ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМБИНИРОВАННОГО МЕТОДА ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ДЕФОРМАЦИОННОГО ПОВЕДЕНИЯ ВОЛОКНИСТЫХ УГЛЕКОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Панин С. В., Бурков М. В., Бяков А. В., Любутин П. С., Титков В. В., Алтухов Ю. А.
Проведено исследование деформации и разрушения образцов из углерод-углеродного композиционного материала с различными размерами концентраторов напряжений (центрального отверстия, надпила на боковой грани и 2-х V-образных надрезов) с использованием комбинированного метода «тензометрия – DIC – АЭ». Численный анализ экспериментальных данных представляет собой диаграммы (зависимости) интенсивности деформации сдвига или активности акустической эмиссии как функций от времени нагружения. Обсуждаются и трактуются причины подобия и различия результатов исследований. Полученные данные предлагается использовать для неразрушающего контроля конструкционных материалов, путем обнаружения характерных стадий развития деформации и момента (стадии), предшествующей разрушению.
Ключевые слова: тензометрия; акустическая эмиссия; метод корреляции цифровых изображений; композиционный материал; неразрушающий контроль.
1. Введение
В изделиях и конструкциях из волокнистых композиционных материалов (КМ) весьма часто дефекты зарождаются в процессе эксплуатации и имеют крайне малый размер, поэтому актуальным является разработка новых или адаптация существующих методов неразрушающего контроля (контроля состояния), способных выявлять повреждения такого рода (и размера). Перспективным методом для выявления формирования несплошностей в КМ в процессе нагружения (эксплуатации) является метод акустической эмиссии (АЭ). Импульсы АЭ, излучаемые материалом в процессе нагружения (разрушения), могут нести информацию о размере трещин, скорости их роста, напряжениях, позволяя решать задачу раннего обнаружения разрушения КМ [1,2]. Активные исследования по совмещенному изучению деформационного поведения и разрушения конструкционных материалов проводятся в СибНИА им. Чаплыгина (г. Новосибирск) [1,2], где совместно применяются приборы для регистрации АЭ и тензометрии.
Акустические методы позволяют получить количественную оценку развития деформационных процессов в объеме нагруженного материала, однако требуется подтверждение корректности интерпретации полученных результатов. Оптический метод позволяет путем визуального контроля идентифицировать типы дефектов, а также оценить их размер. Таким образом, метод корреляции цифровых изображений DIC является взаимодополняющим к АЭ, а также позволяет оценить величину деформации в области наблюдения [3]. В результате, за счет совместного использования метода тензометрии, АЭ и оптического метода измерения деформации предоставляется возможность, как оценить интегральную и локальную деформацию в нагруженном образце, так и зарегистрировать процессы разрушения, сопровождаемые излучением упругих (акустических) волн.
С применением такого комбинированного подхода в настоящей работе проведено исследования процессов деформации и разрушения образов из углерод-углеродного КМ (УУКМ) с различными типами концентраторов напряжений (КН). Данный материал обладает высокой способность к излучению АЭ импульсов при нагружении, а наличие одного КН позволяет фиксировать область локализации деформации при его наблюдении оптическим способом. За счет изменения размера КН меняли распределение напряженно-деформированного состояния в образцах.
Актуальность данной работы и вопросов диагностики волокнистых КМ связана с разработкой подхода к их неразрушающему контролю. Основные сложности, возникающие при испытании УУКМ, и разработки метода НК:
- наличие нескольких слоев с разным направлением армирования и, соответственно, различными свойствами;
- плохая отражающая способность, требующая подготовки поверхности для фоторегистрации ее изображений;
- с помощью оптического метода можно наблюдать деформационные процессы и дефекты только в поверхностном слое;
- низкая пластичность материала; сложная гетерогенная структура, обусловливающая необходимость высокого разрешения оптической системы для наблюдения деформационных процессов на различных масштабных уровнях (волокно, слой армирования, композит и т. п.);
Помимо развития комбинированного метода неразрушающего контроля в работе решалась задача установления взаимосвязи между деформационными процессами, развивающимися на различных масштабных уровнях [4]. Данные тензометрии, АЭ и DIC позволяют одновременно регистрировать проявление активности деформации на следующих масштабах:
- тензометрия: отражает макроуровень или отклик образца в целом на приложение нагрузки;
- DIC (Мезо II: уровень, сопоставимый по масштабу с макроуровнем деформации, поскольку в поле обзора попадает практически вся ширина образца [3];
- АЭ (Мезо I): уровень нарушения сплошности, прежде всего, по границе волокон и связующего. Измерения АЭ характеризуют процессы в объеме всего образца, в то время как оптический метод характеризует, в основном, изменения в верхнем наблюдаемом слое композита.
Помимо выбора in situ методов исследования деформации актуальным является вопрос выбора информативных параметров, адекватно характеризующих развитие деформационных процессов на каждом из указанных масштабов. В качестве таких параметров для метода АЭ использовали активность событий 
; для метода DIC ‑ интенсивность деформации сдвига 
(ИДС), для тензометрии – 
(производную внешнего приложенного напряжения по деформации, либо времени).
Отметим, что подобную постановку задачи исследований использовали в наших предыдущих работах, где испытывали алюминиевые образцы с различными видами КН [5,6,7]. Были показаны характерные стадии изменения информативных параметров, а также характерные отличия для разных in situ методов исследования деформации.
2. Материалы и методика исследований
В работе применяли комбинированный метод для исследования процессов локализованной деформации в образцах из углерод-углеродного композиционного материала (УУКМ) с различными размерами концентраторов напряжений – центрального отверстия с диаметрами 7, 10, 13 мм, надпила на боковой грани шириной ~1 мм и глубиной 14,5, 18, 21,5 мм и 2-х V-образных надрезов высотой по 3, 4, 5 мм. Применение одновременной регистрации несколькими методами позволило проследить и сравнить регистрируемые параметры на протяжении всего времени эксперимента. Материал представляет собой псевдоизотропный композит из слоев однонаправленных углеродных лент [0°, 45°, -45°, 90°] в пироуглеродной матрице. На рис. 1,А приведены схемы образцов, размеры которых выбраны в соответствие со стандартами ASTM D5766, ASTM E1922 и ASTM D5379. Образцы вырезали на прецизионном отрезном станке Struers Secotom-10 (диск с алмазным режущим слоем на металлической основе, охлаждение водой) из плит композита толщиной 15 мм.
Образцы с отверстием и надпилом испытывали на одноосное статическое растяжение на электро-механической машине Instron 5582 со скоростью перемещения подвижного захвата 0,3 мм/мин. Образцы с V-образными надрезами испытывали на срез с помощью приспособления (рис. 1,Б), предлагаемого в стандарте ASTM D5379, со скоростью 0,1 мм/мин. Данные тензометрии регистрировали с использованием штатного оборудования испытательной машины (встроенного тензодатчика).
|
|
А) | Б) |
Рис. 1. А) схемы образцов (толщина 4 мм), штриховой линией показана область, выделяемая для построения поля векторов перемещений: а) образец с отверстием; б) образец с надпилом; в) образец с V-образными надрезами; Б) эскиз приспособления для испытания на срез. |
Регистрацию АЭ осуществляли с помощью программно-аппаратного измерительного комплекса регистрации сигналов АЭ на базе ПК [8,9]. В качестве основного информативного параметра данных АЭ рассчитывали производные от накопления сигналов АЭ по времени (активность акустической эмиссии 
).
Фотографирование поверхности осуществляли с помощью фотокамеры Canon EOS 550D, оснащенной длиннофокусным объективом Canon EF-S 100-400mm 1/4-5.6 IS. Размеры области для расчета интенсивности деформации сдвига выбирались с учетом того, чтобы гарантировано наблюдать формирование и развитие в ней макрополос деформации. Например, для образцов с отверстием выбирали область изображения размером 3300×4950 пикселей (физические размеры ~35×52.5 мм), расположенную в центре образца, вокруг отверстия.
3. Результаты экспериментов
3.1. Образцы с отверстием
3.1.1. Диаграммы нагружения
На рис. 2 приведены диаграммы нагружения образцов с различным диаметром центрального отверстия и зависимости производной внешнего деформирующего напряжения по времени от времени нагружения 
. Сопоставление приведенных экспериментальных результатов позволяет выделить следующие закономерности:
|
|
а) | б) |
| Рис. 2. Диаграммы нагружения (1) и графики производной внешнего деформирующего напряжения |
в) |
(2): а) Æ7; б) Æ10; в) Æ13 мм.· Увеличение диаметра отверстия обусловливает снижение относительного удлинения и напряжений, соответствующих моменту разрушения (рис. 2), что может быть связано с большей степенью локализации деформации с самого начала нагружения.
· На графиках производной 
для всех диаметров отверстия путем кусочно-линейной аппроксимации можно выделить три характерных участка (стадии), (рис. 2). При этом третий участок характеризуется небольшим ростом параметра 
, что может быть связано с натяжением все большего числа продольно ориентированных волокон, которые могли быть не вовлечены в сопротивление деформированию на начальном этапе нагружения из-за отклонения от траектории укладки при формовании.
В дальнейшем данные АЭ и DIC сравнивали со стадийностью по данным тензометрии, как наиболее достоверного способа интегральной оценки напряженно-деформированного состоянии нагруженных материалов.
3.1.2. Оптический метод измерения деформации
Анализ распределения деформации на мезо II масштабном уровне проводили путем обработки изображений интегральным и дифференциальным методами (более подробно эта методика была описана в работе [10]). В первом случае вектора перемещений строили путем сопоставления первого (начального) с каждым последующим изображениями, в то время как при дифференциальном способе расчета сравнивали текущее и последующее изображения поверхности деформируемого образца. На рис. 3 приведены зависимости среднего значения интенсивности деформации сдвига g, полученные при анализе изображений интегральным (а) и дифференциальным (б) способами. Видно, что графики для образцов с любым диаметром отверстия, рассчитанные интегральным методом имеют практически линейный вид и весьма подобны.
|
|
а) | б) |
Рис. 3. Зависимости интенсивности деформации сдвига, рассчитанные: а) интегральным, б) дифференциальным способами; 1) Æ7, 2) Æ10, 3) Æ13 мм |
На рис. 4 приведены графики зависимости ИДС, рассчитанной дифференциальным способом, совмещенные с графиками производной внешней нагрузки по времени. Видно, что с использованием кусочно-линейной аппроксимации на данных кривых можно также выделить три характерных участка. Графики для образцов с диаметрами 7 и 10 мм хорошо коррелируют с данными тензометрии, в то время как для образца с диаметром 13 мм наблюдается некоторое расхождение. Границы стадий на рис. 6 показаны вертикальными линиями и выделены на основании данных тензометрии.
|
|
а) | б) |
| Рис. 4. Графики производной внешнего деформирующего напряжения |
в) |
3.1.3. Активность событий АЭ
В полном соответствии с методиками анализа данных тензометрии и корреляции цифровых изображений были обработаны данные регистрации акустической эмиссии, которые трактовали в терминах активности АЭ 
(рис. 8), данные которой аппроксимированы гладкой средней кривой. В целом стадийность данных тензометрии и АЭ достаточно хорошо согласуется между собой. Особенно заметно, что начало роста активности акусто-эмиссии соответствует точке перегиба кривой 
.
3.2. Образцы с надпилом
3.2.1. Диаграммы нагружения
На рис. 6 приведены диаграммы нагружения для образцов с различной глубиной надпила и зависимости производной внешнего деформирующего напряжения по времени от времени нагружения . Видны следующие закономерности:
· Увеличение глубины надпила обусловливает снижение относительного удлинения и напряжений, соответствующих моменту разрушения, что может быть связано с большей степенью локализации деформации с самого начала нагружения.
· С ростом глубины надпила растет угол наклона диаграммы нагружения и меняется характер изменения графика производной , «провал» значений производной в начале нагружения становится все менее заметным.
|
|
а) | б) |
| Рис. 6. Диаграммы нагружения (1) и графики производной внешнего деформирующего напряжения |
в) | |
|
|
а) | б) |
Рис. 7. Зависимости интенсивности деформации сдвига, рассчитанные: а) интегральным, б) дифференциальным способами. Глубина надпила: 1) 14,5; 2) 18; 3) 21,5 мм. | |
3.2.2. Оптический метод измерения деформации
На рис. 7 приведены зависимости среднего значения интенсивности деформации сдвига g, полученные при анализе изображений интегральным (а) и дифференциальным (б) способами.
На рис. 8 приведены графики зависимости ИДС, рассчитанной дифференциальным способом, совмещенные с диаграммами зависимостей производной внешней нагрузки по времени. Видно, что с использованием кусочно-линейной аппроксимации на данных кривых можно также выделить три характерных участка. Графики для образцов с диаметрами 7 и 10 мм хорошо коррелируют с данными тензометрии, в то время как для образца с диаметром 13 мм наблюдается некоторое расхождение. Границы стадий на рис. 8 показаны вертикальными линиями и выделены на основании данных тензометрии.
|
|
а) | б) |
| Рис. 8. Графики производной внешнего деформирующего напряжения |
в) |
3.2.3. Активность событий АЭ
На рис. 9 приведены данные активности АЭ , аппроксимированные гладкой средней кривой, и зависимостей производной внешней нагрузки по времени.
Для всех размеров надпила на начальном участке нагружения сигналы АЭ практически не регистрируются, далее происходит небольшой рост активности АЭ, а перед разрушением наблюдается всплеск регистрации сигналов.
|
|
а) | б) |
| Рис. 9. Совмещенные графики производной внешнего деформирующего напряжения |
в) |
3.3. Образцы с надрезами
3.3.1. Диаграммы нагружения
На рис. 10 приведены диаграммы нагружения для образцов с различным размером V-образных надрезов и зависимости производной внешнего деформирующего напряжения по относительному удлинению 
(для этого типа образцов значения информативных параметров трех методов необходимо приводить к удлинению e, в связи с разной высотой рабочей части).
Сопоставление приведенных экспериментальных результатов позволяет выделить следующие закономерности:
· С ростом размера надреза падение производной стадии III становится менее выраженным (рис. 10).
· Увеличение размера надреза обусловливает небольшое увеличение относительного удлинения, до разрушения (рис. 10), в то время как напряжения остаются примерно одинаковыми.
|
|
а) | б) |
| Рис. 10. Диаграммы нагружения (1) и графики производной внешнего деформирующего напряжения |
в) |
(2). Высота надреза: а) 3; б) 4; в) 5 мм.3.3.2. Оптический метод измерения деформации
На рис. 11 приведены зависимости среднего значения интенсивности деформации сдвига g, полученные при анализе изображений интегральным (а) и дифференциальным (б) способами.
|
|
а) | б) |
Рис. 11. Зависимости интенсивности деформации сдвига, рассчитанные: а) интегральным, б) дифференциальным способами. Высота надреза: а) 3; б) 4; в) 5 мм. |
На рис. 8 приведены графики зависимости ИДС, рассчитанные дифференциальным способом, совмещенные с диаграммами зависимостей производной внешней нагрузки по времени.
|
| |
а) | б) | |
| Рис. 12. Графики производной внешнего деформирующего напряжения |
|
в) |
|
3.1.3. Активность событий АЭ
На рис. 9 приведены данные активности АЭ 
, аппроксимированные гладкой средней кривой, и зависимостей производной 
.
При сопоставлении графиков 
и 
видно, что генерация сигналов акусто-эмиссии начинается практически одновременно с началом снижения графика производной перед разрушением.
|
| |
а) | б) | |
| Рис. 13. Совмещенные графики производной внешнего деформирующего напряжения |
|
в) |
|
4. Обсуждение результатов
Данная работа представляет первую попытку авторов применить комбинированный способ исследования деформации и разрушения (тензометрия – DIC - АЭ) для анализа деформационного поведения нагруженных образцов УУКМ. Ранее этот способ применяли для исследования деформации алюминиевого сплава Д16АТ, поэтому обсуждение следует начать со сравнения результатов этого исследования с полученными ранее в работах [6,7].
Согласно результатам, полученным при растяжении образцов Д16АТ с отверстиями, не наблюдалось четкого соответствия стадий по данным, полученным методами DIC и АЭ в сравнении с данными тензометрии. В первую очередь, это связано с самими свойствами материалов и их реакцией на приложение нагрузки: Д16АТ обладает хорошей пластичностью, а УУКМ наоборот, преимущественно деформируется упруго. Тем не менее, подобно результатам [6] на графике производной для УУКМ также достаточно четко выделяются 3 характерные, хорошо разделимые между собой, стадии:
1) Первая стадия, по мнению авторов, связана с упругой деформацией углеродной матрицы, обладающей высоким модулем упругости, но низким пределом прочности при растяжении. Время окончания стадии тенз I должно быть связано с тем, что матрица перестает оказывать преимущественное сопротивление внешнему нагружению, и основная нагрузка перераспределяется между углеродными волокнами;
2) Вторая стадия характеризуется небольшим падением величины , что, наиболее вероятно [11], связано с натяжением благоприятно ориентированных волокон;
3) Третья стадия характеризуется возрастающей жесткостью материала, благодаря «натяжению» всех волокон в композите с активизацией процессов нарушения адгезионной связи и разрушения волокон (что подтверждается активным ростом АЭ).
Сравнение данных тензометрии и акустической эмиссии показывает достаточно хорошее соответствие трех стадий, выделенных по данным этих методов. Однако рассматривая стадию 3 можно сказать, что тензометрия обладает меньшей чувствительностью к процессам деформации и разрушения, происходящим на данной стадии, поскольку в течение всей данной стадии значение информативного параметра остается примерно постоянным либо незначительно возрастает. В то же время, величина активности АЭ практически непрерывно возрастает, что связано с натяжением волокон, нарушением адгезионной связи «волокно-связующее» и разрушением самих волокон.
Для метода корреляции цифровых изображений, помимо ограничений, связанных с низким разрешением оптической системы и использованием процедуры интерполяции при построении векторов перемещений с субпиксельной точностью, основным лимитирующим фактором остается наблюдение лишь одного верхнего слоя волокнистого КМ. В связи с использовавшимся методом изготовления образцов, подразумевавшим распилку плиток вдоль слоев композита, в качестве наружного слоя могли оказаться слои с разным направлением армирования.
Особенность этой схемы нагружения образцов с надпилом заключается в том, что в критическом сечении напряжения складываются из напряжений от растяжения и напряжений от изгибающего момента, связанного с несоответствием оси нагружения и центра масс критического сечения. В результате напряжения в вершине надпила будут максимальными растягивающими, а в критическом сечении на свободной грани образца будет наблюдаться сжатие [12].
Анализ данных тензометрии, полученных при растяжении образцов с надпилом, также можно выделить некоторые характерные стадии развития деформации. Используя кусочно-линейную аппроксимацию графика производной для образца с надпилом 14,5 мм можно выделить три стадии:
1) Первая стадия, характеризующаяся падением значений , также связана с высоким модулем упругости и низким пределом прочности матрицы.
2) Вторая стадия характеризуется небольшим ростом величины , что связано с натяжением благоприятно ориентированных волокон [11];
3) Третьей стадии соответствует медленное снижение параметра , с активизацией процессов нарушения адгезионной связи и разрушения волокон (что подтверждается активным ростом АЭ).
При рассмотрении графиков для всех трех образцов с надпилами видно, что с ростом размера надпила меняется характер этих кривых. Для образца с надпилом 14,5 мм можно выделить 3 стадии, для образца с надпилом 18 мм стадии становятся менее выраженными, а график , соответствующий надпилу 21,5 мм представляет собой единый падающий участок. Это связано как раз с данной схемой нагружения, несоответствием резко возрастающих напряжений в вершине надпила и интегральной оценки всего образца параметром .
Метод акустической эмиссии при такой схеме нагружения обладает меньшей чувствительность, чем при растяжении образцов с отверстием, поскольку в активное сопротивление внешнему нагружению вовлечена только небольшая критическая зона в вершине надпила, соответственно количество сигналов, генерируемое ей, невелико.
Различие схем нагружения приводит к различной картине макролокализации деформации. Характерные картины распределения интенсивности деформации сдвига на различных стадиях деформации приведены на рис. 14.
|
|
|
а) t=550 сек. | б) t=584 сек. | в) t=600 сек, e=7,5% |
Рис. 14. Распределение интенсивности деформации сдвига, расчитанное интегральным способом для образцов: с отверстием: Æ7 мм (а); с надпилом 14,5 мм (б); с 2 надрезами высотой 3 мм; указано время после начала нагружения. |
5. Заключение
С использованием комбинированного метода исследования деформации и разрушения «тензометрия – DIC - АЭ» проведено исследование деформационного поведения образцов УУКМ с различными типами КН. Показано что,
1. Увеличение размера КН у образцов с отверстием и надпилом сопровождается снижением предела прочности и относительного удлинения образцов до разрушения. Увеличение размера надрезов у образцов, испытывавшихся на срез, ведет к небольшому увеличению относительного удлинения, в то время как предел прочности остается примерно постоянным.
2. Данные о характерных стадиях деформирования, полученные методом корреляции цифровых изображений, являются наименее информативными, что связано с наблюдением лишь за верхним (внешним) слоем образца УУКМ, а также его крайне низкой пластичностью.
3. С точки зрения одновременного использования данных, получаемых всеми тремя методами, можно заключить, что: а) метод акустической эмиссии обладает высокой чувствительностью и способностью характеризовать процессы, происходящие в объеме материала; б) тензометрия обладает, меньшей, чем АЭ чувствительностью, но интегрально характеризует макроотклик образца и наглядно позволяет определить переход от одной стадии деформирования к последующей; в) метод корреляции цифровых изображений требует использования большего разрешения оптической системы и позволяет визуализировать деформационные процессы, развивающиеся во внешнем слое с получением численной оценки локальной деформации.
Таким образом, использование предложенного комбинированного подхода является перспективным и взаимодополняющим методом исследования УУКМ. Дальнейшее развития этого способа НК связано с применением его для усталостных испытаний волокнистых КМ.
Благодарности
Работа выполнена в рамках Комплексного проекта г/б исследований СО РАН III.20.1.3.
Литература
1. , , и др. Использование метода акустической эмиссии и тензометрии при проверке остаточной прочности самолета. – Дефектоскопия, 2008, №2, с. 28-35.
2. Степанова Л. Н., Лебедев Е. Ю., Кабанов С. И. и др. Исследование разрушения образцов из стеклопластиков с использованием методов акустической эмиссии и тензометрии. – Дефектоскопия, 2009, №2, с. 39-47.
3. , Панин деформации на мезоуровне путем анализа оптических изображений поверхности нагруженных твердых тел. Прикладная механика и техническая физика, 2006. Т. 47, №6, С. 158-164.
4. , , Старцев деформации и разрушения на мезо и макромасштабном уровнях армированных пластиков при статическом и циклическом растяжении. Физическая мезомеханика, 2002. –Т. 5. – №3. – С. 101-116.
5. Панин С. В., Бяков А. В., Гренке В. В. и др. Многомасштабное исследование стадийности локализованной пластической деформации при растяжении образцов сплава Д16АТ надрезами акустико-эмиссионным и оптико-телевизионным методами. Физическая мезомеханика, 2009, Том 12, №6, 63-72.
6. , , Башков локализованной пластической деформации при растяжении образцов сплава Д16АТ по данным акусто-эмиссии, картирования деформации на поверхности и тензометрии. Часть 1. Образцы с отверстиями различного диаметра. Дефектоскопия, 2011, №7, с. Хх-хх (принято к печати).
7. , , Башков локализованной пластической деформации при растяжении образцов сплава Д16АТ по данным акусто-эмиссии, картирования деформации на поверхности и тензометрии. Часть 2. Образцы с надпилами различной глубины. Дефектоскопия, 2011, №7, с. Хх-хх (принято к печати).
8. Panin S. V., Byakov A. V., Kuzovlev M. S. et al. «Testing of automatic system for registration, processing and analysis of acoustic emission data by model signals». Proceedings IFOST’2009, 21-23 October, 2009, Ho Chi Ming City, Vietnam, Vol. 3, p. 202-206.
9. , , Башков и испытание лабораторного стенда регистрации и анализа данных акустической эмиссии. Автометрия, 2011, Т. 47, №1, с. 115-128.
10. , , и др. Исследование поведения пористой керамики при одноосном сжатии путем расчета мезоскопических деформационных характеристик. // Физическая мезомеханика, 2008, Т. 11, №6, c. 77-86.
11. C. C. Chamis, S. K. Mital Mesomechanics applied to composites – a matter of scale //Mesomechanics 2000. Proc. of the 3rd Int. Conf for Mesomechanics. V.2,- Xi’an, China, 2000, pp. 623-630.
12. D. Pilkey, Deborah F. Pilkey. Peterson’s Stress Concentration Factors. Walter John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. Third edition. 2008. p.560.
