Контрольная работа 2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В Г. ВОСКРЕСЕНСКЕ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Контрольная работа 2

Условия задач, входящих в контрольную работу одинаковы для всех студентов, однако числовые данные зависят от личного шифра студента, выполняющего работу. Чтобы получить свои личные числовые данные, необходимо взять две последние цифры своего шифра (А – предпоследняя цифра, В – последняя) и выбрать из таблиц параметры m u n.

А	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
m	4	3	5	1	3	2	4	2	1	5

В	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
n	3	2	1	4	5	3	1	5	2	4

Случайные величины

1.Закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

Х	-2	-1	0	т	т+п
Р	0,2	0,1	0,2

Найти вероятности и , и дисперсию D(X), если математическое ожидание M(X)=-0,5+0,5т+0,1п.

2. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

f(x)=

Найти:

а) параметр а;

б) функцию распределения F(x);

в) вероятность попадания СВ Х в интервал (т+п/2;т+п+1);

г) математическое ожидание М(Х)и дисперсию D(X).

Построить графики F(x) и f(x).

3.Случайные величины имеют геометрическое, биноминальное и пуассоновское распределения соответственно. Найти вероятности Р( ), если математическое ожидание , а дисперсия

.

4. Случайные величины имеют равномерное, показательное и нормальное распределение соответственно. Найти вероятности Р( ),если у этих случайных величин математическое ожидание и средние квадратические отклонения равны т.

Математическая статистика

1.  Численная обработка данных одномерной выборки

Выборка Х объемом N=100 измерений задана таблицей:

	5	13	20+(т+т)	30-(т+п)	19	10	3

где - результаты измерений, - частоты с которыми встречаются значения ,∑ =100, =0,2т+(i-1)0,3п.

1.1. Построить полигон относительных частот .

1.2. Вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение σ.

1.3. По критерию χ²проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α=0,05.

2.Построение уравнения прямой регрессии

Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков x и y объемом N=100 измерений задана корреляционной таблицей:

	2	3				5
	3	8	2			13
		8+т	12+п			20+(т+п)
			16-т	14-п		30-(т+п)
			9	10		19
			3	6	1	10
				1	2	3
	5	19+т	42+п-т	31-п	3	100

где =0,2т+(i-1)0,3п, =0,5т+(j-1)0,2п.

2.1. Найти и σдля выборки

	5	19+т	42+п-т	31-п	3

2.2. Построить уравнение прямой регрессии У на Х в виде , и σ следует взять из задачи 1.2.

2.3. На графике изобразить корреляционное поле, то есть нанести точки(;) и построить прямую .

Контрольная работа 1

Вариант 1

1.  Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится сумма меньше шести.

2.  Слово составлено из карточек, на каждой из которых напи­сана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без воз­врата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимают в порядке слова "профессор".

3.  В урне 4 черных и 7 белых шаров. Случайным образом выни­мают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется: I) хотя бы один белый шар; 2) более двух белых шаров.

4.  На электростанции 15 сменных инженеров, из них 3 женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятность того, что в случай­но выбранную смену мужчин окажется не менее 2.

5.  В мастерской имеется 12 моторов. Вероятность того, что мотор работает с полной нагрузкой равна 0,8. Найти вероятность того, что не менее 10 моторов работают с полной нагрузкой.

6.  Расследуются причины неудачного запуска космической ра­кеты, о которой можно высказать четыре предположения По данным статистики Р(Н1)=0,2; Р(Н2)=0,4; Р(Н3)=0,3; Р(Н4)=0,1. В ходе расследования обнаружено, что при запуске про­изошла утечка топлива (событие А). Условные вероятности события А согласно той же статистике равны: Р(А/ Н1)=0,9; Р(А/Н2)=0; Р(А/Н3)=0,2; Р(А/ Н4)=0,3. Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях?

7.  Завод отправил в магазин 500 изделий. Вероятность повреж­дения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: I) ровно 3 изделия; 2) менее двух изделий.

8.  Вероятность появления события в каждом из 400 независи­мых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относитель­ная частота появления события отклонится от его вероятности по, абсолютной величине не более чем на 0,02.

9.  Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена: I) ровно 150 раз; 2) более 160 раз.

Вариант 2

1.В цехе работают 8 мужчин и 6 женщин. По табельным но­мерам наудачу отобраны 9 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 4 женщины.

2.Игральную кость бросают два раза. Найти вероятность то­го, что оба раза выпадет одинаковое число очков.

3.Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

4.Два автомата производят детали, поступающие в сборочный цех. Вероятность получения брака на первом автомате 0,06; на втором - 0,04. Производительность второго автомата втрое боль­ше производительности первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованная.

5.Монету бросают 7 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет 5 раз?

6.Вероятность появления события в каждом из 100 независи­мых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) 90 раз; б) более 90 раз.

7.На заводе изготовлена партия, состоящая из 1200 головок сыра, одинаковых по весу и внешнему виду. Известно, что при­мерно 75% из них стандартной жирности. Найти вероятность того, что относительная частота получения сыра стандартной жирности будет отклоняться от вероятности р менее чем на 0,01. Найти доверительный интервал.

8.Из полного набора костей домино наугад берут две кости. Какова вероятность того, что одну из них можно приставить к другой?

9.Два автомата производят одинаковые детали, которые посту­пают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат произ­водит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена вторым ав­томатом.

Вариант 3

1.  32 буквы русского алфавита написаны на одинаковых карточ­ках. 5 карт вынимают наугад одна за другой и укладывают на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово "конец".

2.  Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях больше пяти.

3.  Из колоды в 52 карты наугад вынимают 5. Найти вероятность того, что среди них окажется 2 десятки.

4. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка - 0,9; для второго - 0,8; для третьего - 0,75. Найти вероятность следующих событий: I) в течение часа один ста­нок потребует внимания рабочего; 2) ни один из станков не потребует внимания рабочего.

5.  Отдел технического контроля проверяет изделия на стан­дартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из четырех проверенных изделий стандартно: I) только одно; 2) не меньше двух и не больше трех.

6.  В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из ко­торых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берёт одно из ружей наудачу.

7.  Завод отправил в магазин 400 изделий. Вероятность пов­реждения изделия в пути равна 0,0025. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено менее 2-х изделий.

8.  Вероятность появления события в каждом из 100 незави­симых испытаний постоянна и равна р=0,6."Найти вероятность то­го, что событие появится: I) ровно 75 раз; 2) более 75 раз.

4.  Вероятность появления события в каждом из 900 независи­мых испытаний равна 0,5. Найти такое положительное число ε бы с вероятностью 0,7286 абсолютная величина отклонения отно­сительной частоты появления события от его вероятности 0,5 не превысила ε.

Вариант 4

1. В кошельке лежат три монеты достоинством 20 рублей и семь монет по 5 рублей. Наудачу берут 3 монеты. Найти вероят­ность того, что среди них будет две монеты достоинством 5 рублей.

2. Из колоды в 36 карт, наугад выбирают 4 карты. Найти веро­ятность того, что среди них хотя бы один туз.

3. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выст­реле равна 0,8. Сколько выстрелов должен, произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно ожидать, что не будет ни одного промаха?

4. Произведен залп из двух орудий. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,6; из второго - 0,9. Найти вероятность поражения цели.

5. В магазин вошли 8 покупателей. Найти вероятность того, что не меньше 6 человек совершат покупки, если вероятность со­вершения покупки для каждого из них одна и та же, и равна р=0,4.

6. Программа экзамена содержит 30 различных вопросов, из которых студент Иванов знает только 15. Для успешной сдачи эк­замена достаточно ответить на 2 предложенных вопроса или на один из них и на дополнительный вопрос. Какова вероятность того, что Иванов успешно сдаст экзамен?

7. Найти среднее число λ бракованных изделий в партии из­делий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна 0,95. Предполагается, что число бракованных изделий в рассматриваемой партии распределено по закону Пуассона.

8. Вероятность рождения девочки 0,49. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется: I) 30 девочек; 2) не мень­ше 30 и не больше 50 девочек.

9. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное ε, чтобы с вероятностью 0,9722 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,8 не превысила ε.

Вариант 5

1.В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыс­киваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти ве­роятность того, что среди них окажется нужная.

2.  Две игральные кости подбрасывают один раз. Найти вероят­ность событий: I) число очков кратно 3; 2) число очков больше 2.

3.  В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отка­зов первого, второго и третьего элементов соответственно равны: 0,1; 0,15; 0,2. Найти вероятность того, что тока в це­пи не будет.

4.  Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,15. Какова вероятность выигрыша из 6 купленных не менее 4 билетов?

5.  В урне 10 белых и 5 черных шаров. Наудачу вынули 14 ша­ров (с возвращением). Какова вероятность того, что белых шаров при этом получили не менее 12?

6.  Шесть шаров, среди которых 3 белых и 3 черных, распреде­лены по двум урнам. Наудачу выбирают урну, а из нее - один шар. Как нужно распределить шары по урнам, чтобы вероятность события А (вынутый шар белый) была максимальной?

7.  Устройство состоит из большого числа независимо работа­ющих элементов с одинаковой (очень малой) вероятностью отказа каждого элемента за время Т. Найти среднее число отказавших за время Т элементов, если вероятность того, что за это время от­кажет, хотя бы один элемент равна 0,98.

8.  Вероятность поражения мишени при одном выстреле 0,85. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет по­ражена: I) 80 раз; 2) более 80 раз.

9. В урне содержатся белые и черные шары в отношении 2:3. После извлечения шара регистрируют его цвет, и шар возвращают в урну. Чему равно число извлечений п, при котором с веро­ятностью 0,9736 можно ожидать, что абсолютная величина откло­нения относительной частоты появления белого шара от его веро­ятности будет не более чем 0,02?

Вариант 6

1.Вгруппе 16 студентов, среди которых 8 отличников. Наудачу отбирают 10 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных 4 отличника.

2. В партии из 20 деталей имеется 15 стандартных. Наудачу вынимают 2 детали с возвращением каждой вынутой детали обратно. Найти вероятность того, что среди отобранных ровно одна стан­дартная деталь.

3. Узел автомашины состоит из 4 деталей. Вероятности выхо­да этих деталей из строя соответственно равны:0,04; 0,05; 0,02; 0,03. Узел выходит из строя, если выходит из строя хотя бы одна деталь. Найти вероятность того, что узел не выйдет из строя, если детали выходят из строя независимо друг от друга.

4. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй - 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны случайным образом взяли 3 шара, а из второй - 2 шара. Найти вероятность того, что сре­ди вынутых все шары одного цвета.

5. Два автомата производят детали. Производительность второго втрое больше производительности первого. Первый автомат произво­дит в среднем 75% деталей отличного качества, а второй – 85%. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероят­ность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

6. Монету бросают 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет более 7 раз? ,

7. В каждом из 500 независимых испытаний событие А происхо­дит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит: а) точно 220 раз; б) менее чем 240 и более чем 180 раз.

8. Устройство состоит из 500 элементов, работающих независи­мо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,004. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно 4 элемента.

9.Производится измерение диаметра вала. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 5 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной вели­чине 10 мм.

Вариант 7

1.Игральную кость подбрасываю один раз. Найти вероятность следующих событий: а) число очков кратно 3; б) число очков боль­ше двух.

2.На карточках написаны цифры I,2,3,4,5,6. Карточки тщательно перемешивают. Наугад берут 3 карточки и выкладывают ихв ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность по­лучить при этом:

1) четное число; 2) число 123?

3.В урне 10 белых и 5 черных шаров. Наудачу вынимают 4 шара. Какова вероятность того, что среди них будет: I) 3 белых пара; 2) не больше 3-х белых шаров?

4.Проводят три повторных независимых измерения некоторойфизической величины. Вероятность того, что при одном измерении(любом) ошибка выйдет за пределы допуска, равна 0,1. Найти ве­роятности следующих событий: А - во всех проведенных измерениях была достигнута заданная точность; В - по крайней мере, в двух измерениях подряд была достигнута заданная точность.

5.В цехе изготавливают кинескопы для телевизоров, причем 70% всех кинескопов предназначены для цветных телевизоров и 30% для черно-белых. 50% всей продукции отправляют на экспорт, при­чем из общего числа кинескопов, предназначенных для цветных те­левизоров, 40$ отправляют на экспорт. Найти вероятность того, что наудачу взятый для контроля кинескоп предназначен для черно-
белого телевизора и будет отправлен на экспорт.

6.Приняв вероятность рождения мальчика равной 0,515, найти вероятность того, что среди 10 новорожденных будет 6 девочек.

7.Книга издана тиражом 10000 экземпляров. Вероятность бра­кованной книги равна 0,0003. Найти вероятность того, что тираж содержит 2 бракованные книги.

8.В каждом из 500 независимых испытаний событие А происхо­дит с постоянной вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что событие А наступит: I) ровно 300 раз; 2) больше 300 раз.

9.Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,97, можно было ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты годных деталей от вероятности 0,88 детали быть годной, не превысит 0,04?

Вариант 8

1.В магазин поступило 50 головок сыра, причем 20 из них сы­ра Голландский. Найти вероятность того, что среди 6 взятых нау­дачу головок три окажутся сыром Голландский.

2.Опыт состоит в четырехкратном наборе букв (а, б, к, о, м) возвращением одной из них и выкладывали, слова в порядке поступ­ления букв. Какова вероятность того, что в результате будет вы­ложено слово "мама"?

3.В колоде 32 карты. Наугад выбирают 5 карт. Найти вероят­ность того, что среди них окажется:. I) хотя бы одна дама; 2) толь­ко одна дама.

4.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считает­ся сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех содержащихся в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?

5. В двух цехах штампуют однотипные детали. Первый цех дает 10% брака, второй - 8%. Для контроля отобраны 90 деталей из пер­вого цеха и 100 из второго. Детали смешаны в одну партию и из неё наудачу извлекают одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?

6.Найти вероятность того, что событие А появится не менее 2-х раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появ­ления события А в одном испытании равна 0,6.

7.Устройство состоит из 500 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут 4 элемента.

8.В каждом из 500 независимых испытаний событие А происхо­дит с постоянной вероятностью р=0,42. Найти вероятность того, что событие А происходит: а) точно 300 раз; б) больше 300,но меньше 400 раз.

9.В каждом из 700 независимых испытаний событие А происхо­дит с постоянной вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что относительная частота этого события отличается по абсолютной величине от вероятности 0,6 не более чем на 0,005?

Вариант 9

1.В урне 20 белых к 10 черных шаров. Наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что вторым будет, вынут белый шар.

2.Устройство состоит из 7 элементов, 2 из которых изноше­ны. При включении устройства включается случайным образом 2 эле­мента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизно­шенные элементы.

3.Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаря­да попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие да­ло попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим соответственно равны 0,4; 0,3; 0,5.

4.В урне содержится 4 черных и 5 белых шаров. Случайным об­разом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется: I) 2 белых шара; 2) менее двух белых шаров.

5.Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального полета и в условиях пе­регрузки при взлете и посадке. Нормальный полет осуществляется в 80% всего времени полета, условия перегрузки - в 20%. Вероят­ность выхода из строя прибора за время полета в нормальном ре­жиме равна 0,1, а в условиях перегрузки - 0,4. Вычислить надеж­ность прибора за время полета.

6.Монету бросают 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) меньше 3-х раз; б) не менее 8 раз.

7.Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовлен­ная деталь окажется бракованной, равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 500 деталей окажется 3 бракованных.

8.Вероятность появления события в каждом из n независимых испытаний равна 0,64. Найти число n , при котором с вероят­ностью 0,9876 можно ожидать, что относительная частота появ­ления события отклонится от его вероятности по абсолютной ве­личине не более чем на 0,02.

9.Цех выпускает в среднем 90% продукции отличного качест­ва. Какова вероятность того, что в партии из 200 изделий бу­дет: I) 150 изделий отличного качества; 2) более 150 изделий отличного качества.

Вариант 10

1.Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что появятся только четные числа очков.

2.Слово состоит из карточек, на каждой из которых напи­сана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без воз­врата по одной. Найти вероятность того, что вынутые буквы сос­тавят слово "процессор" в порядке юс следования.

3.В урне 6 белых и 5 черных шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется: I) 2 белых шара; 2) меньше 2-х белых шаров.

4.Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т соответственно с вероятностями 0,871; 0,771; 0,721. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя: I) только один элемент; 2) хотя бы один элемент.

5.На сборку попадают детали с 3-х автоматов. Известно, что
первый автомат дает 0,3% брака, второй - 0,2% и третий - 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000 деталей, со второго - 2000,с третьего - 2500.

6.Всхожесть партии ржи равна 00$. Чему равна вероятность того, что из 8 посеянных взойдет не меньше 6 зерен?

7.Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа поз­вонят 5 абонентов?

8.Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что
из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано, будет не бо­лее 17?

9.С конвейера сходит 85$ изделий первого сорта. Сколько изделий надо взять, чтобы с вероятностью 0,997 отклонение доли изделий первого сорта в них от 0,85 по модулю не превосходило 0,01?