IX Международная дистанционная олимпиада «Эрудит»

,

5 «А» класс, МБОУ «Гимназия №4»

Г. Норильск

IX Международная дистанционная олимпиада «Эрудит»

Математика

5 класс

Задача 1.

Ответ: Джим Хоккинс не соврал Джону Сильверу, и ему, действительно, позавчера могло быть 10 лет, а в будущем году исполнится 13.

Пояснение: такое возможно, если у Джима день рожденья 31 декабря. Например, если позавчера было 30 декабря (Джиму было 10 лет), а вчера 31 декабря у Джима было день рожденья и ему исполнилось 11 лет. Сегодня 1 января (1-ый день этого года). В этом году 31 декабря Джиму исполнится 12 лет, а в будущем году 31 декабря ему исполнится 13 лет. Таким образом, мы видим, что Джим Хоккинс сказал правду.

Задача 2.

Ответ: Пираты могут разделить ром между первым и третьим бочонком поровну, пользуясь только бочками вместимостью 6 вёдер, 3 ведра 7 вёдер, следующим образом:

1)  Сначала они перельют ром из первого бочонка во второй, наполнив второй бочонок до краёв. Тогда в первом бочонке останется 1 ведро рома (4-3=1); во втором бочонке станет 3 ведра (0+3=3); в третьем бочонке останется по-прежнему 6 вёдер.

2)  Затем пираты перельют ром из второго бочонка в третий, при этом до краёв наполнив третий бочонок. Тогда в первом бочонке количество рома не изменится – в нём останется 1 ведро; во втором бочонке останется 2 ведра (3-1=2); в третьем бочонке станет 7 вёдер рома (6+1=7).

3)  Далее пираты перльют ром из третьего бочонка в первый. Тогда в первом бочонке станет 6 вёдер (1+5=6); во вторм по-прежнему останется 2 ведра; в в третьем же бочонке останется тоже 2 ведра рома (7-5=2).

4)  После этого пираты ром из первого бочонка перельют во второй. Тогда в первом бочонке останется 5 вёдер (6-1); во втором станет 3 ведра (2+1=3); в третьем количество рома не изменится и останется 2 ведра.

5)  А теперь пираты перельют ром из второго бочонка в третий и в результате в первом и втором бонке рома окажется поровну. В первом бочонке было 5 вёдер; второй бочонок оказался пустым (3-3=0); в третьем бочонке теперь, как и в первом, 5 вёдер рома (2+3=5).

Решение можно представить в виде следующей схемы:

1-й бочонок 2-й бочонок 3-й бочонок

1)  4в 3 в 0в 6в

2)  1в 3в 1в 6в

3)  1в 2л 7в

5в

4)  6в 1в 2в 2в

5)  5в 3в 3в 2в

6)  5в 0в 5в

P. S. При переливании рома из одного ведра в другое, всегда наполням ведро до краёв, чтобы рома в ведре оказывалось ровно столько, какова вместимость ведра.

Задача 3.

Ответ:

Задача 4.

Ответ: На корабле было 6 кошек.

Решение: всех присутствующих на корабле «Чёрная жемчужина» представим в виде следующей схемы:

15 голов

Кошки Матросы Кок Капитан

по 4 лапы по 2 ноги 2 ноги 1 нога

41 нога

Исключим из числа пассажиров кока и капитана, так как с ними всё ясно по количеству ног: 15-2= 13 (кошки и матросы). Теперь подсчитаем количество ног у кошек и матросов: 41-1-2=38 (ног). (Мы вычли одну ногу капитана и две ноги кока). У нас получилось, что на 38 ног приходится x кошек (по четыре лапы у каждой) и y матросов (по две ноги у каждого). Составим выражение, обозначив количество кошек через x, а количество матросов через у: 4x+2у = 38. Нетрудно подобрать x и у: x будет равен 6, а у будет равен 7 (4×6+2×7=38; 24+14=38).

Данную задачу можно решить также при помощи системы уравнений. Обозначим количество кошек на корабле через x, а количество матросов через у и запишем количество ног всех присутствующих на корабле в виде выражения: 4x+2у+2+1=41 (нога), где (2+1) – количество ног у кока и одноногого капитана. Преобразуем данное выражение:

4x+2у+2+1=41

4x+2у=38 (ног у кошек и матросов)

Вычтем из общего количества присутствующих на корабле кока и капитана: 15-2=13 (кошек и матросов).

Составим и решим систему уравнений:

4x+2у=38

x+у=13

Выразим x через у:

x=13- у. Подставим данное значение x в первое уравнение системы:

4(13- у)+2у=38

52-4у+ 2у=38

-2у=-14

у=7 (матросы)

подставим полученное значение у во второе уравнение и найдём х:

x+7=13

x=13-7

x=6 (кошки)

Таким образом, мы доказали, что кошек на корабле было 6.

Задача 5.

Ответ: Три пирата, весом 40кг, 50кг и 70 кг, могут перебраться с корабля на остров на лодке, которая выдерживает 100кг, следующим образом: сначала в лодку сядут два пирата, весом 40кг и 50кг, и переправятся на остров. После этого пират весом 50 кг останется на острове, а пират весом 40кг поплывёт обратно к кораблю, выберется из лодки и останется на корабле. В лодку сядет пират весом 70кг и поплывёт к острову. Приплыв к острову, этот пират покинет лодку и останется на островне, а пират весом 50кг сядет в лодку и поплывёт к кораблю за своим товарищем. Забрав с корабля пирата весом 40кг, он поплывёт к острову. В лодке их буде теперь двое (весом 40кг и 50кг). Они благополучно доберутся до острова, где их ждёт третий пират. Вот как смекалка нужна даже пиратам!

Передвижение пиратов можно представить следующей схемой:

Корабль (40кг, 50кг и 70кг) Остров

Корабль (70кг) 40кг + 50кг Остров

Корабль (70кг) 40кг Остров (50кг)

Корабль (40кг) 70кг Остров (50кг)

Корабль (40кг) 50кг Остров (70кг)

Корабль 40кг+50кг Остров (40кг, 50кг и 70кг)

Задача 6.

Ответ: Прямоугольный флаг «Весёлый Роджер», состоявший из 12 чередующихся чёрных и белых полос, разрезали на 2 части и сшили таким образом, что количество полос стало равным 10 ( так как двое пленных сбежали, а полосы указывают на количество пленных на корабле). При этом площадь флага не изменилась. Вот как у пиратов получился новый флаг.

Таким был «Весёлый Роджер», пока на корабле было 12 пленных:

После того как двое пленных сбежали, пиратом пришлось разрезать флаг на две части следующим образом:

Части сложили так:

Получился новый флаг, не изменивший при этом площадь:

P. S. очень важно, что перед тем как разрезать флаг на две части, пираты разделили его слева направо на 5 равных полос (не разрезали!).

Задача 7.

Ответ: Одноногий капитан Сильвер и Джим Хоккинс, умывшись на речке, возвращались к хижине одновременно.

Решение: Предположим, что Джон Сильвер добирался до речки за 15 минут. Тогда Джим Хоккинс добирался до реки за 5 минут, так как он шёл в три раза быстрее, чем одноногий капитан. Когда Сильвер забыл полотенце, он пошёл к хижине и вернулся обратно с полотенцем к реке, потратив на это 30 минут (15+15+30). К тому моменту, когда Джон ещё в первый раз подошёл к реке, Джим уже 10 минут умывался. А когда Джон пришёл к реке во второй раз уже с полотенцем, Джим закончил умываться. Если мы знаем, что на дрогу к хижине Джон затратил 30 минут, то можно узнать, сколько времени умывался Джим: 10+30=40 (минут). По условию задачи, Джим умывался в 2 раза дольше, чем капитан. Зная это, найдём время, которое тратил на умывание Джон Сильвер: 40÷2=20 (минут). Теперь составим таблицу и посмотрим, сколько времени тратил каждый на дорогу к речке, умывание и на обратную дорогу к хижине:

	Джим Хоккинс	Джон Сильвер
Дорога до реки	5 мин	15 мин
Умывание	40 мин	20 мин
Дорога обратно к хижине	5 мин	15 мин
Итого	50 мин	50 мин

P. S. Возможно, речка располагалась гораздо ближе к хижине, в которой проживали Джим и Джон, но главное в том, что Джим и Джон возвращались утром с реки вместе и после этого отправлялись на поиски клада.