О спектре группы*

УДК 512.54

О СПЕКТРЕ ГРУППЫ*

Обсуждается понятие спектра группы. Приводятся постановки задач, близких к изучению групп с заданным спектром, применительно к бесконечным группам. Получены результаты о распознаваемости некоторых бесконечных групп с заданным спектром.

Ключевые слова: группа, спектр, слой элементов, распознаваемость группы.

Введение

В группе G через ω(G) обозначается множество порядков ее элементов или спектр группы. В Коуровской тетради [1] приводится одна из интенсивно изучаемых в последнее время проблем:

16.24. Спектром конечной группы называется множество порядков ее элементов. Существует ли конечная группа G, спектр которой совпадает со спектром конечной простой исключительной группы L лиева типа, но G не изоморфна L?

Здесь дается определение спектра конечной группы, в ряде других работ, посвященных этой теме, понятие спектра в основном рассматривается для конечных групп. В данной статье мы рассмотрим вопрос о спектре бесконечных групп, обсудим постановки задач с использованием спектра и получим некоторые результаты о распознаваемости некоторых бесконечных групп с заданным спектром.

По множеству ω(G) иногда можно восстановить группу G, иногда можно что-то сказать о свойствах такой группы. В. Д.  Мазуров в статье [2] сделал обзор результатов по группам с малым спектром. Среди этих результатов можно назвать те, которые описывают полностью строение группы по ее спектру, например: если ω(G) ={1, 2}, то G — элементарная абелева группа; если ω(G) ={1, 2, 3, 5}, то G — группа четных подстановок на пяти элементах [3].

В последние годы получено много новых результатов о распознаваемости групп по спектру. Приведем некоторые из них.

Если ω(G) = {1, 2, 3, 4, 7}, то группа G изоморфна L2(7) [4] (для конечных групп этот результат доказан в [5]).

Пусть ω(G) = ω(L4(2m)) или ω(G) = ω(U4(2m)). Если G — конечная группа, то G изоморфна L4(2m) или G изоморфна U4(2m), соответственно [6].

Распознаваемы по спектру также группы L3(q) и U3(q) [7,8], группы Ln(2) [9], группы Ln(2m), n = 2s ≥ 32 [10].

Много результатов для групп с заданным спектром описывают только некоторые свойства групп, например, результаты о нильпотентности класса не выше трех групп со спектром ω(G) = {1, 3} [11], о локальной нильпотентности групп со спектрами ω(G) = {1, 2, 3, 4} [12] и ω(G) = {1, 2, 3, 6} [13], о существовании абелевой нормальной силовской подгруппы в группе со спектром ω(G) = {1, 2, 5} [14,15], о локальной конечности групп со спектром ω(G) = {1, 2, 3, 4, 5} [16] и групп со спектром ω(G) ={1, 2, 3, 4, 8} [17]. доказана локальная конечность группы периода 24, в которой есть элемент порядка 3, но нет элементов порядка 6 [18].

* Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект ) и гранта Сибирского федерального университета (проект – элитное математическое образование в СФУ)

Постановки задач и результаты по распознаваемости

Если спектр группы мал по количеству составляющих его чисел, но не по их величине, то здесь примеры групп достаточно редки. По образному выражению они сравнимы с «образцами лунного грунта». К таким примерам

относятся монстры [19]. Среди групп со спектром ω(G) = {1, p} для достаточно больших простых чисел p > 1010 кроме прямых произведений циклических групп порядка p можно назвать пока только серию групп Ольшанского.

Пример классической постановки задачи в направлении изучения групп с заданным спектром: описать все группы G со спектром ω(G) = ω(L2(2n)), как это сделано в работе и [3]. В ней доказано, что других групп, кроме L2(2n), с таким спектром не существует.

На этом пути по оценке больших неожиданностей не предвидится, в [2] им опубликованы нерешенные проблемы из данной области. Многие из этих проблем к настоящему времени уже получили решение.

Понятие спектра нам показалось очень интересным и здесь мы обсудим постановки некоторых близких задач.

Описание конечных групп с одинаковым спектром идет еще по следующему пути. Две группы называются изоспектральными, если их спектры совпадают. Говорят, что конечная группа L распознаваема по спектру, если любая конечная группа G, удовлетворяющая условию ω(G) = ω(L), изоморфна L. Если обозначить через h(L) число попарно неизоморфных конечных групп, изоспектральных группе L, то свойство распознаваемости группы L запишется как равенство h(L) = 1. Группа L называется почти распознаваемой, если 1 < h(L) < ∞, и нераспознаваемой, если h(L) = ∞. Проблема распознаваемости по спектру для группы L заключается в определении того, является ли группа L распознаваемой, почти распознаваемой или нераспознаваемой, а в более сильной постановке — в нахождении значения h(L). Последний по времени обзор результатов в данной области содержится в [2, 20].

Наряду с задачей изучения свойств групп с заданным спектром можно поставить задачу изучения групп с заданным спектром и некоторыми дополнительными условиями. Задачи такого типа имеются среди классических. Например, если спектр ω(G) = {1, p} и дополнительно задано число ее образующих, то в 1959 году доказана конечность числа конечных групп с такими условиями [21].

Можно спектр группы не просто перечислить, а наложить на него какое-либо условие. Например, для условия ω(G) = { k | m k } и [22] доказано существование бесконечных групп с таким спектром для нечетных m ≥ 665. Для описания спектров такого вида иногда используется множество μ(G). Пусть G — группа, ω(G) — её спектр. Отношение делимости задает частичный порядок на множестве ω(G), и подмножество максимальных относительно этого порядка элементов обозначается через μ(G). Тогда вместо условия на спектр ω(G) = { k | m k } удобнее использовать условие μ(G) = {m}.

Таким образом, изучение произвольных бесконечных групп с заданным спектром приводит нас к достаточно экзотическим примерам групп. Поставим задачу изучения группы с заданным спектром и некоторыми дополнительными ограничениями, отличными от конечности группы.

Дополнительным ограничением может служить задание количества элементов какого-либо порядка, т. е. мощность слоя. Напомним, что слоем группы называется множество ее элементов данного порядка:

Если фиксируется множество ω(G) = {1, 2, 22, 23, ... }, и слой элементов порядка два состоит из одного элемента, то группа G либо квазициклическая, либо бесконечная обобщенная группа кватернионов [23, 24]. В этом случае группа почти распознаваема и h(G) = 2.

Если потребовать, чтобы в группе любой слой был конечным, то, например, при ω(G) = {1, 2, 22, 23, ... } и условии полноты, группа будет являться прямым произведением квазициклических 2-групп. Если дополнительно задать количество элементов в каком-либо неединичном слое, то можно будет сказать о количестве множителей в таком произведении.

Вместо ограничения на спектр группы ω(G) можно накладывать ограничение на множество π(G) простых делителей порядков элементов группы G. Тогда в предыдущем примере условие для множества ω(G) = {1, 2, 22, 23, ...} без ущерба для заключения примера заменяется на условие π(G) = {2}.

Иногда информация о множестве ω(G) позволяет делать о группе более точные утверждения, чем информация о множестве π(G).

Например, если в локально разрешимой группе с условием минимальности добавить условие, что π(G) = {3,5} и задать количество элементов порядков 3 и 5 соответственно 2 и 4, то, используя теорему [25] о том, что такая группа является расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп при помощи конечной группы, можно утверждать, что получится либо прямое произведение циклической 3-группы на циклическую 5-группу, либо прямое произведение циклической 3-группы (5-группы) на квазициклическую 5-группу (квазициклическую 3-группу), либо прямое произведение квазициклической 3-группы и квазициклической 5-группы. То есть группа с количеством элементов порядка 3 и 5 соответственно 2 и 4 в классе локально разрешимых групп с условием минимальности нераспознаваема по множеству π(G) = {3,5}.

Если же в локально разрешимой группе с условием минимальности вместо условия для множества π(G) добавить условия для спектра ω(G) и также задать количество элементов порядка 3 и 5 соответственно 2 и 4, то получатся следующие результаты по распознаваемости групп по спектру:

Пусть в локально разрешимой группе G с условием минимальности со спектром ω(G) = { 1, 3, 5, 15 } количество элементов порядков 3 и 5 соответственно 2 и 4. Тогда группа G распознаваема по спектру в классе локально разрешимых групп с условием минимальности.

При таких условиях группа G является циклической группой пятнадцатого порядка. Действительно, по теореме [25] локально разрешимая группа G с условием минимальности является расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп при помощи конечной группы. Ввиду конечности ее спектра, группа G не содержит квазициклических групп и, значит, является конечной. Так как в группе G два элемента порядка 3, то нижний слой силовской 3-подгруппы группы G является циклической группой третьего порядка и по теореме 12.5.2 из [23] сама силовская 3-подгруппа является циклической. Ввиду того, что в спектре максимальная степень тройки — первая, силовская 3-подгруппа имеет порядок 3. Аналогично получаем, что силовская 5-подгруппа группы G также циклическая подгруппа и имеет порядок 5. Ввиду ограничения на количество элементов 3 и 5 порядков, силовские 3- и 5-подгруппы нормальны в группе G и тогда группа G — циклическая порядка 15.

Пусть в локально разрешимой группе G с условием минимальности и со спектром ω(G) = { 3m5n | m = 0, 1, 2, ..., n = 0, 1, 2, ... } количество элементов порядка 3 и 5 соответственно 2 и 4. Тогда группа G распознаваема по спектру в классе локально разрешимых групп с условием минимальности.

В последнем случае группа G есть прямое произведение квазициклической 3-группы и квазициклической 5-группы.

Действительно, по теореме [25] локально разрешимая группа G с условием минимальности является расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп при помощи конечной группы. Ввиду строения ее спектра, группа G содержит по крайней мере одну квазициклическую 3-группу и одну квазициклическую 5-группу. Так как в группе G два элемента порядка 3, то в ней единственная подгруппа порядка три. Тогда по теореме 12.5.2 из [23] любая конечная 3-подгруппа группы G циклическая и по лемме 9 из [24] силовская 3-подгруппа группы G —коммутативная локально циклическая группа. По теореме 4.2 из [26] она должна быть циклической или квазициклической. Теперь, учитывая, что в спектре группы G присутствуют все степени тройки, заключаем, что силовская 3-подгруппа группы G квазициклическая. Аналогично получаем, что силовская 5-подгруппа группы G также квазициклическая. Тогда, учитывая строение спектра группы G, заключаем, что все силовские подгруппы группы G содержатся в прямом произведении квазициклических групп, и сама группа G совпадает с прямым произведением двух своих силовских 3- и 5-подгрупп.

Аналогично доказываются следующие два результата.

Пусть в локально разрешимой группе G с условием минимальности со спектром ω(G) = { 3m5n | m = 0, 1, 2, ...; n = 0, 1, …, k} количество элементов порядков 3 и 5 соответственно 2 и 4. Тогда группа G распознаваема по спектру в классе локально разрешимых групп с условием минимальности. (Такая группа G является прямым произведением циклической 5-группы порядка 3k на квазициклическую 3-группу.)

Пусть в локально разрешимой группе G с условием минимальности со спектром ω(G) = { 3m5n | m = 0, 1, 2, …, k; n = 0, 1, 2, ... } количество элементов порядка 3 и 5 соответственно 2 и 4. Тогда группа G распознаваема по спектру в классе локально разрешимых групп с условием минимальности. (Такая группа G является прямым произведением циклической 3-группы порядка 2k на квазициклическую 5-группу. )

В качестве дополнительных ограничений к заданию спектра группы можем использовать полноту группы и ее слойную конечность:

— если для полной слойно конечной группы G задать спектр ω(G) = {1, p, p2, p3, ... }, то G будет прямым произведением конечного числа квазициклических p-групп;

— если для полной слойно конечной группы G задать спектр ω(G) = { pmqn | m = 0, 1, 2, ... ; n = 0, 1, 2, ... }, то G будет прямым произведением конечного числа квазициклических p и q-групп.

Эти два утверждения следуют из того, что по теореме [27] слойно конечная группа обладает полной частью, причем последняя содержится в ее центре. В этих случаях получаются красивые результаты, но распознаваемости по спектру как в первом случае, так и во втором в классе полных слойно конечных групп нет, так как имеется бесконечно много неизоморфных полных слойно конечных групп с данными спектрами (они будут отличаться различным числом прямых квазициклических множителей).

Если в первом из этих утверждений дополнительно зафиксировать мощность слоя, состоящего из элементов порядка p, то получится следующий более определенный результат:

Пусть G — полная слойно конечная группа с множеством ω(G) = {1, p, p2, p3, ... } и в группе G имеется pn-1 элементов порядка p. Тогда G является прямым произведением n квазициклических p-групп.

Тогда можно сказать, что группа G со спектром ω(G) = {1, p, p2, p3, ... } и pn-1 элементами порядка p распознаваема по спектру в классе полных слойно конечных групп при дополнительном условии на количество элементов порядка p.

Аналогично можно получить следующий результат о распознаваемости группы по множеству простых делителей порядков элементов в классе полных слойно конечных групп в общем случае:

Пусть G — полная слойно конечная группа с множеством π(G) = {p1, p2 , ... , pn} и в группе G содержится (pi)-1 элементов порядка pi, i = 1, 2, ... , n. Тогда G является прямым произведением квазициклических pi-групп, i = 1, 2, ... , n, взятых по ki множителей для каждого pi соответственно.

В этом случае видим, что группа G распознаваема по множеству простых делителей ее элементов в классе полных слойно конечных групп с дополнительным условием о количестве элементов простых порядков.

Поскольку распознаваемость по спектру — более сильное условие, то в качестве следствия из последнего результата можно сказать, что группа G распознаваема по спектру в классе полных слойно конечных групп с дополнительным условием о количестве элементов простых порядков.

Вывод

Понятие спектра группы очень информативно. За последние тридцать лет получено много результатов для конечных групп при помощи понятия спектра. Для него найдутся новые приложения как в конечных, так и в бесконечных группах. Наряду с задачами распознаваемости групп с данным спектром в классе конечных групп уместны задачи о распознаваемости групп с заданным спектром в классе бесконечных групп при наложении дополнительных ограничений.

Библиографические ссылки

1.  Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, 17-е изд. – Ин-т математики СО РАН, Новосибирск. 20с.

2.  Мазуров с заданным спектром // Изв. Уральского гос. ун-та. 2005. № 36. С. 119–138.

3.  , О распознавании простых групп в классе всех групп // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40. № 1. С. 75–78.

4.  Lytkina D. V., Kuznetsov A. A., Recognizability by spectrum of the group L2(7) in the class of all groups // Сиб. электрон. матем. изв. 2007. Т. 4. C. 136–140.

5.  Shi W. J. A characteristic property of PSL2(7) // J. Austral. Math. Soc. 1984. Ser. A. Т. 36. № 3. C. 354-356.

6.  , Чен по спектру конечных простых групп L4(2m) и U4(2m) // Междун. конф. "Алгебра и ее приложения": Тез. докл. – Красноярск, 2007. – С. 90–91.

7.   В. Веса неприводимых SL3(q)-модулей в характеристике определения PSL2(7) // Сиб. матем. ж.. 2004. Т. 45. № 2. С. 319-328.

8.  Заварницин простых групп U3(q) по порядкам элементов // Алгебра и логика. 2006. Т. 45. № 2. С. 185-202.

9.  , Мазуров элементов в накрытиях конечных простых линейных и унитарных группах и распознаваемость Ln(2) по спектру // Доклады АН. 2006. Т. 406. № 6. С. 736-739.

10.  , О распознавании по спектру конечных простых линейных групп над полями характеристики 2 // Сиб. матем. ж. 2005. Т. 46. № 4. С. 749-758.

11.  Levi F. Van der Waerden, B. L. Uber eine besondere Klasse von Gruppen // Abh. Math. Semin. Hamburg Univ. 1932. № 9. P. 154–158.

12.  Санов проблемы Бернсайда для показателя 4 // Уч. зап. ЛГУ. 1940. Т. 10. С. 166–170.

13.  Hall M. Jr. Solution of the Burnside problem for exponent six // Illinois J. Math. 1958. № 2. P. 764–786.

14.  Newman M. F. Groups of exponent dividing seventy // Math. Scientist. 1979. №. 4. P. 149–157.

15.  Gupta N. D., Mazurov V. D. On groups with small orders of elements // Bull. Austral. Math. Soc. 1999. № 60. P. 197–205.

16.  О группах экспоненты 60 с точными порядками элементов // Алгебра и логика. 2000. Т. 39. № 3. С. 189–198.

17.  Mazurov V. D. Arithmetic conditions of periodic groups // Алгебра и математическая логика: материалы межд. конф., посв. 100-летию со дня рождения , Казань, 25-30 сентября 2011. Казань: КФУ, 2011, С. 23–24.

18.  О группах периода 24 // Алгебра и логика.  Т. 49. №С. 766–781.

19.  Ольшанский группа с подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44. № 2. С. 309–321.

20.  Grechkoseeva M. A., Shi W. J., Vasilev A. V. Recognition by spectrum of finite simple groups of Lie type // Front. Math. China. V.3. №P. 275–285.

21.  О проблеме Бернсайда // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23. № 1. С. 3–34.

22.  Адян Бернсайда и тождества в группах. М.: Наука, 1975.

23.  Теория групп. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

24.  Об одном классе p-групп // Алгебра и логика. 1970. Т. 9. № 4. С. 484–496.

25.  К теории бесконечных специальных групп // Матем. сб. 1940. Т. 7. № 6. C. 539–548.

26.  Сенашов конечные группы. Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1993.

27.  Черников с заданными свойствами системы подгрупп. М.: Наука, 1980.

V. I. Senashov

On the spectrum of a group

The concept of the spectrum of a group has been discussed. The statements of the problems that are close to the study of groups with a given spectrum with respect to infinite groups for infinite groups have been developed. Some results on the recognition of some infinite groups with a given spectrum have been obtained.

Keywords: group, the spectrum, layer of elements, recognizable to a group.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ

Владимир Иванович Сенашов

Ученая степень, звание, должность: доктор физ. - мат. наук, профессор, ведущий научный сотрудник

Вуз, год его окончания: Красноярский государственный университет, 1982 г.

Область научных интересов: теория бесконечных групп с условиями конечности

Место работы: Институт вычислительного моделирования СО РАН

Телефон служебный: (8-35-134

Почтовый адрес: Красноярск, Академгородок, ИВМ СО РАН

Телефон сотовый: 8-45

E-mail: [e-mail]