Предел последовательности.
Введение.
Бесконечный занумерованный ряд вещественных чисел 
называется числовой последовательностью. Значение каждого члена последовательности однозначно определяется его местом в этом ряду, то есть его номером. Можно сформулировать сказанное короче:
Определение. Последовательностью называется функция натурального аргумента 
.
Замечание. Эта связь (зависимость 
от n) не обязательно задается формулой! Иногда это невозможно сделать явно!
Некоторые примеры:
; 
; 
Способы задания последовательности
1. Аналитический (формулой).
2. Рекуррентный. При этом обычно задается первый член последовательности и указывается формула, связывающая n-й член с соседними членами (например, 
и 
).
Классический пример: числа Фибоначчи 
=1, 
=1, 
=+ ;
другие примеры: арифметическая и геометрическая прогрессии.
3. Описательный.
Примеры: 2,3,…,17,19 – простые числа;
3,1,4,… -- десятичные знаки числа 
;
1,0,1/2,0,0,1/3,…
Общие свойства последовательностей
Пояснение: это просто перенесение определений и свойств из раздела «элементарное исследование функции» на частный случай функции натурального аргумента! Однако здесь встречаются и частные виды определений, с которыми иногда удобнее решать задачи.
1. Монотонность.
Определение 1. Последовательность называется возрастающей, если 
выполняется неравенство 
. Обозначение: 
.
Определение 2. 
Замечание. Определения 1 и 2 равносильны. Доказать самостоятельно.
Определение 3. Последовательность называется убывающей:
, если 
выполняется неравенство 
.
Определение 4. Последовательность называется нестрого возрастающей (или неубывающей), если выполняется неравенство 
. Обозначение: 
.
Определение5. Последовательность называется нестрого убывающей (или невозрастающей), если выполняется неравенство 
. Обозначение:
.
Определение6.Последовательность, удовлетворяющая любому из предыдущих пяти определений, называется монотонной.
2. Ограниченность
Определение 1. Последовательность 
называется ограниченной, если существуют такие вещественные числа 
, что выполняется неравенство 
. (Это обычное определение ограниченной функции.)
Определение 2. Последовательность ограничена, если найдется такое положительное число 
, что выполняется неравенство 
.
Определение 3. Последовательность ограничена, если найдется такое положительное число , что для всех членов последовательности, начиная с некоторого номера k, выполняется неравенство : 
.
Замечание. Все три определения ограниченности для последовательности равносильны.
От определения 1 легко перейти к определению 2, если в качестве L взять 
. Из определения 2 немедленно следует определение 3 (k=1). Для перехода от определения 3 к определению 2 достаточно выбрать число 
. Тогда 
, как это и требуется в определении 2.
§1. Определение предела последовательности.
Определение. Число А называется пределом последовательности , если для любого положительного (сколь угодно малого) числа 
найдется номер k, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А менее, чем на :
|
(Вариант записи: 
)
Определение. Последовательность y которой существует конечный предел, называется сходящейся: 
сходится 
выполняется неравенство 
.
Словарик синонимов:
; назовем последний интервал
-окрестностью точки А и будем обозначать его 
:
=
. Тогда определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: число А есть предел последовательности , если 
найдется такой номер k, начиная с которого все члены последовательности попадают внутрь -окрестности точки А, или, другими словами, за пределами любой -окрестности точки А лежит не более чем конечное число членов последовательности.
Упражнение 1. Построить формальные отрицания следующих утверждений:
сходится. Решение:
; расходится, если такого А не существует, т. е. никакое число А не является пределом этой последовательности: 
. Упражнение 2. Доказать, что последовательность 
расходится.
Заметим, что множество значений этой последовательности состоит из двух чисел: 1 и (-1): 
.
Никакое а
не может быть пределом 
: достаточно взять 
и убедиться что 
не содержит ни одного. Число 1 также не является 
: при 
вне 
содержится бесконечное число 
(все члены с нечетными номерами). Аналогично для (-1).
Упражнение 3. Доказать, что если последовательность 
сходится к числу А и последовательность 
получена перестановкой членов последовательности , то и последовательность сходится к числу А.
Упражнение 4. Дана последовательность , такая, что последовательность 
сходится. Обязательно ли сходится последовательность ? Привести соответствующие примеры.
Упражнение 5. Привести примеры последовательностей и 
, имеющих одно и то же множество значений и таких, что:
и сходятся, но имеют разные пределы: 
; сходится, а расходится. Какое условие можно наложить на последовательности и с одинаковыми множествами значений, чтобы они имели равные пределы? Упражнение 6. Доказать, что если , то 
.
§2 Свойства сходящихся последовательностей
Теорема 1. Числовая последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство
От противного: пусть существуют 
и 
, где 
.
 |
Пусть 
. Возьмем 
так чтобы 
и 
не имели общих точек, например, 
. Поскольку 
, для любого 
, в том числе для , найдется такой номер 
, начиная с которого все члены последовательности лежат внутри 
. Значит, вне может оказаться только конечное число членов последовательности . В частности, 
может содержать только конечное число членов последовательности . Это противоречит тому, что
.
Вот строгая формализованная запись доказательства:
возьмем 
(
и ).
или 
.
или 
.
Возьмем 
; тогда 
одновременно выполняются два неравенства: 
и 
. Получили противоречие. Значит, предположение о существовании двух различных пределов было неверно.
Замечание. Сходящаяся последовательность ограничена.
Другими словами: Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Пояснение: если в определении предела взять 
, то утверждение становится очевидным.
§3. Подпоследовательности.
Пусть задана последовательность . Если выписывать не все члены последовательности подряд, а с пропуском (например, каждый второй или каждый пятый или члены с простыми номерами и т. д.), то получится новая последовательность, которая называется частичной последовательностью или подпоследовательностью последовательности .
Точнее: рассмотрим возрастающую последовательность натуральных чисел 
: 
Тогда последовательность 
, где 
при 
, называется подпоследовательностью последовательности и обозначается 
.
Таким образом, подпоследовательность образована только из членов последовательности , причем порядок следования членов в подпоследовательности такой же, как и в исходной последовательности.
Например, последовательность всех нечетных чисел является подпоследовательностью 
, а последовательность 
– уже нет! Значит, менять местами члены исходной последовательности нельзя!
Числа 
сами образуют последовательность – функцию натурального аргумента k! Поэтому можно сказать, что подпоследовательность последовательности -- композиция функции 
и 
.
Предложение. Если последовательность имеет конечный предел, то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел:
.
Доказательство.
Поскольку , то найдется такой номер 
, начиная с которого все лежат в -окрестности точки А: 
. За пределами окрестности может лежать только конечное число членов последовательности , и уж тем более конечное число членов ее подпоследовательности . Это и означает, что число А есть предел подпоследовательности .
Другой вариант доказательства:
Возьмем . Поскольку , то по этому найдется такой номер , начиная с которого . В записи число k означает порядковый номер члена последовательности 
, а 
– номер этого члена в исходной последовательности. Поэтому 
либо совпадает с , либо стоит в записи правее его: 
. А значит, 
выполняется неравенство 
, что и означает, в силу произвольности выбора , что 
.
Замечание. Если последовательность не имеет предела, это еще не значит, что подпоследовательность не имеет предела!
Упражнение. Как теперь можно проще доказать, что последовательность расходится?
§4. Свойства, связанные с неравенствами.
Лемма. Если , 
и , то существует номер , начиная с которого (т. е. 
) 
.
Доказательство
Снова выберем так, чтобы множества и не пересекались, например, 
. Тогда 
и 
. Возьмем .
Очевидно, выполняются неравенства 
.
Следствие 1.
Пусть , . Тогда найдется такой номер 
, что 
.
(Для доказательства достаточно в лемме положить 
)
Теорема 2.(О предельном переходе в неравенстве)
Если , и 
, то 
.
Доказательство. Если это не так, то 
, и по лемме 
, что противоречит условию.
Замечание. Предельный переход сохраняет знак нестрогого неравенства. Однако знак строгого неравенства, вообще говоря, не сохраняется.
Если 
, то отсюда следует лишь неравенство 
, но не 
!
Пример: 
, 
. Видно, что 
, но при этом .
Теорема 3.(О сжатой последовательности)
Пусть даны три последовательности , 
и 
такие, что 
, и, кроме того, 
. Тогда последовательность тоже сходится, причем к тому же числу: 
.
Доказательство
Возьмем и зафиксируем .
, поэтому для выбранного найдется такой номер 
, что
, или .
, поэтому для выбранного найдется такой номер 
, что
, или 
.
Возьмем теперь . Тогда выполняются неравенства 
, что и означает по определению (в силу произвольности выбора ), что .
Упражнение 1. В последовательности 
. Выяснить, может ли последовательность :
Упражнение 2. Могут ли последовательности и сходиться к одному и тому же числу, если
; множества их значений не пересекаются?
