ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 19
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА
С ПОМОЩЬЮ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Приборы и принадлежности: установка для измерения параметров колебаний физического маятника, весы, линейка.
Цель работы: изучение затухающих колебаний физического маятника, определение коэффициента сопротивления воздуха для стержня с помощью колебаний, определение ускорения свободного падения.
Краткая теория
Сила сопротивления воздуха мала, поэтому для ее определения предлагается использовать колебательный процесс, когда малая сила за большой промежуток времени вызывает заметные изменения.
В данной работе исследуются затухающие в воздухе колебания физического маятника в виде стержня, подвешенного за один конец и с помощью измерения времени затухания колебаний определяется коэффициент сопротивления воздуха при движении стержня.
Записав основное уравнение динамики вращательного движения для произвольного элемента длины dl стержня и проинтегрировав уравнение по всей длине маятника, можно получить дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний физического маятника:
, (19.1)
где 
− угол отклонения физического маятника от положения равновесия в зависимости от времени; 
− первая производная по времени от угла отклонения маятника; 
− вторая производная по времени от угла отклонения маятника; d =const³0 − коэффициент затухания; w0 – собственная частота колебательной системы − циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же системы, т. е. в отсутствие потерь энергии (при d =0). В данном случае из вывода уравнения (19.1) получается коэффициент затухания
, (19.2)
где l − коэффициент сопротивления воздуха на единицу длины стержня; 
− линейная плотность стержня (масса единицы длины стержня); 
− длина стержня.
При движении какого-либо тела с малой скоростью в вязкой среде на него действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости u: 
, где r – коэффициент сопротивления. В данной работе находится коэффициент сопротивления r воздуха при поступательном движении в нем стержня со скоростью перпендикулярной оси стержня. В формулу (19.2) входит коэффициент l сопротивления воздуха на единицу длины стержня, т. е. сила, действующая на единицу длины стержня при единичной скорости движения (
) при поступательном движении стержня со скоростью перпендикулярной оси стержня: 
. Коэффициент затухания (19.2) можно записать через коэффициент сопротивления r в виде
, (19.3)
где m – масса стержня. Соотношение (19.3) выполняется и для затухающих колебаний пружинного маятника.
Из вывода уравнения (19.1) получается выражение для собственной частоты колебательной системы
, (19.4)
где g − ускорение свободного падения; − длина стержня.
Общее решение дифференциального уравнения (19.1) имеет вид
,
где 
− произвольные постоянные; 
. Применяя формулу косинуса суммы общее решение дифференциального уравнения (19.1) можно записать в следующем виде:
, (19.5)
где 
и a − произвольные постоянные.
На рис. 19.1 дан график функции (19.5). В соответствии с видом этой функции движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по закону
. (19.6)
Рис. 19.1
Таким образом, циклическая частота затухающих колебаний находится по формуле
.
Она меньше собственной частоты колебательной системы w0. Поэтому период затухающих колебаний 
больше периода колебаний 
той же колебательной системы, в которой отсутствуют потери энергии. С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.
При уменьшении амплитуды колебаний маятника в n раз из (19.6) будем иметь: 
. Логарифмируя это выражение, получим коэффициент затухания
(19.7)
а учитывая (19.3) получим коэффициент сопротивления воздуха
(19.8)
где m – масса стержня; t – время уменьшения амплитуды колебаний в n раз.
Произведенные в лабораторной работе измерения позволяют также найти ускорение свободного падения из (19.4):
, (19.9)
где квадрат собственной частоты колебательной системы находится по формуле
, (19.10)
в которой, в свою очередь, циклическая частота затухающих колебаний 
, где T – период затухающих колебаний, определяемый экспериментально, а коэффициент затухания d находится по формуле (19.7).
Описание установки
Установка (рис. 19.2) состоит из основания 1, на котором закреплена колонна 2. На ней неподвижно крепятся нижний 3, средний 4 и верхний 5 кронштейны. На верхнем кронштейне 5 закреплен крюк, на который подвешивается стержень 6 (физический маятник). На среднем кронштейне 4 закреплена шкала 7, позволяющая определять угол отклонения маятника от вертикали. На нижнем кронштейне 3 закреплен фотоэлектрический датчик 8. Маятник 6 при колебаниях пересекает световой луч фотоэлектрического датчика 8, в результате чего запускаются счетчик колебаний и секундомер.
На лицевой стенке блока управления 9 располагаются:
секундомер 10 – световое табло, на котором высвечивается время колебаний;
счетчик колебаний 11 – световое табло, на котором высвечивается число полных колебаний;
клавиша ''Сеть'' 12 – при нажатии на клавишу на блок управления подается питание, и высвечиваются табло секундомера, табло счетчика колебаний и загорается лампочка фотоэлектрического датчика;
клавиша ''Сброс'' 13 – при нажатии на клавишу обнуляются секундомер и счетчик колебаний;
клавиша ''Пуск'' 14 – в данной работе не используется;
клавиша ''Стоп'' 15 – при нажатии на клавишу секундомер и счетчик колебаний останавливаются.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 19.2
Порядок выполнения работы
Измерьте длину и массу m стержня 6. Установите маятник (стержень 6) на установку. Поворачивая верхний кронштейн 5, добейтесь совмещения стержня 6 с нулем шкалы 7. Подключите установку к сети. Нажмите клавишу «Сеть». Отклоните маятник на угол 
(примерно до конца шкалы 7), отпустите маятник. Измерьте время t уменьшения амплитуды в n=2 раза, а также число полных колебаний N за это время. Для этого нажмите клавишу «Сброс» в момент, когда амплитуда затухающих колебаний уменьшится, например, до 4 см на шкале 7, а когда она уменьшится в n=2 раза от этого значения (т. е. до 2 см на шкале 7) нажмите клавишу «Стоп». Секундомер и счетчик колебаний остановятся. Секундомер покажет время t уменьшения амплитуды колебаний в n=2 раза, счетчик колебаний покажет полное число N колебаний, совершенное за это время. Результаты измерений занесите в табл. 19.1. Таблица 19.1
№ замера | n | N | t, с |
с |
с−1 |
кг/с |
с−1 |
м/с2 |
1 | 2 | |||||||
2 | 3 | |||||||
3 | 4 | |||||||
Среднее |
,
затухающих колебаний для каждого измерения. Результаты расчетов занесите в табл. 19.1. По формуле (19.7) найдите значение коэффициента затухания d для каждого измерения. При отсутствии инженерного калькулятора величину 
можно взять из табл. 19.2. Подойдите к преподавателю на проверку. Найдите среднее значение 
По формуле (19.8) найдите среднее значение коэффициента сопротивления воздуха 
Результаты расчетов занесите в табл. 19.1. Таблица 19.2
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 0,69 | 1,10 | 1,39 | 1,61 |
Используя полученное значение 
определите среднее значение круговой частоты затухающих колебаний 
. Результаты расчетов занесите в табл. 19.1. Используя средние значения 
и 
по формулам (19.9), (19.10) найдите среднее значение ускорения свободного падения 
Контрольные вопросы
Запишите дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний физического маятника. Что такое коэффициент затухания? Что такое собственная частота колебательной системы? Чему равна сила сопротивления при движении тела в вязкой среде с малой скоростью? Что такое коэффициент сопротивления? Запишите общее решение дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний физического маятника и нарисуйте график этой функции. Как изменяется со временем амплитуда затухающих колебаний? Как связана циклическая частота затухающих колебаний с периодом затухающих колебаний? Как зависит период затухающих колебаний от коэффициента сопротивления воздуха?БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Курс физики. М.: Высш. школа, 2007, § 146, с. 264-268.
2. А., Курс физики. М.: Высш. школа, 2000, § 28.1, с. 371-374.
3. Курс общей физики: в 4 т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: учебное пособие / ; под общ. ред. . – М.: КНОРУС, 2009. § 8.9, с. 283-288.
Сост.: зам. зав. каф. ОТД , преп.
24.05.2013
