексных чисел, найдите и из соотношений: 1) ; 2) .

7.Найдите действительные значения , при которых справедливо равенство .

8.Найдите модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

9.Чему равен аргумент: 1) чисто мнимого числа; 2) любого отрицательного числа; 3) любого положительного числа; 4) нуля?

10.  Аргумент комплексного числа равен . Чему равен аргумент числа ?

11.  Найдите множество точек координатной плоскости: 1) модуль которых равен 2; 2) аргумент которых равен .

12.  Найдите все значения аргумента комплексных чисел: 1) ; 2) .

2. Действия над комплексными числами,

заданными в алгебраической форме

Над комплексными числами производятся такие же действия, как и над действительными числами. Действия сложения и умножения даны в определении комплексного числа (см. п. 1).

Рассматривая вычитание и деление комплексных чисел как действия, обратные соответственно сложению и умножению, получаем правила вычитания и деления комплексных чисел:

;

.

Указание 2

1.Выполнить действия: 1) ; 2) .

Решение. 1) По правилу сложения комплексных чисел получим

.

2) По правилу вычитания комплексных чисел получим

.

Сложение (вычитание) комплексных чисел сводится к сложению (вычитанию) векторов, изображающих эти числа. Действия над заданными векторами иллюстрируются геометрически на рис. 6, а, б.

2.Показать, что справедливы равенства , , , , где .

Решение. Так как , то , , , , , . Следовательно, получаем четыре чередующихся значения: , , , , где .

3.Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Решение. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

4.Выполнить действия: 1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1) ;

2) ;

3) По правилу умножения комплексных чисел получим

.

Можно произвести умножение по правилу умножения многочленов:

.

5.Выполнить действия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1) Умножив делимое и делитель на , получим

.

2) Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный делителю:

.

3) .

4) .

6. Вычислить .

Решение. Используя соотношение , получим

.

Задание

1.Выполните действия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

2.Вычислите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

3.Выполните действия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 6) .

4.Выполните действия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) .

5.Разложите на комплексные множи; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) 3.

6.Вычислите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) .

3. Действия над комплексными числами,

заданными в тригонометрической форме

3.1  Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть - модуль, а - одно из значений аргумента комплексного числа . Так как из соотношений (3) вытекает, что , , то

(5)

Таким образом, любое комплексное число можно записать по формуле (5), где - модуль, а - одно из значений аргумента этого числа.

Верно и обратное утверждение: если комплексное число представлено в виде (5), где , то , .

Представление комплексного числа в виде

,

где , называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для представления комплексного числа в тригонометрической форме необходимо найти: 1) модуль этого числа; 2) одно из значений аргумента этого числа. В силу многозначности тригонометрическая форма комплексного числа также неоднозначна.

3.2  Действия над комплексными числами,

заданными в тригонометрической форме

Произведение комплексных чисел и находится по формуле

, (6)

т. е.

, .

Таким образом, при умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Частное комплексных чисел и находится по формуле

, (7)

т. е.

, .

Таким образом, при делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Для возведения комплексного числа в n-ю степень используется формула

, , (8)

которая называется формулой Муавра.

Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа используется формула

, (9)

где - арифметический корень, .

Указание 3

1.Представить в тригонометрической форме следующие числа:

1) 2; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Решение. 1) Здесь , , . Так как вектор, изображающий число 2 лежит на положительной полуоси , то главное значение аргумента , следовательно,

или

, .

2) Здесь , , . Поскольку вектор, изображающий число , лежит на положительной полуоси , главное значение аргумента , поэтому

или

, .

3) Здесь , , . Точка, изображающая число , лежит во II четверти; . Значит,

или

, .

4) Здесь , , . Точка, изображающая число , лежит в IV четверти; . Поэтому

или

, .

5) Здесь , , . Точка, изображающая число , лежит в III четверти; , тогда

или

, .

2.Представить в алгебраической форме числа:

1) ; 2) .

Решение. 1) Подставив значения , в данное равенство, получим .

2) Имеем

.

3.Найти произведение

.

Решение. По формуле (6) получим

4.Выполнить деление:

.

Решение. По формуле (7) находим

5.Возвести в степень: 1) ; 2) .

Решение. 1) По формуле Муавра получим

2) Представим данное число в тригонометрической форме. Здесь , , т. е. . Точка, изображающая данное число, лечит в IV четверти, поэтому т. е. . Итак,

.

Следовательно,

6.Извлечь корни из комплексных чисел: 1) ; 2)

Решение. 1) Представим число в тригонометрической форме: . По формуле (9) получим

если , то

если , то

2) Представим число 1 в тригонометрической форме: . По формуле (9) находим

если , то

если , то

если , то

Задание

1.Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

2. Представьте в алгебраической форме числа:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

3.Найдите произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

4.Выполните умножение, используя тригонометрическую форму комплексного числа:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

5.Выполните деление в тригонометрической форме:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

6.Возведите в степень:

1) ; 2) ; 3) .

7.Вычислите: 1) ; 2) .

8.Извлеките корни: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

4. Показательная функция

с комплексным показателем. Формулы Эйлера

Степень с комплексным показателем определяется равенством

.

Можно доказать, что

,

т. е.

(10)

В частности, при получается соотношение

(11)

которое называется формулой Эйлера.

Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями; например, при умножении чисел показатели складываются, при делении – вычитаются, при возведении в степень – перемножаются.

Показательная функция имеет период, равный , т. е. . В частности, при получается соотношение .

Тригонометрическую форму комплексного числа можно заменить показательной формой:

.

Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме, выполняются по следующим формулам:

; (13)

; (14)

; (15)

. (16)

Формула Эйлера (11) устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Заменив в ней на и на , получим

, .

Складывая и вычитая эти равенства, получим

, (17)

, (18)

Эти две простые формулы, также называемые формулами Эйлера и выражающие тригонометрические функции через показательные, позволяют алгебраическим путем получить основные формулы тригонометрии.

Указание 4

1.Найти: 1) ; 2) ; 3) .

Решение. По формуле (11) получим:

1) ;

2) ;

3) по формуле (10) получим .

2.Найти: 1) ; 2) .

Решение. По формуле (17) получим:

1) ;

2)

3.Показать, что для комплексного переменного справедливы формулы: 1) ; 2) ;

3)

Решение. 1) Возведя обе части равенств (17) и (18) в квадрат и затем почленно складывая их, получим

2) Перемножив левые и правые части равенств (17) и (18), получим

3) Возведя обе части равенств (17) и (18) в квадрат и почлено их вычитая, получим

Указание 5

4.Представить в показательной форме числа:1) ; 2) .

Решение. 1) Здесь , , , . По формуле (12) получим .

2) Здесь , , , . По формуле (12) имеем .

5.Представив числа и в показательной форме, вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. Для числа имеем: , , , , т. е. . Для числа имеем: , , , , т. е. .

1) По формуле (13) находим .

2)  По формуле (14) получим

3)  По формуле (15) имеем .

4)  По формуле (16) находим

если , то

если , то

если , то

если , то

Задание

1.Найдите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

2.Найдите: 1) ; 2) ; 3) .

3.Покажите, что для комплексного переменного справедливы равенства:

; ;

; ; .

4.Представьте в показательной форме числа: 1) 1; 2) ; 3) ; 4) .

5.Представив числа и в показательной форме, вычислите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Самостоятельная работа

I вариант

1) Найдите модуль и аргумент числа .

2) Выполните действия: .

3) Возведите в степень по формуле Муавра .

4) Извлеките корень .

5) Решите уравнение .

II вариант

1) Найдите модуль и аргумент числа .

2) Выполните действия: .

3) Возведите в степень по формуле Муавра .

4) Извлеките корень .

5) Решите уравнение .

Контрольные вопросы

1.Основные понятия комплексных чисел.

2.Геометрическое изображение комплексных чисел.

3.Формы записи комплексных чисел.

4.Действия над комплексными числами.

Используемая литература

1.  Богомолов занятия по математике – М.: «Высшая школа» 1979 г., 448 с.

2.  Пехлецкий , учебник – М.: изд. центр «Академия» «Мастерство», 2002 г., 304 с.

Содержание

Введение…………………………………………….……………….	3
Практическое занятие……………………………………………….	4
1. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация.....	4
2. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме………………………………………………	8
3. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме………………………………..……….	10
4. Показательная функция с комплексным показателем. Формулы Эйлера…………………………………………………….	16
Самостоятельная работа…………………………………………….	20
Контрольные вопросы………………………………………………	20
Используемая литература…………………………………………..	20

Рыльцев

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Методические указания к практическому занятию

по дисциплине «Математика»

Под редакцией автора

Темплан 2008 г., поз. № 80К.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1,38. Усл. авт. л. 1,19.

Тираж 50 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.