2. Постоянный электрический ток
2.1. Электрический ток. Проводимость. Сопротивление
2.1.1. Напряжение в проводнике сопротивлением R = 1 Ом нарастает по линейному закону от Umin = 1 B до Umax = 10 В в течение времени t = 10 с. Определить заряд, прошедший через проводник.
Решение
1. Заряд, прошедший через поперечное сечение проводника определяется уравнением
. (1)
|
2. В данном случае напряжение является функцией времени, поэтому необходимо представить эту функцию в виде уравнения
(2)
3. Подставим зависимость (2) в уравнение (1)
, (2)
где (Umax - Umin)/t = k - коэффициент пропорциональности.
4. Проинтегрируем выражение (2)
. (3)
2.1.2. Определить плотность тока j в золотом проводнике, длиной l =10 м, если к его концам приложена разность потенциалов U = 2 В.
Решение
1. Плотность тока в проводнике определяется как
, (1)
где I - сила тока в проводнике, s - поперечное сечение проводника, r @ 2×10 - 8 Ом×м.
2. Подставим числовые значения величин в уравнение (1)
. (2)
2.1.3. Сила тока в проводнике нарастает в течение t = 10 с по линейному закону от Imin = 1A до Imax = 11A. Определить заряд, прошедший по проводнику за это время.
Решение
1. Сила тока по определению равна
. (1)
2. В данном случае сила тока I = f(t) = Imin + kt, где k = (Imax-Imin)/t, поэтому уравнение (1) можно привести к виду
, (2)
. (3)
Разность потенциалов на клеммах генератора U = 10 кВ. Необходимо организовать двухпроводную линию длиной l = 10 км. Необходимо выбрать сечение медного провода, если максимальная токовая нагрузка составляет I = 100 A. Потери напряжения в проводах не должны превышать c = 3%.
Решение
1. Сопротивление двухпроводной линии электропередачи
, (1)
где s - площадь поперечного сечения проводника, r @ 1,6×10 - 8 Ом×м.
2. Выразим сопротивление линии, используя закон Ома для участка цепи
. (2)
2.1.5. Вычислить сопротивление R графитового проводника, изготовленного в виде прямого круглого усечённого конуса высотой h = 20 см и радиусами оснований r1 = 12 мм и r2 = 8 мм, находящегося при температуре 20 0С.
|
Решение
1. В данном случае имеет место проводник переменного сечения, средняя величина которого определится как
. (1)
2. Удельное сопротивление графита примем равным r @ 4×10 - 6 Ом×м
и определим электрическое сопротивление усечённого графитового конуса
. (2)
|
2.1.6. Длинный, равномерно заряженный по всей поверхности, стержень радиуса r = 0,1м движется с постоянной скоростью v = 10 м/с, направленной вдоль его оси. Напряжённость электрического поля у поверхности стержня Е = 9×104 В/м. Найти силу тока, обусловленного механическим перемещением зарядов.
Решение
1. Поскольку вблизи поверхности цилиндра имеется электрическое поле напряжённостью Е, то стержень несёт заряд Q
, (1)
где t - линейная плотность электрического заряда, 
- длина стержня, r - радиус стержня.
2. Заряд стержня, таким образом, представится следующим образом
, (2)
где t - время перемещения стержня на расстояние .
3. Сила тока, обусловленная механическим перемещением зарядов
. (3)
2.1.7. В синхротроне радиусом r = 10 м электроны движутся по, практически, круговой траектории со скоростью близкой к скорости света c @ 3×10 8 м/с. Одновременно на орбите находится одновременно N = 1011 электронов. Чему равен ток?
|
Решение
1. Определим время, в течение которого электроны делают один оборот, т. е. период вращения электронов
. (1)
2. Определим суммарный заряд, переносимый электронами
. (2)
3. Заряд, переносимый вращающимися электронами, поделенный на период вращения, даст силу возникающего электрического тока
. (3)
|
2.1.8. В рентгеновской трубке пучок электронов с плотностью тока j = 0,2 А/мм2 попадает на скошенный под углом a = 300 торец металлического стержня площадью сечения s = 4×10 –4 м2. Определите силу тока в стержне.
Решение
1. Сила тока в данном случае определится уравнением
. (1)
2.1.9. Какой будет средняя скорость электронов проводимости в серебряной проволоке радиусом r = 1 мм, по которой течёт постоянный ток силой 30 А?
Решение
1. Бесконечно малый заряд dQ, переносимый электронами за время dt через элементарную площадку ds, перпендикулярную направлению средней скорости v, определяется как
, (1)
где е @ 1,6×1Кл - заряд электрона, n @ 6×10 28 1/м3- концентрация свободных электронов в серебре
2. Сила тока на основании определения будет равна
. (2)
3. Поскольку проводник имеет цилиндрическую форму и его сечение постоянно, то
, (3)
откуда скорость дрейфа электронов определится как
. (4)
|
2.1.10. В протонный пучок с плотностью тока j = 1 мкА/см2 поместили металлический шар радиусом r = 10 см. Определите, за какое время t шар зарядится до потенциала j = 220 В? Действие собственного поля шара на поток пренебрежимо мало.
Решение
1. Изменение электрического потенциала шара определяется уравнением
, (1)
откуда изменение электрического заряда шара
. (2)
2. Запишем далее уравнение силы тока в следующей форме
, (3)
откуда
. (4)
2.1.11. В проводнике длиной l = 1 м полный движущийся заряд, равномерно распределённый по проводнику, равен Q = 1 мКл. Определить среднюю скорость движения зарядов, если сила тока в проводнике I = 10 А.
Решение
1. Определим время перемещения проводника на расстояние l
. (1)
2. Скорость перемещения зарядов определится как
. (2)
2.1.12. Сила тока в проводнике изменяется со временем по закону I(t) = 2+1/t. Какой заряд проходит через поперечное сечение проводника за время t1 = 10 c до t2 = 100 c?
Решение
1. Сила тока по определению определяется уравнением
, (1)
откуда конечная величина заряда определится как
,
. (2)
2.1.13. Медный проводник массой m = 1 кг имеет сопротивление R = 100 Ом. Определить радиус поперечного сечения проводника.
Решение
1.Запишем уравнения для сопротивления и массы заданного проводника
, (1)
где rR @ 1,6×10 - 8 Ом×м - удельное электрическое сопротивление меди, - длина проводника, r - радиус проводника, r @ 9×103 кг/м3.
2. Выразим из уравнения массы длину проводника и подставим полученное значение в уравнение электрического сопротивления
, (2)
откуда
. (3)
2.1.13. Температура вольфрамовой спирали электрической лампочки равна t = 2000 0С, диаметр проволоки составляет d = 2×10 - 4 м, сила тока I = 2 А. Найти напряжённость электрического поля.
Решение
1. Запишем уравнение плотности тока j
, (1)
величину которой можно выразить, воспользовавшись законом Ома в дифференциальной форме
, (2)
где g - удельная электропроводность вольфрама, rR(0) @ 5×10 -8 Ом×м - удельное электрическое сопротивление при t = 0 0C, Е - искомая напряжённость электрического поля.
2. Приравняем уравнения (2) и (4) и определим величину напряжённости поля
. (3)
3. Поскольку сопротивление проводников зависит от температуры
, (4)
где a @ 5×1С - 1.
4. Совместим уравнения (3) и (4)
. (5)
2.1.14. На концах нихромовой нити длиной l = 5 м поддерживается разность потенциалов Dj = 10 В. Найти плотность электрического тока в проводнике, если он находится при температуре Т = 800 К.
Решение
1. Запишем закон Ома в дифференциальной форме
, (1)
где rR(0) @ 100×10 - 8 Ом×м - удельное сопротивление при Т = 273 К, a @ 0,2×10 - 3 К - 1 - температурный коэффициент электрического сопротивления нихрома, Е - напряжённость электрического поля, Dj - разность потенциалов на концах проводника.
2. Подставим табличные и заданные данные в уравнение (1)
. (2)
2.1.15. В стальном проводнике длиной l @ 100 м свободные электроны под действием электрического поля движутся со средней скоростью <v> @ 5×10 - 4 м/с. Определить концентрацию носителей заряда, если разность потенциалов на концах провода равна U = 200 В.
Решение
1. Сила тока в проводнике может быть представлена, исходя из двух соображений:
, (1)
где n - концентрация электронов, е @ 1,6×1Кл - заряд электрона, ,<v> - средняя дрейфовая скорость электронов, s - площадь поперечного сечения проводника, rR @ 1×10 - 7 Ом×м - удельное электрическое сопротивление стали.
2. Приравняем уравнения (1) и разрешим полученное соотношение относительно концентрации
(2)
2.1.16. Электрическая ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком из фторопласта (тефлона) составляет С = 1 пФ. Чему равно электрическое сопротивление этого диэлектрика?
|
Решение
1. В данном случае необходимо определить сопротивление прямоугольной диэлектрической призмы с площадью основания s и высотой d. Так как прима является составным элементом конденсатора и одновременно электрическим сопротивлением, то уместно записать следующие уравнения
, (1)
где e = 8 - диэлектрическая проницаемость фторопласта, d - толщина диэлектрика, s - площадь пластин, rR @ 105 Ом×м - удельное сопротивление фторопласта.
2. Выразим из уравнения ёмкости величину площади s и подставим её в уравнение сопротивления
. (2)
|
2.1.17. Нихромовая спираль при температуре Т0 = 273 К обладает электрическим сопротивлением R0 = 80 Ом. Какова станет температура спирали, если при подключении её к сети с напряжением 100 В течёт постоянный ток силой I = 1 A?
Решение
1. Сопротивление спирали в зависимости от температуры определяется уравнением
, (1)
где a @ 2×10 - 4 К - 1 - термический коэффициент сопротивления.
2. В соответствии с законом Ома
. (2)
3. Подставим значение сопротивления R из уравнения (2) в уравнение (1)
, (3)
. (4)
2.2. Закон Ома для участка цепи
|
2.2.1. В приведенной схеме все электрические сопротивления одинаковы и равны R1 = R2 = ××××= R6 = R= 8 Ом. Определить общее сопротивление цепи R0.
Решение
1. Сопротивления R3 и R4 соединены последовательно
. (1)
2. Сопротивления R3,4 и R5 включены параллельно, поэтому
. (2)
3. Аналогично находятся сопротивления, включенные последовательно и параллельно
. (3)
. (4)
. (5)
|
2.2.2. Определить общее сопротивление цепи R0, если она составлена из двенадцати одинаковых резисторов R = 1 Ом.
Решение
1. В данном случае применять непосредственно уравнения для последовательного и параллельного включения резисторов не представляется возможным, однако симметрия схемы относительно точки О даёт основание считать, что ток через неё не течёт.
2. Точку О можно разорвать, представив её двумя точками О и О*, что даёт возможность выделить параллельные и последовательные включения резисторов
|
|
3. Общее сопротивление, таким образом, определится как
. (1)
2.2.3. Имеется четыре одинаковых резистора сопротивлением R = 1 Ом каждый. Какие магазины сопротивлений можно получить, включая одновременно все резисторы?
|
Решение
1. Пусть все сопротивления включены последовательно друг другу
. (1)
|
2. При параллельном включении всех сопротивлений
, (2)
. (3)
|
3. Пусть три резистора будут включены параллельно, а один последовательно им
. (4)
|
4. Представим далее магазин в виде последовательного соединения двух параллельных сопротивлений
|
. (5)
5. Рассмотрим вариант параллельного включения двух пар последовательных соединений
|
. (6)
6. Включим два сопротивления параллельно и последовательно с ними остальные два сопротивления
|
. (7)
7. Пусть три сопротивления будут включены последовательно, а одно параллельно им
. (8)
|
8. Далее к двум последовательно включенным сопротивлениям подсоединим два параллельных сопротивления
. (9)
|
9. Последний возможный вариант будет представлять собой комбинацию двух параллельных сопротивлений с последующим включением последовательно им одного сопротивления и параллельным включением четвёртого
. (10)
|
2.2.4. Какой шунт нужно присоединить к гальванометру, имеющему шкалу на N = 100 делений с ценой деления i = 1 мкА и внутренним сопротивлением rA = 180 Ом, чтобы им можно было измерять ток силой до I = 1 мА?
Решение
1. Определим силу тока, соответствующую отклонению стрелки на полную шкалу
. (1)
2. Определим сопротивление шунта с учётом того, что измеряемый ток I разветвляется на токи Iш и IА, которые обратно пропорциональны соответствующим сопротивлениям
. (2)
|
2.2.5. Вольтметр включён как показано на схеме и показывает UV = 36 В. Определите отношение силы тока, идущего через измерительную катушку вольтметра IV и сопротивление R2 = 6 кОм. Что покажет вольтметр если сопротивления уменьшить в 1000 раз, т. е. до R1 = 4 Ом и R2 = 6 Ом?
Решение
1. Определим силу тока через резистор R1
. (1)
2. Падение напряжения на резисторе R2 будет составлять
, (2)
ток через этот резистор
. (3)
3. Сила тока, протекающего через измерительную катушку вольтметра
, (4)
4. Определим искомое отношение сил токов
. (5)
|
5. Определим внутреннее сопротивление вольтметра
6. Найдём общее сопротивление вольтметра и сопротивления 
. (6)
7. Общее сопротивление цепи
. (7)
8. Суммарная сила тока
. (8)
9. Найдём далее падение напряжения на сопротивлении 
. (9)
10. Падение напряжения на вольтметре
. (10)
|
2.2.6. Чему равна разность потенциалов между клеммами Ux в схеме, если сопротивления равны: R1 = 2 Ом, R2 = 8 Ом, R3 = 8 Ом, R4 = 2 Ом, а U0 = 80 В.
Решение
1. Определим общее сопротивление цепи
. (1)
2. Ток потребляемой всеми сопротивлениями от источника
, (2)
поскольку сопротивление цепочек R1, R2 и R3,R4 одинаковы, то через них текут одинаковые по величине токи I1,2 = I3,4 = I0/2 = 8 А.
3. Определим падение напряжения на сопротивлениях R1 и R3
, 
. (3)
4. Искомая разность потенциалов Ux
. (4)
|
2.2.7. Какой шунт нужно присоединить к гальванометру, имеющему шкалу на N = 100 делений с ценой деления i = 1 мкА и внутренним сопротивлением r = 180 Ом, чтобы им можно было измерить ток I0 = 1 мА?
Решение
1. Определим предельную силу тока, на которую рассчитана измерительная головка прибора
. (1)
2. Поскольку шунт и гальванометр включены параллельно, то на них будет одинаковое падение напряжения, а для токов можно записать следующие соотношения
. (2)
3. Определим далее падение напряжения на гальванометре и шунте
. (3)
4. Сопротивление шунта
. (4)
2.2.8. Амперметр с внутренним сопротивлением r = 0,1 Ом предназначен для измерения силы тока до IA = 1 А. Каким образом этим прибором можно измерить силу тока I0 = 100 А?
Решение
|
1. Расширение пределов измерения амперметров достигается включением параллельно измерительной головки прибора сопротивления - шунта Rш, так чтобы измеряемый ток разветвлялся
. (1)
2. Представим измеряемый ток в следующем виде
, (2)
где n = I0/IA = 100, в этом случае
. (3)
3. Поскольку шунт с амперметром включаются параллельно, то падение напряжения на шунте и амперметре одинаковы 
, поэтому
. (4)
|
2.2.9.Три одинаковых графитовых кольца радиусом r = 1 м и диаметром d = 1 см имеют электрический контакт в точках A,B,C,D,F,E. Определить сопротивление фигуры при включении её в точках А и В.
Решение
|
1. В силу одинаковости геометрических размеров и симметричности включения точки C, D,E, F при подключении к источнику напряжения будут иметь одинаковые потенциалы, т. е. jС = jD = jE = jF. Это значит, что через элементы кольца C, D,E, F ток течь не будет. Схему можно преобразовать к системе, состоящей из параллельно включенных полуколец: A, D,B; A, F,B; A, C,B; A, FB и A, E,B.
2. Определим сопротивление одного полукольца с учётом того что удельное электрическое сопротивление графита r @ 1×10 - 5 Ом×м.
. (1)
3. Определим далее сопротивление четырёх параллельно включенных одинаковых колец
. (2)
2.2.10. Имеется воздушный конденсатор с плоскими пластинами площадью s =100 см2 и зазором между ними d = 2,5 см. Пространство между пластинами ионизируется рентгеновскими лучами, так что в секунду образуется N = 1010 пар ионов. На пластины конденсатора подаётся постоянное напряжение U0 = 2 кВ. В измерительную схему включены сопротивления R1 = R2 = 1010 Ом. Ток, какой силы потечёт через измерительный прибор, включенный в цепь источника питания?
Решение
1. Возникновение носителей заряда вследствие ионизации электрически нейтральных молекул воздуха вызовет электрический ток, сила которого будет пропорциональна величине заряда, их количеству и объёму конденсат
, (1)
|
где е @ 1,6×1Кл - заряд одного иона, N - число пар ионов образующихся в одну секунду в единице объёма конденсатора.
2. Выразим напряжение источника U0 в виде суммы падений напряжений на сопротивлениях
. (2)
3. Сила тока через сопротивление R1 должна быть равна сумме сил токов через сопротивление R2 и конденсатор, т. е.
. (3)
4. Образуем систему уравнений
. (4)
Сила тока через микроамперметр будет равна силе тока через сопротивление R1, поэтому выразим из первого уравнения системы (4) силу тока IR2 и подставим во второе уравнение
(5)
, (6)
, (7)
. (8)
