Собственные значения и собственные векторы матрицы

Собственные значения и собственные векторы матрицы

С задачами на собственные значения инженер сталкивается в самых различных ситуациях. Так для тензоров (матриц) напряжений собственные значения определяют главные напряжения, а собственные векторы задают направления нормалей к главным сечениям. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний. Инженер должен стараться сделать собственные частоты проектируемого им сооружения отличными от тех, которые могут вызываться внешними воздействиями (ветром, автотранспортом и т. д.). Вообще, собственные частоты колебаний являются наиболее важной характеристикой практически любой динамической системы.

Опр. Число λ и ненулевой вектор X называется собственным значением и соответствующим ему собственным вектором квадратной матрицы А, если выполняется соотношение

. (1)

Некоторые свойства собственных значений и собственных векторов

1.  У квадратной матрицы размерности n существует ровно n не обязательно различных собственных значений.

2.  Все собственные значения вещественной симметричной матрицы вещественны.

3.  Собственные векторы вещественной симметричной матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю.

4.  Если X – собственный вектор матрицы A, то вектор , где  скаляр, также будет собственным вектором матрицы А.

5.  Сумма всех собственных значений матрицы А равна сумме ее диагональных элементов

.

6.  Произведение всех собственных значений матрицы А равно ее определителю

.

Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы

По определению собственных значений и собственных векторов матрицы имеем

. (2)

Отсюда получим

. (3)

Соотношение (3) представляет собой однородную систему линейных алгебраических уравнений. В развернутом виде она выглядит так

. (3`)

СЛАУ (3) всегда имеет нулевое решение, которое нам не подходит. Если ее определитель не равен нулю, то нулевое решение является единственным. Ненулевое решение, которое нас интересует в соответствии с (1), существует только, если определитель СЛАУ (3) равен нулю. Поэтому будем иметь

(4)

Если раскрыть определи, то получим алгебраическое уравнение n-го порядка относительно . Его n корней и являются собственными значениями матрицы А. Уравнение (4) называется характеристическим уравнением матрицы А. При n=2 и n=3 уравнение (4) решается легко. При больших n существуют специальные методы нахождения собственных значений (методы Крылова, Данилевского и т. д.).

Использование матриц при исследовании

напряженного состояния тел

Плоское напряженное состояние

Плоское напряженное состояние описывается тремя компонентами напряжений , действующими на боковых гранях элементарной призмы прямоугольного сечения с незагруженными основаниями.

Из компонент напряжений составим следующую матрицу

(1)

которая называется матрицей (тензором) напряжений. Так как , то ∑ – симметричная матрица.

Напряжения в произвольном сечении

Найдем полное напряжение на наклонной грани элементарной призмы. Положение наклонной грани задается единичным вектором внешней нормали . Справедливо следующее соотношение:

(2)

Здесь

, , (3)

l и m представляют собой проекции единичного вектора на оси x и y. Величины l и m называют направляющими косинусами, так как выполняются равенства

. (4)

 – проекции вектора напряжений на оси x и y.

Подставим (1) и (3) в (2)

.

Или

(5)

Формулы (5) известны из курса сопротивления материалов и могут быть получены из уравнений равновесия статики для сил, действующих на элементарную призму.

Найдем нормальное и касательное напряжения.

Так как – проекция вектора напряжений на нормаль к наклонному сечению ν, то

. (6)

Здесь , так как ∑ – симметричная матрица. Распишем соотношение (6)

(7)

Для нахождения касательного напряжения спроектируем вектор напряжения на направление единичного вектора

. (8)

Здесь

. (9)

Подставим (9) в (8)

(10)

Формулы (7), (10) выводятся в курсе сопротивления материалов из уравнений равновесия статики. Преимущество соотношений (2), (6) и (8) в том, что они справедливы как для плоского, так и для объемного напряженных состояний.

Нахождение главных напряжений и положения главных сечений

Так как на главных сечениях касательное напряжение τ равно нулю и вектор напряжений направлен по нормали ν, то выполняется равенство

, (11)

где σ – нормальное напряжение на главном сечении, то есть главное напряжение. Подставляя (2) в (11), найдем

. (12)

Отсюда с учетом, что (то есть ν не нулевой вектор), следует, что главные напряжения являются собственными значениями матрицы напряжений, а соответствующие им собственные векторы определяют положение главных сечений.

Для нахождения главных напряжений составим характеристическое уравнение для матрицы ∑ и решим его

(13)

Найдем теперь положение главного сечения, на котором действует главной напряжение . Для этого подставим в (12). Получим

или или

(14)

Так как определитель системы линейных алгебраических уравнений (14) равен нулю, то ее уравнения линейно зависимы и одно из них следует отбросить, заменив условием, что длина вектора равна единице. Будем иметь

(15)

Из (15) определяются с точностью до знака. Чтобы найти угол воспользуемся первым уравнением системы (15)

.

Аналогично находятся . Так как матрица ∑ симметричная, то ее собственные векторы и, следовательно, главные сечения взаимно перпендикулярны. Отсюда следует равенство

. (16)