Организация процесса познания и усвоения на уроке

Организация процесса познания и усвоения

на уроке.

Не вызывает сомнений утверждение, что содержание обучения – один из важнейших факторов, влияющих на эффективность школьного математического образования.

Однако другой не менее важный фактор составляют методы обучения. Математика сама по себе ум школьника в порядок не приводят. Все зависит от ориентации обучения, способа преподавания.

«Исследователи справедливо подчеркивают примат метода над предметом изучения, считая, что для развития мышления важно не столько то, чему учат, сколько то, как учат». ()

Главная задача обучения математике – учить рассуждать, учить мыслить. И не один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности.

«Очень немногие из оканчивающих школу будут математиками. Однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать». ()

Небезынтересен афоризм: «Образование есть то, что остается после того, как будет забыто все, что было выучено». Те или иные конкретные теоремы, определения, задачи со временем могут подвергнуться забвению; но общий способ овладения и пользования этими знаниями, общие логические приемы наблюдения, исследования есть приобретения ума, отличное от самих знаний, более устойчивое, чем знание; оно играет не последнюю роль в развитии познавательных способностей человека, с одной стороны, и в становлении мировоззрения – с другой.

Влияние методов обучения на формирование черт личности гораздо серьезнее, чем это принято думать.

Сейчас все чаща высказывается мнение о решающем влиянии на развитие математической деятельности не столько содержания программы (чему учить?), сколько метода обучения (как учить?). Задача учителя – так построить урок, чтобы не одна его минута не проходила бесполезно ни для одного учащегося, чтобы класс интенсивно работал. Уроки должны захватывать всех учеников, объединять их в одной общей работе, организовывать их дальнейшую самостоятельную работу. Не простое это дело – так обучать, чтобы доступная строгость сочеталась с интересным восприятием материала учащимися.

«…плохой учитель преподносит истину, хороший учит ее находить». (Ф. Дистервег)

С конца XIX века стала разрабатываться и внедряться идея проблемного обучения, высказанная еще Руссо. Научная разработка эвристических методов обучения в отечественной педагогике была начата .

При ознакомлении учащихся с новыми понятиями, если это возможно, использую именно эвристический метод, так как считаю, что прежде всего этот метод создает благоприятные условия для успешного усвоения учебного материала и прочного его запоминания учащимися.

«На прочность усвоения учебного материала большое влияние оказывают интерес к изучаемой теме, положительные эмоции…

Если учащийся выполняет над материалом активную мыслительную деятельность и эта деятельность способствует углубленному пониманию материала, то происходит успешное запоминание материала. (Это и есть основная закономерность понятий)» ()

Эвристический метод (от греческого слова «эврика» - нашел) – метод, при котором учитель вместо изложения учебного материала в готовом виде подводит учащихся к «переоткрытию» теорем, их доказательств, к самостоятельному формированию определений, к составлению задач. На своих уроках использую следующие виды этого метода: метод целесообразных задач; эвристическая беседа, при которой учащиеся подводятся к определенному выводу с помощью системы вопросов; постановка и решение проблемы; обобщение способа решения задач и составление рекомендаций для поиска решения подобных задач.

Считаю, что эвристический метод имеет серьезные преимущества перед остальными методами, он развивает сообразительность, инициативу, привычку к самоконтролю, это метод активного познания. Согласно с тем, что этому методу присущи и недостатки: он требует большей, чем при сообщении готовых знаний, затраты времени; при этом методе особенно сильно сказываются индивидуальные различия учащихся: многие из них не успевают решать поставленные проблемы; активное участие в решении проблемы принимает не весь класс, некоторые учащиеся пассивны.

Но если эвристический метод использовать в разумной мере, нейтрализуя его недостатки, то результат его использования будет высоким. Прежде всего у всех учащихся должны быть сформированы умения и навыки, необходимые для самостоятельного решения проблемы. На уроках рассматриваются нетрудоемкие проблемы, которые успевают решить все учащиеся класса с небольшой разницей во времени. Более трудоемкие проблемы включаются в домашнее задания. На уроке только создается проблемная ситуация и ставится проблема. В домашних условиях каждый ученик может спокойно, не торопясь, рассмотреть достаточное число частных случаев, обратиться к книгам и самостоятельно придти к «открытию», испытывая при этом большое удовлетворение, что обычно проявляется на следующий день в оживленных дискуссиях.

Приведу несколько примеров проблемных уроков из опыта своей работы.

Тема урока: «Делимость натуральных чисел на 5».

Обращаюсь к классу с просьбой: «Назовите любые натуральные числа». На доске записываю ответы учащихся. Например:

105 07515

(дописываю сама)

2

7005090

4619 7170 720

70054615

Сообщаю, что из всех записанных чисел только подчеркнутые мною делятся на 5 без остатка. Обращаю внимание учащихся на то, что если они найдут отличительную черту подчеркнутых чисел от остальных, то тем самым смогут сформулировать признак деления натуральных чисел на 5.

Когда признак сформулирован, предлагаю учащимся обосновать свое утверждение. Для этого рекомендую им рассмотреть конкретный случай. Взять, например, только трехзначное число. Ученики слабой группы, имея перед собой цель, приступают к анализу задачи, начинают рассматривать структуру данного числа, его разряды. Замечая, что в данном числе несколько сотен, несколько десятков, несколько (0 или 5) единиц, они приходят к заключению, что, независимо от числа сотен и десятков (и 100, и 10 кратны 5), оно кратно 5, так как число единиц (0 или 5) делится на 5 без остатка. Решение этой проблемы они самостоятельно оформляют в тетрадях. Учащимся посильнее в это время даются карточки с различными числами, среди которых встречаются числа, кратные 5 и не кратные 5. в процессе работы с этой группой учеников подвожу их к детальному разбору структуры разрядных слагаемых каждого конкретного числа, и сначала на этих конкретных примерах, а потом и в общем виде ученики показывают, откуда следует их кратность 5.

На этом уроке ученикам предлагают для закрепления задания:

1.  Найти остаток от деления на 5 чисел 202, 146, 837, 531.

2.  При каком значении х число 827341+ х разделится на 5 без остатка?

3.  Из цифр 3, 0, 5 составить всевозможные числа кратные 5.

4.  Какую цифру следует подставить вместо * в запись 42*, 1*5, *20, *72, чтобы полученное число делилось нацело на 5?

Тема урока: «Простые и составные числа».

В начале урока желательно вспомнить историю возникновения натуральных чисел, их свойства, проговорить определение делителя числа. Затем обращаю внимание учащихся на заранее записанные на доске натуральные числа от 2 до 15:

1 1; 2 1;2 3 1;3

4 1;2;4 5 1;5 6 1;2;3;6

7 1;7 8 1;2;4;8 9 1;3;9

10 1;2;5;10 11 1;11 12 1;2;3;4;6;12

13 1;13 14 1;2;7;14 15 1;3;5;15

Предлагаю учащимся записать рядом делители данных чисел (одновременно у доски работают по три ученика). Выделенные мною числа, сообщаю ребятам, называются простыми. Для того, чтобы верно сформулировать определение простых чисел необходимо найти их характерное отличие от остальных.

Если ребята затрудняются увидеть особенность данных чисел, то оказываю им помощь в виде дополнительных указаний, вопросов.

Аналогичную работу провожу над определением составных чисел. Здесь же можно поговорить о возникновении термина «составное число».

Далее разбираются вопросы:

1.  Является ли нуль составным числом?

2.  Каким числом является единица?

Делаем вывод о делении всех натуральных чисел на три группы: простые, составные, единица.

Выполнив для закрепления ряд упражнений рассказываю ребятам, что античные математики вообще считали очень важным рассматривать вместе с каждым числом все его делители. Числа, имеющие много делителей, назывались избыточными, а имеющие мало делителей - не достаточными. Древние греки особенно ценили числа у которых сумма собственных делителей была равна самому числу, их назвали совершенными. Например, для шести 1+ 2+ 3= 6. То же для 28: 1+ 2+ 4+ 7+ 14= 28. вплоть до V века н. э. в Египте сохранялся пальцевый счет (обозначение чисел при помощи пальцев), при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображало 6- первое совершенное число. Тем самым этот палец как бы стал причастием к совершенству и потому получил привилегию нести на себе кольцо. У всех цивилизованных народов существует традиция носить кольцо именно на безымянном пальце.

В учебный материал стремлюсь органично вплетать богатые в эмоциональном отношении эпизоды истории науки, знакомящие школьников с великими открытиями. Так, например, древние греки, заметив, что высоты звучания струн зависят от их длины, стали заниматься изучением отношений чисел и назвали эту часть математики музыкой.

Обучение должно быть построено таким образом, чтобы в его процессе учащийся, получая знания, удивлялся и восхищался мудростью тех, кто принес людям эти знания, удивлялся м восхищался гармонией вещей, с которыми его знакомят, чтобы он по существу оценивал смысл и значение приобретаемых знаний.

Важное значение среди методов активного учения имеет самостоятельная работа учащихся. Проблема развития самостоятельности мышления учащихся в процессе обучения математике является острой, еще не разрешенной проблемой методики математики. Знания ученика будут прочными, если они приобретены не одной памятью, не заучены механически, а являются продуктом собственных размышлений и закрепились в результате его собственной творческой деятельности над учебным материалом.

Рассмотрим фрагмент урока по теме: «Равносильные уравнения».

Предлагаю учащимся самостоятельно решить уравнения:

а) х+2= 5 и 2х=6 д) т-3=7 и 2т=16

б) а/4=8 и а+2=34 е) 3у=21 и у-8=9

в) 15/у=3 и 12-у=7 ж) 0/к=4 и 2к=8

г) 0*х=9 и 0/х=6 з) 0*х=0 и х/14=0

Найти особенность пар уравнений, стоящих в левом столбце. Данные уравнения называются равносильными (эквивалентными).

Попытайтесь сформулировать определения равносильных уравнений, приведите примеры.

Затем разбираем несколько заданий для закрепления нового понятия.

Далее провожу групповую самостоятельную работу. Ребята составляют уравнение на свое усмотрение (простейшее, сложное или среднего уровня), после чего происходит между соседями по парте взаимообмен тетрадями: для данного уравнения составить ему равносильное в итоге оцениваю не только качество работы но и количество (чем больше записано и решено пар равносильных уравнений, тем лучше).

«Математический опыт нельзя считать полным, если он не имел случая решить задачу, изобретенную им самим». (Д. Пойа)

После ознакомления учащихся с темой «Координатная плоскость» провожу самостоятельную дифференцированную работу. На предложенных мною карточках записаны координаты точек. Например: (0;0), (-1;1), (-3;1), (-2;3), (-3;3), (-4;6), (0;8), (2;11), (6;10), (3;9), (4;5), (3;0), (2;0), (1;-7), (3;-8), (0;-8), (0;0). Если данные точки построены верно и их последовательно соединить, то в результате получится определенный рисунок (в данном случае - страус).

Ребятам эти задания очень нравятся. Предлагаю им обратное задание выполнить дома: самим нарисовать любой рисунок, имеющий конфигурацию ломаной, и записать координаты вершин.

«Если ученик в школе не научится сам творить, то и в жизни он всегда будет только подражать копировать». ()

Составление задач по рисункам, таблицам, символическим записям - это эффективное средство развития языковых способностей школьников. Умелое использование взаимопереходов между образным, символическим и словесным – важнейший секрет обучения. Символическая запись делает понятие или упражнения информационно емкими и психологически четкими. При введении новых понятий и символов важно соблюдать принцип системности и целостности.

Говорят, что театр начинается с вешалки. Подобно этому, математика начинается с символики и соответствующей терминологии.

Говорят также, что грамм профилактики дороже килограмма лечения. Предотвратить неудачные словесные обобщения легче всего на исходном этапе, заботясь о семантической, фонетической и символической четкости соответствующей информации.

Систематическая работа с учащимися по составлению и анализу определений приучает их ответственно относиться к своей речи, ясно, кратко и точно выражать свои мысли.

Проблемную ситуацию можно создать при помощи сравнения, аналогии. Для того, чтобы приучить учащихся мыслить самостоятельно, привить им твердую привычку надеяться в разрешении возникающих затруднений на собственные силы и разум, а также воспитать уверенность в практической неограниченности своих возможностей, необходимо заставить их пройти через определенные трудности, а не подавать им все в готовом и до конца «разжеванном» виде.

Наблюдение и сравнение позволяют по нескольким частным случаям угадывать общее закономерности. Например:

1.  Какое из чисел не обладает свойством, присущим остальным числам : 837; 612; 549; 426; 343?

2.  Найти правило нахождения числа, помещенного в треугольник. Поставить число в свободный треугольник, используя найденное правило.

 

5	8	10	8	41	24

 

 

Наблюдение – это целенаправленное восприятие какого-либо явления или объекта с целью выявления его особенностей и существенных свойств. Наблюдение и сравнение – эмпирические методы познания действительности. Их следует использовать в обучении математике, иначе теряются столь важные стороны обучения, как привлечение учащихся к участию в конструктивном процессе, обучение их способам открытия математических истин.

«Умственное развитие учащихся, которые должны подготавливаться уже в период школьного обучения к роли творчески мыслящей активных деятелей, не может быть полноценным, если их не научат в школе специально применению приема аналогии». ()

Аналогия – это сходство между объектами в некотором отношении. Аналогия – весьма эффективный эвристический инструмент познания. Применение аналогии распадается на следующие действия: построение аналогов различных заданных объектов и отношений; нахождение соответственных элементов в аналогичных предложениях; составление предложений или задач, аналогичных данным; проведение рассуждений по аналогии.

Формировать умение составлять предложение, аналогичное данному, можно при изучении признаков делимости.

Предложения, которые я предлагаю учащимся	Предложения, которые формулировали учащиеся по аналогии
На 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3	На 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9
На 5 делятся те и только те числа, в записи которых последняя цифра 0 или 5	На 25 делятся те и только те числа, в записи которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 25
Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3	*Число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4
На 4 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4	*На 8 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8

Учащимся необходимо показать, что если данные высказывания (предложенные мною) истинны, то необязательно окажутся истинными высказывания, полученные из данных по аналогии. Учащиеся должны знать, что для установления ложности какого-либо утверждения достаточно привести хотя бы один пример, опровергающий его. Так, высказывания (*) являются ложными: 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8; 100 и 164 не делятся на 8. далее важно показать, что 4 можно представить в виде произведения двух одинаковых множителей (4=2*2), а 8 – в виде произведения трех одинаковых множителей (8=2*2*2). Установив такое различие, учащиеся могут заметить, что в последнем утверждении рассматриваются такие числа, у которых количество последних цифр – нулей – равно числу простых множителей в разложении числа 4. это наблюдение поможет сформулировать истинное утверждение: на 8 делятся те числа, у которых три последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

Метод аналогии можно использовать при изучении темы «Сложение десятичных дробей» для того, чтобы подвести учащихся к формулировке правила сложения десятичных дробей. Для этого нужно параллельно рассмотреть сложение натуральных чисел и сложение десятичных дробей.

Рассмотрев несколько примеров:

а) 1,2+3,4=1 2/10+3 4/10=4,6

б) 0,35+0,41=35/100+41/100+76/100=0,76

в) 15,16+3,204=15 16/100+3 204/1000=15 160/1000+3 204/1000= =18 364/1000=18,364,

учащиеся легко замечают, что сложение десятичных дробей выполняется поразрядно: десятки складываются с десятками, единицы - с единицами, десятые доли – с десятыми, сотые доли – с сотыми и т. д. Делаем вывод, что правило поразрядного сложения позволяет складывать десятичные дроби точно так же, как и натуральные числа, - «столбиком», при этом не забывать, чтобы одноименные разряды оказывались друг под другом, тогда и запятые в записях дробей обязательно окажутся друг под другом.

Натуральные числа	Десятичные дроби
949+835	95,37+101,4
Подписываем слагаемые одно под другим так, чтобы одинаковые разряды слагаемых находились друг под другом.
949 + 835 1784	95,37 + 101,40 196,77
Выполняем сложение поразрядно, начиная с единиц низшего разряда.

«… аналогия иногда бывает так поразительна, что трудно подвергать сомнению вывод, которому она была благоприятствует. Если же отказаться от ее пособия, то часто надобно будет отказаться от всякого положительного вывода». ()

Суждения, полученные по аналогии, проблемны и подлежат исследованию и доказательству. Умозаключения по аналогии являются непременной составной частью творческого мышления, так как этим путем мысль человека выходит за пределы известного, пролагая путь к неизвестному.

Для достижения глубокого усвоения нового понятия, способа решения нельзя обходиться задачами одного уровня трудности, а нужно предложить в паре с исходной обобщенную задачу, а еще лучше дать учащимся возможность самим обобщить решенную задачу, чтобы затем решить составленную задачу, видоизменяя, если нужно прежний способ.

«Обобщение- это, вероятно, самый легкий и самый очевидный путь расширения математических знаний». (У. Сойер)

Применение обобщения связано с преобразованием мысли, с умственным экспериментированием; оно есть одно из самых важных средств самообучения, т. е. самостоятельного расширения и углубления имеющихся знаний.

Например, если учащиеся V класса ознакомились с приемом устного умножения на 11: «Чтобы умножить число на 11, надо приписать к нему нуль и затем сложить его с первоначальным числом», - то при умелом руководстве удастся направить мысль ребят на обобщение этого правила для случаев умножения на 101, 1001 и т. д. Обобщенные правила могут сформулировать сами учащиеся.

Обобщение означает переход знания на более высокий уровень на основе установления для данных объектов общих свойств или с общих отношений.

Способом обобщения решения частных однотипных задач и постепенного уточнения общего метода решения осуществляется целенаправленный поиск алгоритма. Задача поиска алгоритма не является алгоритмичной, она представляет собой творческую задачу с большим развивающим эффектом. Владение алгоритмами - это прежде всего умение выбрать и правильно применить нужный алгоритм; проверить правильность его выполнения, используя пример или общий метод; модифицировать алгоритм для конкретной задачной ситуации.

На уроках рассматриваю с учащимися алгоритмы нахождения наибольшего общего делителя, наименьшего общего кратного, решения линейных уравнений, решения задач с обыкновенными дробями, решения задач на проценты и т. д. Алгоритм приучает к четкому выполнению последовательности операций.

Успешное использования алгоритмического метода зависит от ряда условий. Прежде всего необходимо сочетание алгоритмического метода с применением образца ответа. Алгоритм должен быть по возможности наиболее кратким. С кратким алгоритмом учащиеся работают значительно охотнее. Он является для них как бы планом, схемой. В алгоритм желательно включать указания, побуждающие учащихся контролировать свои действия. Это позволяет предупреждать типичные ошибки.

Умение применять алгоритмы развивает устную и письменную речь учащихся в такой мере, что они довольно быстро переходят к более сложным умениям - самостоятельному составлению новых алгоритмов.

И хотелось бы отметить, что чаще всего сохраняются надолго в памяти лишь те способы решения, которые достигли алгоритмизации. Роль алгоритмов, а следовательно алгоритмических задач, в обучении математике очень велика. Решение задач по алгоритму быстро и легко приводит к желаемому результату, тогда как незнание алгоритму может привести к многочисленным ошибкам и большой потере времени.

Например, решив с учащимися несколько задач на нахождение дроби от числа и числа по его дроби, составляем с ними план решения задач простейших с обыкновенными дробями:

1.  Что означает данная дробь? (Взяли нечто целое, разделили его на … равных частей и из них взяли только…)

2.  Что является в данной задаче нечто целым? (смотрим на слова, стоящие после дроби)

3.  Это нечто целое в условии задачи известно?

Если

известно нечто целое,	не дано нечто целое,
то
а) это нечто целое делим на знаменатель: узнаем, сколько приходится на 1 часть (долю); б) полученный результат умножаем на числитель дроби: узнаем, сколько приходится на … таких частей;	а) число, соответствующее данной дроби делим на числитель: узнаем, сколько … приходится на 1 часть (долю); б) полученный результат умножаем на знаменатель: узнаем, сколько приходится на все равные части;
т. е.
чтобы найти дробь, надо это число умножить на эту дробь.	чтобы найти число по данному значению его дроби, надо данное значение разделить на дробь.
(эту часть плана формулируем с ребятами после изучения темы «Умножение и деление обыкновенных дробей»)

4.  Что узнали в результате выполнения данного действия?

5.  Проверь себя: ответил ли на вопрос задачи.

Ученик, хорошо усвоивший необходимое алгоритмы решения

задач, может оперировать свернутыми знаниями при решении других сложных задач. Ему не нужно будет затрачивать больших усилий на поиск решения частичных проблем, которые решаются по алгоритму; мыслительная деятельность школьника будет направлена на решение других проблем, т. е. нужна автоматизация некоторых действий учащихся. Эта автоматизация и достигается самостоятельным решением алгоритмических задач. Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится сворачивать знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он учится применять алгоритмы в разных ситуациях; таким образом происходит обобщение изученного материала, обобщение правил решения задач.

Состояние математической подготовки учащихся характеризуется в первую очередь умением решать задачи. Научиться решать задачи учащиеся смогут, лишь решая их.

«Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь». (Д. Пойа)

Чтобы научить учащихся решать задачи, необходимо подбирать упражнения, вызывающие у учащихся интерес и желание их решить. Ребята с большим удовольствием решают старинные, комбинаторные задачи, задачи познавательного характера.

Например, задачи, предлагаемые ученикам V класса при изучении темы «Сложение и вычитание натуральных чисел»:

а) Первый поезд в России прошел из Петербурга в Москву в 1846 году. Сколько лет ходят уже в России поезда?

б) Из летописи известно, что зимой 401 года замерзло Черное море. Это повторилось спустя 610 лет, а после этого повторилось еще через 609 лет. В какие годы произошли необычайные события, сколько времени прошло от последнего до наших дней?

Культурная ценность курса математики VI класса состоит в том, что учащиеся знакомятся с идеей моделирования. (Переводят содержательные задачи на свернутый язык формул). И при изучении темы «Решение задач с помощью уравнения» можно рассмотреть с ребятами ряд интересных нестандартных задач. Например: летящий навстречу стае гусь спрашивает вожака: «Сколько в стае гусей?» Вожак отвечает: «Если бы нас было столько, да еще столько, да полстолько, да четверть столько, да ты гусь, с нами, то всего было бы сто.» Сколько гусей в стае?

Развивающий эффект задач зависит не только от числа решенных задач, но и от того, какие задачи решаем и как их мы решаем. Лучше одну задачу решить тремя способами, чем три задачи одним способом. Решая одну задачу различными способами, раскрываем возможность различных способов рассуждений, приводящих к одному и тому же результату, возможность сравнения этих способов, выявления наиболее рационального. Цель не в том, что бы ученик решил задачу, а в том, чтобы он получил от этой задачи пользу, т. е. продвинулся на одну ступеньку по длинной лестнице овладения математикой. Цель не в ответе, а в процессе решения. Решая задачу, ученик приобретает новые знания, навыки, развивает в себе настойчивость.

Можно многого добиться, если в классе создана обстановка культа задачи. Задача – объект мыслительной деятельности. Прежде всего задачи развивают логическое, творческое, интуитивное мышление у учащихся. Логическое решение формируется обычно после того, как психологически решение уже найдено. Одна логика не способна оформить мысль.

«Логика – это нравственность мышления». () При решении проявляется взаимоотношения логики и интуиции. Интуиция – озарение, умообретение результата, ее проявление связано с работой подсознательных механизмов с эмоциями человека. Для развития интуиции важно уловить те моменты когда поданная в соответствующей обработке задача вызвала бы недоумение, переходящее в устойчивый интерес. Пробудить интерес к решению задачи, например, можно, если предложить учащимся угадать ее решение или ответ. Тогда ученик будет внимательно следить за ходом решения, чтобы узнать, был ли он прав.

Практика показывает, что в процессе изучения школьного курса математики интуиция проявляет себя и как форма, и как метод, и как средство познания. Интуитивное мышление – основной компонент математического мышления. Это прежде всего обусловливается тем, что математика является абстрактной наукой. Постижение математических истин порой происходит в виде длительного мыслительного процесса без опоры на конкретное видение.

Американский психолог – педагог Дж. Брунер указывает на то, что «формализм школьного обучения как-то оттеснил интуицию», а в качестве действительной меры ее роли в процессе обучения предлагается «… создать интуитивное понимание материалов и только тогда знакомить учащихся с более традиционными и формальными методами дедукции и доказательства».

«Безусловно, существует неразрывная связь содержания обучения и формируемого при его усвоении мышления». ()

Определяя структуру, логику развития и конкретное содержание обучения математике, необходимо оценивать роль и место каждого ее раздела, каждого математического понятия в процессе формирования мышления школьников.

Содержание обучения, отраженное в данной программе, определяет последовательность изучение и преподавания предмета, логику формирования соответствующих знаний и умений, эволюцию развития мышления в процессе обучения.

Результаты обучения по данной программе таковы:

сравнительный анализ знаний, умений и навыков по математике в V - VI классах

V «А» - VI «А»	V «Д» - VI «Д»	V «Э» - VI «Э»
контрольная работа по математике за курс начальной школы
89%	76%	77%
действия над обыкновенными дробями
87%	75%	80%
действия над десятичными дробями
92%	80,5%	94,7%
действия над положительными и отрицательными числами
88,2%	76%	93,6%
решение задач на проценты
88%	78%	91%
решение уравнений
91%	77%	94%

Процессы мышления и другие показатели представлены в следующей таблице

	гибкость ума	скорость мышления	обобщение	ассоциация
V «А» - VI «А»	39%	42%	58%	61%
V «Д» - VI «Д»	27%	36%	43%	53%
V «Э» - VI «Э»	45%	58%	76%	75%